Supor a existência de um comprimento mínimo para medidas de posição, a qual denotaremos por q, implica que as derivadas espaciais não poderão ser realizadas conforme o habitual, pois o limite de ∆x tendendo a zero, deixa de fazer sentido. A partir desta ideia, levantamos a hipótese que a existência do comprimento mínimo q, no espaço das posições x, perturba a natureza do momento canonicamente conjugado p, de modo que ele seja transformado em um novo momento ℘. E a relação de comutação entre ℘ e o operador de posição x, seja dada por [ˆx, ℘] = iM(℘), onde M(℘) é o operador de translações mínimas, que está intimamente ligado ao comprimento mínimo do espaço q. Contudo, podemos definir, um operador K(℘), tal que, [ˆx, K(℘)] = ih, e mostrar que para cada escolha de M(℘), existe um K(℘) diferente, onde identificamos K, como o operador de momento canônico na presença do comprimento mínimo. Mostraremos, que a mecânica quântica com comprimento mínimo, pode ser vista como uma transformação canônica, vamos visitar a literatura para ilustrar alguns modelos de mecânica quântica com comprimento mínimo. Faremos uma discussão sobre o oscilador harmônico, e por fim faremos uma estimativa para o valor de comprimento mínimo q, introduzido na hipótese.
Supor a existência de um comprimento mínimo para medidas de posição, a qual denotaremos por q, implica que as derivadas espaciais não poderão ser realizadas conforme o habitual, pois o limite de ∆x tendendo a zero, deixa de fazer sentido. A partir desta ideia, levantamos a hipótese que a existência do comprimento mínimo q, no espaço das posições x, perturba a natureza do momento canonicamente conjugado p, de modo que ele seja transformado em um novo momento ℘. E a relação de comutação entre ℘ e o operador de posição x, seja dada por [ˆx, ℘] = iM(℘), onde M(℘) é o operador de translações mínimas, que está intimamente ligado ao comprimento mínimo do espaço q. Contudo, podemos definir, um operador K(℘), tal que, [ˆx, K(℘)] = ih, e mostrar que para cada escolha de M(℘), existe um K(℘) diferente, onde identificamos K, como o operador de momento canônico na presença do comprimento mínimo. Mostraremos, que a mecânica quântica com comprimento mínimo, pode ser vista como uma transformação canônica, vamos visitar a literatura para ilustrar alguns modelos de mecânica quântica com comprimento mínimo. Faremos uma discussão sobre o oscilador harmônico, e por fim faremos uma estimativa para o valor de comprimento mínimo q, introduzido na hipótese.
Em um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição. Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem. Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas. Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico. Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas. Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento. Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento. Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H2 +) e a molécula de hidrogênio (H2). Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.
RESUMOEm um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição.Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem.Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas.Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico.Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas.Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento.Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento.Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H 2 + ) e a molécula de hidrogênio (H 2 ).Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.
A teoria quântica de campos pode ser vista como um conjunto de métodos e idéias que além de sua importância no estudo das partículas elementares, tem sido amplamente usada em outras áreas. Em especial, ela constitui uma ferramenta indispensável no estudo moderno de transições de fases e fenômenos críticos. A origem dessa constante relação entre a teoria de campos e a matéria condensada deve-se ao fato que, apesar de suas diferenças superficiais, ambas tratam de problemas envolvendo um grande número de graus de liberdade. Assim, não é surpreendente que as mesmas técnicas possam ser úteis nos dois campos. Este trabalho trata de problemas nessas duas áreas e está essencialmente divido em duas partes. A primeira parte é dedicada ao estudo de teorias de campos com uma anisotropia entre o espaço e o tempo, o que implica uma quebra da simetria de Lorentz. Uma das motivações para considerar esse tipo de teoria vem justamente do estudo de transições de fase em sistemas da matéria condensada. Análises do grupo de renormalização com ênfase na possibilidade de restauração da simetria de Lorentz e também uma discussão sobre identidades de Ward são realizadas. Na segunda parte, a atenção é voltada para a mecânica estatística mas com uma abordagem típica da teoria de campos, em especial, voltada para o estudo de transições de fase clássicas e quânticas a partir da versão quantizada do modelo esférico e de sua extensão supersimétrica.
Este é um artigo de caráter expositivo, no qual discutimos uma variedade de tópicos relacionados aos fundamentos da física quântica, com destaque para os conceitos de identidade e de individualidade das entidades básicas tratadas por essa teoria (ou grupo de teorias). Consideramos que, se se deseja fundamentar a contraparte formal de uma possível visão das entidades quânticas como objetos destituídos de individualidade, há basicamente duas alternativas possíveis: (a) manter-nos no escopo da lógica e da matemática tradicionais, digamos em uma teoria de conjuntos como Zermelo-Fraenkel, e, nesse caso, podemos ou assumir certas condições de simetria que de certo modo nos permitem falar da não individualidade, ou restringir-nos a certas classes nas quais apenas uma relação mais fraca de indistinguibilidade está definida; (b) elaborar uma teoria matemática nova, na qual certa forma de não individualidade está ab initio incorporada para algumas das entidades. Discutimos a primeira hipótese apresentando "modelos internos" de ZFU e ZFC, onde a identidade é restrita de alguma forma, e comentamos vantagens e desvantagens dessa abordagem. Motivada pela segunda hipótese, é então desenvolvida, em seus traços principais, o que poderia ser uma mecânica quântica fundamentada em uma das possíveis teorias de conjuntos distintas das clássicas, a teoria de quase conjuntos. Como a lógica subjacente à teoria de quase conjuntos é uma lógica não reflexiva, a mecânica correspondente é denominada de mecânica quântica não reflexiva.
Nessa dissertação buscamos caracterizar estados de equilíbrio termodinâmico na formulação contravariante da teoria quântica em topoi. Como esse tipo de abordagem à teoria quântica é relativamente novo, procuramos também fazer uma exposição autocontida - ao menos do ponto de vista matemático - dos elementos principais desta. Em relação ao equilíbrio termodinâmico estudamos duas propriedades fundamentais: invariância com respeito à evolução temporal e a condição KMS. Caracterizamos a invariância temporal através das medidas definidas no pré-feixe espectral; mais precisamente, determinamos uma condição que é satisfeita por uma medida se, e somente se, o estado ao qual ela está associada é invariante. Essa caracterização se justifica pois tais medidas constituem uma das tentativas de se introduzir uma noção satisfatória de estado na teoria quântica em topoi. Não conseguimos, porém, caracterizar a condição KMS através dessas medidas e apresentamos argumentos que indicam que fazer isso, ao menos da maneira que tentamos, não é possível. Estudamo-la, então, através da noção de pseudoestado, que constitui outra tentativa de se definir estado na teoria. Para caracterizar a condição KMS introduzimos o conceito de topos associado a um estado e mostramos que no topos de qualquer estado existem ao menos duas proposições (subobjetos clopen do pré-feixe espectral) que são verdadeiras (no sentido do pseudoestado) se, e só se, o estado é KMS. Uma dessas proposições não é determinada pela daseinização de um projetor, e portanto isso pode ser entendido como uma maneira de se atribuir significado físico a uma proposição que não está na interpretação da linguagem PL(S)
O problema de como descrever a dinâmica efetiva de partículas ou campos confinados a um espaço-tempo de baixa dimensão é de interesse em muitas áreas da física. Vários métodos foram propostos na literatura para atacar este problema. Recentemente, foram relatadas algumas evidências experimentais que são consistentes com a chamada abordagem de potencial confinante. À luz destes resultados, o objetivo desta tese é o de construir uma teoria quântica para partículas confinadas em uma subvariedade, imersa em um espaço-tempo plano, empregando o cenário conceitual da abordagem de potencial confinante. A tese está dividida em duas partes. A primeira parte é dedicada exclusivamente ao estudo da mecânica quântica em uma subvariedade. Para esta finalidade, deduzimos as equações efetivas de Schrödinger, Dirac e Klein-Gordon, em uma subvariedade curva, na presença de um campo electromagnético externo. Examinamos as características singulares estas equações e apresentamos algumas aplicações em física da matéria condensada. Na segunda parte, partimos da mecânica quântica na subvariedade e então formulamos a teoria quântica de campos (TQC) na subvariedade. Mostramos que a TQC \\"livre\\" em uma subvariedade pode ser representada esquematicamente como uma teoria de campos livres, em um fundo curvo, mais um potencial escalar e um campo externo SO(n - m) de Yang-Mills. Calculamos para essa teoria a ação efetiva em ordem de um laço para bósons e férmions a temperatura e potencial químico não nulos, em todas as ordens, usando a expansão de Seely-DeWitt. Para teorias com interações, demonstramos que a teoria conhecida como eletrodinâmica quântica reduzida (RQEDd?,de) pode ser recuperada a partir da abordagem de potencial confinante. Para uma teoria bidimensional, propomos uma grande classe de extensões do modelo de Schwinger, em que a interação entre férmions vai além do potencial linear. Demonstramos que, notavelmente, essas extensões são exatamente solúveis para férmions sem massa e que não há geração de massa dinâmica para os férmions. Além disso, construímos uma nova família de teorias que podem ser exatamente bosonizadas. Também mostramos que RQED4,2 tem as características necessárias para ser identificada como uma teoria de campo efetivo para fios de grafeno. Finalmente, estudamos o efeito da interação de campos magnéticos e pseudomagnéticos no grafeno. Para este sistema, calculamos o condensado fermiônico, a densidade de carga induzida de vácuo, a ação efetiva em ordem de um laço e a magnetização. Demonstramos que a presença de um campo pseudo-magnético diferente de zero torna possível observar experimentalmente uma densidade de carga induzida de vácuo. Além disso, vamos mostrar que é possível ter controle sobre a magnetização, bem como a massa dinâmica para cada vale no grafeno, quer seja por deformações ou variando o campo magnético aplicado.