Esta dissertação tem como objetivo estudar a gapeabilidade da teoria de borda de teorias de Chern-Simons U(1)N utilizando a formulação da matriz K. A formulação da matriz K é usada para descrever qualquer estado topológico abeliano em diferentes frações de preenchimento. Neste trabalho, revisamos algumas propriedades interessantes que surgem na teoria do bulk de uma teoria de Chern-Simons U(1)N, como a equivalência topológica entre teorias com K-matrizes distintas, simetrias anyonicas e equivalência estável, com exemplos para cada uma dessas propriedades. Em seguida, analisamos as condições sob as quais a borda de uma teoria de Chern-Simons multicomponente pode ser gapeada. A primeira condição é que a carga central da teoria seja nula, o que significa que a borda tem o mesmo número de modos contrapropagantes. Essa condição por si só não garante que a borda possa ser gapeada. O requisito adicional para a gapeabilidade é a validade da condição nula de Haldane, que pode ser formalizada em termos de subgrupos Lagrangianos. Se a teoria de borda tiver pelo menos um subgrupo Lagrangiano e a carga central for zero, a borda pode ser gapeada por termos de perturbação de cosseno que condensam partículas na borda. Ademais, são apresentados exemplos sobre a gapeabilidade das teorias em sistemas com preenchimentos \nu = 8/9, que podem ser gapeados, e \nu = 2/3, em que a borda é protegida, seguidos pelo caso geral em que K = diag(k1,– k2), onde a teoria de borda pode ser gapeada se k1k2 for um quadrado perfeito. Além disso, apresentamos que o estado com \nu = 8/9 possui Z3 parafermions na extremidade da interface formada pelas fases \nu = 1 e \nu = -1/9 e K = diag(k1, k2) = diag(n2, –m2) possui Zmn parafermions ligados às extremidades da interface, em acordo com os resultados de Ref
Esta dissertação tem como objetivo estudar a gapeabilidade da teoria de borda de teorias de Chern-Simons U(1)N utilizando a formulação da matriz K. A formulação da matriz K é usada para descrever qualquer estado topológico abeliano em diferentes frações de preenchimento. Neste trabalho, revisamos algumas propriedades interessantes que surgem na teoria do bulk de uma teoria de Chern-Simons U(1)N, como a equivalência topológica entre teorias com K-matrizes distintas, simetrias anyonicas e equivalência estável, com exemplos para cada uma dessas propriedades. Em seguida, analisamos as condições sob as quais a borda de uma teoria de Chern-Simons multicomponente pode ser gapeada. A primeira condição é que a carga central da teoria seja nula, o que significa que a borda tem o mesmo número de modos contrapropagantes. Essa condição por si só não garante que a borda possa ser gapeada. O requisito adicional para a gapeabilidade é a validade da condição nula de Haldane, que pode ser formalizada em termos de subgrupos Lagrangianos. Se a teoria de borda tiver pelo menos um subgrupo Lagrangiano e a carga central for zero, a borda pode ser gapeada por termos de perturbação de cosseno que condensam partículas na borda. Ademais, são apresentados exemplos sobre a gapeabilidade das teorias em sistemas com preenchimentos \nu = 8/9, que podem ser gapeados, e \nu = 2/3, em que a borda é protegida, seguidos pelo caso geral em que K = diag(k1,– k2), onde a teoria de borda pode ser gapeada se k1k2 for um quadrado perfeito. Além disso, apresentamos que o estado com \nu = 8/9 possui Z3 parafermions na extremidade da interface formada pelas fases \nu = 1 e \nu = -1/9 e K = diag(k1, k2) = diag(n2, –m2) possui Zmn parafermions ligados às extremidades da interface, em acordo com os resultados de Ref
Nesta tese nós discutimos duas fases topológicas não-abelianas da matéria e como teoria de campos conforme pode ser aplicada para melhor entendê-las. Nosso primeiro tópico é um supercondutor topológico realizado por um efeito Hall quântico anômalo submetido à um potencial de formação de pares. Para este modelo, primeiro nós prevemos a existência de excitações não massivas por meio de um argumento simples de fios quânticos. Apesar da perturbação não-relativística, a contribuição dominante na ação efetiva é a soma de termos de Chern-Simons relativísticos. Feito isto, nós deduzimos a teoria efetiva de borda usando a equivalência entre o Chern-Simons e sua teoria conforme induzida na borda. Além disso, nós discutimos o líquido de spins (2 + 1)-dimensional usando o formalismo de fios quânticos. Para isto, nós usamos bosonização não-Abeliana para obter uma ação efetiva de baixas energias escrita a partir de termos deWess-Zumino-Witten, a partir do qual nós discutimos a estrutura de pontos fixos da teoria. Por fim, nós calculamos a contribuição a um loop na função C e comparamos com a carga central nos pontos fixos
Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico.
Neste trabalho mostramos que uma grande variedade de modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas podem também ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial. Estes modelos são descritos no caso unidimensional por cadeias quânticas, e por matrizes de transferência no caso de sistemas clássicos bi-dimensionais. Diferentemente do ansatz de Bethe, em que as auto-funções do modelo são escritas como uma combinação de ondas planas, no nosso ansatz do produto matricial elas são dadas por produtos de matrizes, onde as matrizes obedecem a uma álgebra associativa apropriada. Estas relações algébricas são obtidas impondo-se que as auto-funções escritas em termos do ansatz satisfaçam à equação de auto-valor do operador Hamiltoniano ou da matriz de transferência. A consistência das relações de comutatividade entre os elementos da álgebra implicam na exata integrabilidade do modelo. Além disso, o ansatz que propomos permite uma formulação simples e unificada para vários Hamiltonianos quânticos exatamente solúveis. Apresentamos nesta tese a formulação do nosso ansatz do produto matricial para uma grande família de redes quânticas, como os modelos anisotrópico de Heisenberg, Fateev-Zamolodchikov, Izergin-Korepin, Sutherland, t-J, Hubbard etc. Mais ainda, formulamos nosso ansatz para processos estocásticos de partículas com tamanhos e classes diferentes difundindo assimetricamente na rede. Por fim, com o objetivo de dar suporte a nossa conjectura de que todos os modelos exatamente solúveis através do ansatz de Bethe coordenadas, associados a Hamiltonianos quânticos unidimensionais ou matrizes de transferência bidimensionais, também podem ser resolvidos através de um ansatz do produto matricial, apresentamos a formulação do nosso ansatz para a matriz de transferência do modelo de seis-vértices com condição de contorno toroidal
Utilizamos uma abordagem topológica para descrever as transições de fase induzidas pelo campo e frustração exibidas pelo modelo XY de alcance infinito na cadeia AB2, o qual exibe estruturas de spin colineares e não colineares. Para tal fim, calculamos o número de Morse e a característica de Euler, bem como outros invariantes topológicos, os quais se comportam de forma semelhante, em função do nível de energia, no contexto da Teoria de Morse. Em particular, baseado em uma analogia com a mecânica estatística, identificamos um método bastante viável para o cálculo da característica de Euler. Também introduzimos energias topológicas que ajudaram a esclarecer várias propriedades das transições de fase, tanto à temperatura nula quanto à temperatura finita. Além disso, estabelecemos uma conexão não trivial direta entre a termodinâmica dos sistemas, os quais foram resolvidos exatamente pelo método do ponto de sela, e a topologia do espaço de configurações. Esta conexão permite identificar a condição de não degenerescência em que a divergência da densidade dos pontos críticos do Jacobiano, jl(E), proposta por Kastner e Schnetz [Phys. Rev. Lett. 100, 160601 (2008)] como um critério de necessidade, é suprimida. Nossos resultados, e aqueles disponíveis na literatura, sugerem que a singularidade tipo cúspide exibida tanto pela característica de Euler quanto pela contribuição topológica para a entropia na energia crítica, simultaneamente com a divergência de jl(E), emergem como condições necessárias e suficientes para a ocorrência de uma transição de fase induzida por uma mudança topológica no espaço de configurações. O caráter geral da presente proposta deverá ser submetida a uma avaliação mais rigorosa e testada para outros modelos, incluindo modelos de interação de curto alcance. Finalmente, baseado na definição da integração sobre a característica de Euler, fizemos uma extensão da abordagem topológica das transições de fase para o ensemble microcanônico e a aplicamos para o caso do Modelo XY de alcance infinito na cadeia linear. Em particular, identificamos a temperatura crítica da transição de fase deste modelo através da característica de Euller.
Nós calculamos a entropia de emaranhamento topológica para um grande conjunto de modelos em dimensão d. Sabe-se que muitos sistemas quânticos podem ser construídos a partir de teorias de gauge na rede. Em dimensões maiores a 2 existem generalizações além das teorias de gauge. Chamadas higher gauge theories, estas são baseadas em generalizações de ordem superior do conceito de grupo. O nosso objeto de estudo é um conjunto grande de modelos d-dimensionais, que são obtidos a partir de teorias Abelianas de higher gauge. Neste trabalho, calculamos a entropia de emaranhamento para dito conjunto de modelos. O nosso formalismo permite fazer a maior parte do cálculo para dimensão arbitrária d. Mostramos que a entropia de emaran- hamento S_A , em uma sub-região A do sistema, é proporcional à log(GSD_Ã ), onde GSD_Ã é a degenerescência do estado fundamental de uma restrição particular do modelo na região A. Quando A tem a topologia de uma bola de dimensão d, a quantidade GSD_Ã conta o número de estados de borda. Neste caso, S_A escala com a área da borda (d 1)-dimensional de A. O resultado exato da entropia que obtemos está em concordância com os resultados conhecidos na literatura.
Estudamos modelos de materiais magnéticos não uniformes, ou seja, sem simetria translacional. Esta simetria pode ser quebrada pela bordas do sistema, e pela presença de impurezas ou defeitos, ou reduzida por modulações periódicas nas ligações. Como ferramenta nessas investigações utilizamos a formulação da Teoria do Funcional da Densidade para o modelo de Heisenberg. Baseados nos conceitos dessa formulação, propomos a aproximação de ligação local. com o intuito de prover uma forma viável para calcular a energia do estado fundamental de uma cadeia de spins com defeitos ou com modulações nas ligações. Submetemos os funcionais gerados pela aproximação de ligação local a testes de verificação, variando as condições de contorno. a dimensionalidade. e as parametrizações do sistema homogêneo. Com auxílio da aproximação proposta foi possível estudar como a energia do estado fundamental se comporta diante de hordas. e de defeitos locais ferromagnéticos e antiferromagnéticos. Verificamos a existência de urna lei de escala nas cadeias alternadas, e analisamos a dimerização de urna cadeia com modulações FM-AFM. Por Último, estudamos o comportamento crítico de uma cadeia alternada AFM-AFM no limite em que se torna homogênea, com o intuito de verificar conjecturas sobre este comportamento apresentadas recentemente na literatura