Neste trabalho apresentamos um algoritmo quântico eficiente para o Problema do Subgrupos Oculto (PSO) no produto semidireto dos grupos cíclicos e , onde é qualquer número primo ímpar, e são inteiros positivos e o homomorfismo que define o grupo é dado por uma raiz para a qual . Como conseqüência, podemos resolver eficientemente o PSO também no produto semidireto dos grupos por , onde o inteiro possui uma especial fatoração prima.
Neste trabalho apresentamos um algoritmo quântico eficiente para o Problema do Subgrupos Oculto (PSO) no produto semidireto dos grupos cíclicos e , onde é qualquer número primo ímpar, e são inteiros positivos e o homomorfismo que define o grupo é dado por uma raiz para a qual . Como conseqüência, podemos resolver eficientemente o PSO também no produto semidireto dos grupos por , onde o inteiro possui uma especial fatoração prima.
Neste trabalho apresentamos um novo algoritmo quântico eficiente para o Problema do Subgrupo Oculto (PSO) sobre uma classe especial de grupos metacíclicos, Z_p \rtimes Z_q^s, com q | (p-1) e p/q= poli(log p), onde p, q são números primos ímpares distintos e s um inteiro positivo qualquer. Em um contexto mais geral, sem impor uma relação entre p e q obtemos um algoritmo quântico com complexidade de tempo 2^{O(\sqrt{log p})}. Em qualquer caso, esses resultados são melhores que qualquer algoritmo clássico para o mesmo fim, cuja complexidade é \Omega(\sqrt{p}). Apresentamos também, algoritmos quânticos para o PSO sobre grupos não abelianos de ordem 2^{n+1} que possuem subgrupos cíclicos de índice 2 e para certos produtos semidiretos de grupos Z_N^m \rtimes Z_p, com m, N inteiros positivos e N fatorado de forma especial.
Computadores quânticos prometem resolver certos problemas assintoticamente mais rápido do que os computadores clássicos. Algoritmos quânticos, como o algoritmo de Shor, podem ser considerados casos particulares do chamado Problema do Subgrupo Oculto(PSO). O PSO consiste em encontrar um subgrupo H de um grupo G por meio de avaliações de uma função f que é constante em classes laterais de H e distinta em classes laterais diferentes. O PSO em grupos abelianos é resolvido eficientemente em um computador quântico, mas será que os computadores quânticos podem resolver o PSO em grupos não abelianos? Esta questão tem sido discutida regularmente pela comunidade científica devido a importantes aplicações, como é o caso do problema de isomorfismo de grafos e do problema do menor vetor em um reticulado. Nesta dissertação é feita uma revisão do trabalho de Ivanyos et al. (2007a), o qual apresenta uma solução para o PSO em grupos nilpotentes de classe 2. Com esta finalidade, é elaborada uma breve revisão sobre a Computação Quântica; são mostradas algumas características dos grupos nilpotentes e dos grupos solúveis, dando uma atenção especial aos grupos nilpotentes de classe 2; é exposto o método padrão de solução do PSO em grupos abelianos; também são exibidas as principais características de sequencias policıclicas e reduções¸de grupos nilpotentes usando as propriedades de sequencias policıclicas
O problema do isomorfismo de grafos possui aplicações em diversas áreas da ciência. Tal problema não possui uma solução eficiente para o seu caso geral. No presente trabalho, apresentamos os conceitos básicos em teoria de grupos, teoria dos grafos e mecânica quântica. Apresentamos o problema do subgrupo oculto e uma conhecida redução polinomial do problema do isomorfismo de grafos no seu caso geral para o problema do subgrupo oculto sobre o grupo simétrico. Utilizamos um método que reduz o problema do isomorfismo de grafos para o problema de interseção de grupos. Este método utiliza resultados da computação quântica e da teoria dos grupos solúveis, nos permitindo obter uma solução eficiente através de um algoritmo quântico para o problema do isomorfismo de grafos para uma classe particular de grafos.
As assinaturas digitais são de fundamental importância para as comunicações eletrônicas no mundo todo por garantirem a integridade e autenticidade da informação. Com os avanços da ciência nas áreas da mecânica quântica e a introdução destes novos conceitos nas telecomunicações, a segurança da informação também precisou evoluir e cada vez mais se tem buscado novos sistemas de segurança que forneçam maior integridade e autenticidade que os sistemas clássicos. Dessa forma o objetivo deste trabalho é utilizar as propriedades do problema QSCDff , para a criação de um protocolo de assinatura quântica de mensagens. O problema QSCD ff possui propriedades matemáticas e computacionais para garantir a integridade e autenticidade das assinaturas geradas. O protocolo proposto faz uso de chaves descritas na forma de estados quânticos construídos a partir de permutações de um grupo simétrico e de uma função de hash para a compressão da mensagem original. Como entrada o protocolo recebe a mensagem clássica e uma chave privada. Para a geração do estado quântico da assinatura utiliza-se uma permutação como chave privada e o hash da mensagem. Gerar tal assinatura sem ter uma chave privada consiste em resolver um problema de encontrar automorfismos não triviais de grafos. A validação deste estado é feita através da aplicação do algoritmo quântico de busca de Grover. Por fim é mostrado que a probabilidade de falsificação da assinatura é negligenciável dado o número de cópias do estado da assinatura.
Sistemas de criptografia largamente difundidos como o RSA fundamentam a sua eficiência na suposição de que, em termos práticos, é impossível fatorar números inteiros suficientemente grandes em uma escala de tempo aceitável. Mais precisamente, não existem, até o momento, algoritmos de fatoração em tempo polinomial que possam ser implementados nos atuais computadores. Dentre os algoritmos conhecidos, o mais eficiente requer um tempo computacional de ordem exponencial na quantidade de dígitos binários do número a ser fatorado. Em 1994, baseado nos trabalhos anteriores de Benioff, Bennett, Deutsch, Feynman e Simon, dentre outros, Peter Shor apresentou um algoritmo de fatoração que requer assintoticamente uma quantidade em ordem polinomial de passos em um computador quântico para fatorar um número inteiro de tamanho arbitrário. Esse algoritmo ao invés de abordar o problema de decompor tal número em dois fatores não triviais pelo método direto de divisões sucessivas, utiliza o problema equivalente de encontrar a ordem de um certo inteiro modulo o número fatorado, onde esse inteiro é escolhido aleatoriamente relativamente primo com o número fatorado. Shor faz uso de um algoritmo quântico para calcular essa ordem. A computação quântica revela um paradigma computacional bastante adverso da computação clássica. Enquanto esta última é realizada através de operações binárias determinísticas com base na lógica booleana clássica, a computação quântica fundamenta as suas operações nos postulados que descrevem o comportamento quântico da matéria. Portanto, é probabilística no seu modus operandi. Essa diferença entre os formalismos lógicos da computação clássica e da computação quântica é um reflexo direto da natureza dos sistemas físicos que são utilizados para implementar concretamente cada uma dessas computações. Esta dissertação apresenta o algoritmo de Shor para fatoração em um computador quântico. Na seqüência, introduzimos no capítulo 1 alguns conceitos básicos da computação clássica com o objetivo de criar um ambiente de idéias favorável à apresentação da computação quântica como uma extensão, tão natural quanto possível, do modelo clássico computacional. Assim, no capítulo 2, apresentamos as bases do formalismo matemático que modela a computação quântica, atendo-nos apenas aos aspectos conceituais que são, direta ou indiretamente, aplicados na descrição do algoritmo de Shor. Os capítulos 3 e 4 são dedicados à apresentação do algoritmo de fatoração de Shor, feita em duas partes. A primeira diz respeito a parte não quântica e aborda os aspectos algébricos do algoritmo. Também é demonstrado o teorema que assegura a viabilidade probabilística da solução desse problema. No capítulo 4, apresentamos a parte quântica do algoritmo de Shor. O ponto alto da dissertação é alcançado mostrando-se como encontrar a ordem de um inteiro módulo o número a ser fatorado relativamente primo com este, conciliando o algoritmo quântico com uma interpretação clássica de seus dados de saída, mediante o uso da expansão de um número racional em frações contínuas
Nos dias atuais, os sistemas de criptografia e autenticação desempenham um papel fundamental em aplicações que envolvem a manipulação de informações sigilosas, tais como movimentações financeiras, comércio eletrônico, aplicações militares e proteção de arquivos digitais. A popularização do uso dos sistemas de criptografia e autenticação se deve, em grande parte, a descrição de esquema de criptografia por chave pública. A segurança de tais sistemas é baseada na intratabilidade computacional (clássica) de problemas da teoria dos números, como a fatoração em produtos de primos e o problema do logaritmo discreto. A partir da formulação da Mecânica Quântica, foram demonstrados algoritmos que, executados em um computador quântico e consumindo tempo e recursos polinomiais, são capazes de resolver tais problemas. A construção de um computador quântico inviabilizaria, portanto, o uso de sistemas de criptografia e autenticação por chave pública. Nesta dissertação é discutido o problema da autenticação quântica de mensagens clássicas. É proposto um protocolo híbrido que alcança segurança incondicional, mesmo que um criptoanalista disponha de recursos computacionais infinitos, sejam eles clássicos ou quânticos. Através de uma prova matemática formal, é mostrado que o nível de segurança pode ser feito tão alto quanto desejado. Tal segurança é-garantida pelos princípios fundamentais da mecânica quântica.