L'approccio al problema a molti corpi è in generale fortemente limitato dallo scaling esponenziale nel numero di componenti dei costi computazionali. Tuttavia, per un'ampia gamma di modelli a bassa dimensionalità vincoli sulla struttura di entanglement degli stati fondamentali rendono possibile uno studio efficiente, tramite algoritmi di rinormalizzazione basati su ansatz che catturano ottimamente tale struttura. Entrambi possono essere formulati naturalmente in un linguaggio diagrammatico, quello dei Tensor Network. In questa trattazione si darà un'introduzione generale e si considererà poi in particolare il caso unidimensionale, introducendo i Matrix Product States e il Density Matrix Renormalization Group ed illustrandone una semplice applicazione.
L'approccio al problema a molti corpi è in generale fortemente limitato dallo scaling esponenziale nel numero di componenti dei costi computazionali. Tuttavia, per un'ampia gamma di modelli a bassa dimensionalità vincoli sulla struttura di entanglement degli stati fondamentali rendono possibile uno studio efficiente, tramite algoritmi di rinormalizzazione basati su ansatz che catturano ottimamente tale struttura. Entrambi possono essere formulati naturalmente in un linguaggio diagrammatico, quello dei Tensor Network. In questa trattazione si darà un'introduzione generale e si considererà poi in particolare il caso unidimensionale, introducendo i Matrix Product States e il Density Matrix Renormalization Group ed illustrandone una semplice applicazione.
Das Ziel dieser Arbeit ist einen Überblick über die Entwicklung der Simulation von quanten Vielteilchenproblemen zu geben. Wir behandeln die Algorithmen die auf der Density Matrix Renormalization Methode basieren. Sie ist eine der schnellsten und präzisesten Simulationsmethoden. Allerdings war ursprünglich die Methode ausschließlich zur Simulation eindimensionaler Probleme gedacht. Diese Arbeit behandelt den klassischen Ansatz sowie die Versuche diese eindimensional Methode auf höherdimensionale Probleme umzulegen. Im speziellen wird auf die Möglichkeit der generalisierung auf Probleme mit baumartiger Geometrie eingegangen und auch auf andere Tensornetzwerk basierende Methoden eingegangen.
Come si può apprendere uno stato quantistico della luce? Come si può distribuire informazione quantistica attraverso un collegamento ottico? È possibile superare la sfida delle regolarizzazioni nella teoria di Shannon quantistica? Questa tesi affronta tutte e tre queste questioni. La prima parte della tesi studia l’intersezione tra due importanti ambiti di ricerca: la teoria dell’apprendimento quantistico e i sistemi a variabili continue (continuous-variable, CV). La teoria dell’apprendimento quantistico si occupa di come estrarre informazione classica da sistemi quantistici nel modo più efficiente possibile. I sistemi CV sono onnipresenti in natura e nelle tecnologie quantistiche, in quanto modellano sistemi bosonici e piattaforme di ottica quantistica. Questa intersezione solleva numerose domande aperte di grande interesse, alcune delle quali vengono affrontate in questa tesi. Una prima domanda naturale riguarda i limiti ultimi della tomografia per sistemi CV. Rispondiamo a questa domanda dimostrando che: (i) la tomografia di stati non gaussiani è estremamente inefficiente; (ii) la tomografia di stati gaussiani è efficiente; e (iii) la complessità campionaria della tomografia CV cresce esponenzialmente con il grado di non gaussianità dello stato incognito. Altre domande naturali affrontate in lavori successivi correlati includono l’apprendimento efficiente di processi gaussiani e il problema di testare in modo efficiente se uno stato CV incognito sia gaussiano oppure lontano dall’insieme degli stati gaussiani. Come sottoprodotto delle nostre analisi, otteniamo diversi limiti sulla distanza in traccia tra stati CV in funzione delle loro matrici di covarianza, che forniscono un utile insieme di strumenti per la ricerca nella teoria dell’apprendimento quantistico con sistemi CV e potenzialmente anche in altri contesti. La seconda parte della tesi si concentra sulla teoria di Shannon quantistica per sistemi CV. Uno degli obiettivi principali di questa disciplina è comprendere come trasmettere informazione classica o quantistica in modo efficiente attraverso canali quantistici. Iniziamo determinando il massimo livello di rumore compatibile con la distribuzione di chiavi quantistiche e con la distribuzione di entanglement su canali gaussiani bosonici a fase insensibile, che costituiscono modelli standard per fibre ottiche e collegamenti in spazio libero. Raggiungiamo questo obiettivo stabilendo limiti inferiori allo stato dell’arte per la capacità di chiave segreta e per la capacità quantistica a due vie nel regime di alto rumore. Studiamo poi la comunicazione quantistica bosonica sotto diversi vincoli realistici, inclusi l’effetto combinato di perdita di fotoni e decoerenza di fase, nonché la presenza di rumore non markoviano (con memoria); in lavori successivi correlati consideriamo inoltre il regime one-shot di un numero finito di usi del canale e tolleranza di errore non nulla. La parte finale della tesi si sposta sui sistemi a dimensione finita e affronta un ostacolo centrale nella teoria di Shannon quantistica: il problema delle regolarizzazioni, che rende computazionalmente intrattabile ottenere una comprensione quantitativa precisa dell’efficienza ultima di compiti operativi fondamentali quali la manipolazione dell’entanglement. In questo contesto, consideriamo il problema del calcolo del costo asintotico di entanglement per la preparazione esatta di stati quantistici rumorosi sotto operazioni PPT. Basandoci su una precedente caratterizzazione del costo di entanglement PPT in termini di una formula regolarizzata, costruiamo invece una gerarchia di programmi semidefiniti che aggira completamente il problema della regolarizzazione e converge esponenzialmente al vero valore asintotico del costo di entanglement. Per quanto a nostra conoscenza, questa è la prima volta in cui una misura di entanglement asintotica risulta essere computabile in modo efficiente nonostante l’assenza di una formula single-letter in forma chiusa.
Questo lavoro esamina le applicazioni del quantum computing in data science, riformulando problemi di ottimizzazione e machine learning attraverso un formalismo ibrido quantistico-classico. Innanzitutto, vengono presentati i concetti fondamentali della meccanica quantistica, limitando lo studio all’area di interesse del quantum computing ma allo stesso tempo impostando il contesto matematico in modo rigoroso. Dopodiche, attraverso una panoramica dell’hardware presente ad oggi e di quello atteso per il futuro prossimo, e con l’esaminazione dei problemi legati al rumore e al ridotto numero di qubit disponibili nei dispositivi quantistici moderni, si motiva il bisogno di un approccio ibrido per risolvere problemi complessi, che permetta ad hardware classico e quantistico di lavorare sinergicamente. Lo scopo di questo lavoro e quello di presentare strategie per modellare problemi di ottimizzazione e supervised e reinforcement learning in modo da far lavorare una Quantum Processing Unit sulle parti degli algoritmi computazionalmente piu costose. Vengono discussi sia i benefici sia gli svantaggi: i primi sono strettamente legati alla scelta di un modello di computazione nuovo, dal quale ci si aspetta l’esecuzione di operazioni classicamente intrattabili e lo sfruttamento della velocita intrinseca dei sistemi quantistici di raggiungere il ground state; i secondi derivano principalmente dalle attuali limitazioni ingegneristiche che non permettono un controllo efficiente di sistemi quantistici a larga scala. Vengono esaminati quattro casi di studio: un problema di classificazione di immagini auto-costruite attraverso un algoritmo di Support Vector Machine, il quale sfrutta funzioni che portano i dati dallo spazio di input allo spazio degli stati quantistici, construendo cosi un kernel quantum-enhanced; un problema di reinforcement learning, formulato come Quadratic Unconstrained Binary Optimisation (QUBO), con lo scopo di trovare una strategia vincente per il gioco del Blackjack usando dati auto-simulati; il Number Partitioning Problem, formulato come QUBO, che rappresenta lo scenario piu complesso dal punto di vista della connettivita dei qubit e, per grandi istanze, e capace di raggiungere la complessita di problemi reali; infine, il problema del limited-assets Markowitz portfolio optimisation, riscritto come QUBO, al fine di implementare un’euristica quantum-inspired che possa sormontare la complessita del problema al crescere della dimensione dell’input. Nel corso di questo lavoro sono stati analizzati sia l’approccio di computazione universale gate-model, sia quello di adiabatic quantum computing, con particolare attenzione verso quest’ultimo attraverso la maggior parte dei casi di studio. Per uno di questi, il Number Partitioning Problem, e stato sfruttato l’accesso in cloud ad un quantum annealer, che ha permesso uno studio completo delle capacita di tale macchina, in grado di risolvere tra i problemi piu complessi che i quantum computer moderni possano affrontare. Infine, non solo questo lavoro valuta l’accuratezza e la qualita delle soluzioni dei problemi esaminati, ma si concentra anche sul paragone tra strategie quantistiche e classiche, evidenziando le differenze e i benefici che un approccio quantistico o ibrido quantistico-classico puo portare nella risoluzione di problemi di ottimizzazione e machine learning, specialmente con l’eventuale disponibilita, nel futuro prossimo, di dispositivi a piu larga scala.
G. Martinelli, M. Panella, A. Rizzi Dipartimento INFOCOM Universita di Roma “La Sapienza” Via Eudossiana 18, 00184 Roma La ricerca iniziata recentemente sul ‘quantum processing’ e stata indirizzata verso due tematiche: • l’esistenza di un’analogia tra le procedure per l’ottimizzazione, basate sull’imitazione di fenomeni naturali sia fisici sia biologici, e quelle che possono essere sviluppate sulla base della teoria quantistica. La differenza tra i due casi sta nel livello dei fenomeni presi in considerazione e cioe un livello macroscopico nel primo caso ed un livello microscopico nel secondo caso. In ambedue i casi si imita la natura con lo scopo di avvantaggiarsene per il raggiungimento di procedure efficaci di ottimizzazione. • sviluppo di procedure di ottimizzazione basate sulle proprieta piu caratteristiche del livello microscopico. Le suddette procedure si diversificano in base all’applicazione presa in considerazione. La prima tematica e stata approfondita mettendo in evidenza la possibilita di sviluppare un procedimento di ottimizzazione capace d’individuare la soluzione ottimale di un problema in modo esaustivo. Risultati parziali nell’ambito di questa tematica sono stati riportati in [1]. La possibilita di effettuare una ricerca esaustiva e basate sulle proprieta tipiche della realta microscopica e cioe: • sovrapposizione delle soluzioni, ovvero tutte le soluzioni del problema esistono simultaneamente anche se in un numero enorme; • ‘entanglement’, cioe la possibilita di marcare nella sovrapposizione quelle ottimali con una semplice trasformazione di una opportuna funzione booleana nel dominio quantistico; • operatori quantistici lineari e non lineari, i quali permettono di estrarre la soluzione ottimale dalla sovrapposizione. In particolare, nel caso degli operatori non lineari tale estrazione puo avvenire con un costo computazionale molto ridotto e tale da poter giustificare procedure esaustive anche nel caso di problemi di difficile soluzione. Per quanto riguarda la seconda tematica, i problemi considerati hanno riguardato l’intelligenza artificiale e cioe le reti neurofuzzy, le reti neurali e le memorie associative. In tutti i casi la procedura da seguire e stata quella di rappresentare l’oggetto d’interesse con una stringa di bit. Tale stringa riportata nel dominio quantistico diviene una stringa di qubit ed e in grado di rappresentare simultaneamente tutte le versioni possibili dell’oggetto d’interesse. Tale sovrapposizione non puo essere utilizzata direttamente in quanto i qubit possono essere conosciuti solo attraverso misurazione. Inconvenienti relativi a questa operazione sono: • risultato stocastico della misura, nel senso che non si puo stabilire a priori quale componente della sovrapposizione si ottiene con la misura. Nella sovrapposizione ciascuna componente e associata ad un coefficiente che ne caratterizza la probabilita con cui puo essere estratto. La componente estratta dipende dal suddetto coefficiente e dal meccanismo di misura. Percio dalla misura e possibile ottenere un risultato efficace solo se il coefficiente associato alla soluzione ottimale e molto elevato.
Diese Dissertation beschaftigt sich mit der Frage, inwiefern es moglich ist, Aussagen uber glo-
bale Eigenschaften eines komplexen Vielteilchensystems im thermodynamischen Limes aus der
Sicht einer lokalen Beschreibung seines aktuellen Zustandes zu treffen. Im Besonderen werden
Tensornetzwerkdarstellungen von klassischen oder Quantenzustanden verwendet, um ein- oder
zweidimensionale, stark korrelierte Vielteilchensysteme im Gleich- oder Ungleichgewicht zu
untersuchen. Dabei wird der Fokus auf Matrixproduktzustande (MPS) gelegt, einer speziell fur
eindimensionale Quantengitter geeignete Variante von Tensornetzwerken. Die lokalen Tensoren
als Bausteine solch einer Beschreibung werden verwendet, um lokale Objekte oder Grosen zu
konstruieren, anhand derer Aussagen uber generelle globale Eigenschaften des Systems getrof-
fen werden konnen.
Als gute Grundlage solcher Untersuchungen wird zunachst ein neuartiger und effizienter
Algorithmus fur die Optimierung einer MPS-Grundzustandsnaherung fur stark korrelierte ein-
dimensionale Spinketten im thermodynamischen Limes vorgestellt. Es wird gezeigt, dass dieser
Algorithmus bestehende Methoden in puncto Geschwindigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse
bei weitem ubertrifft.
Mit dieser Methode errechnete Grundzustandsnaherungen werden nun verwendet, um die
aus den elementaren Tensoren konstruierte MPS-Transfermatrix zu untersuchen. Eine Betrach-
tung ihres Eigenspektrums zeigt verbluffende Verbindungen zwischen statischen Korrelations-
funktionen im Grundzustand und elementaren Anregungen eines Systems. Im Speziellen kon-
nen die Impulse und die Grose der Minima in der Energiedispersion der elementaren Anre-
gungen sehr genau uber die dominanten Eigenwerte der Transfermatrix bestimmt werden. Man
kann daher Informationen uber angeregte Zustande eines Systems blos aus einer lokalen Dar-
stellung des Grundzustandes gewinnen.
Des weiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz von symmetriebrechenden Phasenuber-
gangen in einem bestimmten physikalischen System auf die Geometrie der konvexen Menge
aller moglichen reduzierten Dichtematrizen in diesem System zuruckfuhren lasst. Nichtanalyti-
zitaten auf der Oberflache solcher Mengen signalisieren das Auftreten von Symmetriebrechung
und eines zugehorigen (lokalen) Ordnungsparameters. Die Frage, ob ein System Symmetriebre-
chung zeigt, lasst sich daher uber eine Menge von lokalen Objekten (namlich den reduzierten
Dichtematrizen) beantworten.
Zu guter Letzt wird eine Variante des neu entwickelten Grundzustandsalgorithmus – ad-
aptiert fur die Berechnung reeller Zeitentwicklung – dazu verwendet, um dynamische Phasen-
ubergange in Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen im Rahmen eines globalen
Quenches zu untersuchen. Solche Phasenubergange zeigen charakteristische Nichtanalytizita-
ten in der Zeit in der Form von Zacken in der globalen Uberlagerung von zeitentwickeltem und
Ausgangszustand. Es wird gezeigt, dass diese Zacken von Kreuzungen im Spektrum der ge-
mischten Transfermatrix, welche aus den elementaren Tensoren einer MPS-Beschreibung bei-
der Zustande besteht, herruhren. Es ist also wiederholt ein Attribut eines lokalen Objektes, das
Zugang zu einer globalen Grose, namlich der Uberlappung zweier Quantenzustande, gewahrt.