It Cannot Be Copied, Yet It Can Be Corrected ── The Syndrome Tells 8 Bits about the Error and 0 Bits about the State ── Eavesdropping Appears as the Number 25% by the Same Reasoning ── [Paper 281]
Yuuki Yamagishi
A quantum state cannot be copied (the no-cloning theorem). Yet quantum error correction works. To correct one must know the error; to know it one must measure; and measuring destroys the state──so it would seem. This paper asks why these two are compatible──the answer is that what is measured is not the state but the error. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──the no-cloning theorem, Shor’s 9-qubit code, the 5-qubit code, BB84, the 25% of intercept-resend, and the 11% of Shor--Preskill are all standard. We do not construct codes──all we count is the number of syndromes and the number of errors to be corrected. We do not prove the no-cloning theorem──we merely quote it. We give no security proof──the 11.0028% of Shor--Preskill is quoted as a number only, and we do not enter the proof. We do not discuss real quantum key distribution──loss, dark counts, multi-photon components, and device attacks are not treated at all. The 25% of this paper is a value for ideal intercept-resend only. We do not claim the best attack──intercept-resend is not the best attack. A cleverer attack obtains the same information at a lower error rate. 25% is a number for “how conspicuous a naive attack is”. We do not treat finite-key effects──the 0.75^73 of Section 5 is the miss probability under full interception, not a complete assessment of statistical security. We do not discuss quantum computation──neither Shor’s factoring nor the threshold theorem is treated. Relation to earlier papers: Paper 163 separated “a good code exists” from “here is a good code”──this paper stands on the construction side and counts the syndromes of specific codes. Paper 252 counted four quantities called “information”──the 8 and the 0 counted here are the bits one and the same measurement returns about two different objects, a separation of objects, not of kinds of quantity. Paper 188 treated cases exactly determined by fewer measurements than unknowns──this paper is the converse: measuring exactly what is needed and nothing else. Paper 179 showed that “cannot be constructed” has distinct roots──no-cloning is one such “cannot construct,” and this paper uses as a premise that its root is linearity. Paper 68 read the qubit as a Hopf fibration──this paper counts the same qubit as a number of bits of information. What is added is counting the bits the syndrome tells, separated as “8 about the error, 0 about the state”, confirming that the 5-qubit code saturates exactly at 16=16, setting beside it the fact that the same reasoning yields the 25% of BB84, and computing that 25% is 2.2722 times the security limit. First, we count the bits the syndrome tells. Shor’s 9-qubit code tells 8 bits about the error and 0 bits about the logical state (Section 2). Second, the 5-qubit code saturates exactly. Against 16 syndromes there are 16 errors to correct──not one to spare (Section 3). Third, the same reasoning turns eavesdropping into a number. Under BB84 intercept-resend, the error rate is exactly 25% (Section 4). Fourth, 25% is 2.27 times the security limit. The one-way post-processing limit is 11.0028%, so it is certain to be detected (Section 5). Fifth, checking 73 bits drops the miss probability below 10^-9. That is 0.75^73 (Section 5). Sixth, the separator is that security does not rest on computational cost. However fast computers become, 25% stays 25% (Section 6). It cannot be copied yet can be corrected because what is measured is not the state. The syndrome of Shor’s 9-qubit code tells 8 bits about the error and 0 bits about the logical state──because only 0 bits are taken, the price is also 0. Enlarging the code does not increase that 0──Shor, Steane, and the 5-qubit code are equally 0 about the state. And in the 5-qubit code, 16 syndromes correspond one-to-one to 16 errors. The obverse of the same reasoning turns eavesdropping into a number──Eve tries to take about the state, so a footprint of 25% remains. That is 2.2722 times the security limit of 11.0028%, and checking 73 bits drops the miss probability below 10^-9. One thing separates them──counting how many bits that measurement takes about the state. Count, and correction and eavesdropping are seen as two faces of one principle. Fail to count, and the two look contradictory. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 量子状態は複製できない(複製不可能定理)。ところが量子誤り訂正は動く。訂正するには誤りを知らねばならず、知るには測らねばならず、測れば状態は壊れる──はずである。本稿が問うのは、この二つがなぜ両立するかである──答は、測っているのが状態ではなく誤りだからである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──複製不可能定理、ショアの 9 量子ビット符号、5 量子ビット符号、BB84、傍受再送攻撃の 25%、ショア=プレスキルの 11% は、いずれも標準的である。符号を作らない──数えるのはシンドロームの個数と、訂正すべき誤りの個数だけである。複製不可能定理を証明しない──引くだけである。安全性証明をしない──ショア=プレスキルの 11.0028% は数値として引くのみで、証明には立ち入らない。現実の量子鍵配送を論じない──損失、暗黒計数、多光子成分、装置攻撃を一切扱わない。本稿の 25% は理想的な傍受再送のみの値である。最良の攻撃を主張しない──傍受再送は最良の攻撃ではない。より賢い攻撃は同じ情報量をより少ない誤り率で得る。25% は「素朴な攻撃がどれだけ目立つか」の数である。有限鍵効果を扱わない──第5節の 0.75^73 は全量傍受のときの見逃し確率であり、統計的安全性の完全な評価ではない。量子計算を論じない──ショアの因数分解も、閾値定理も扱わない。既刊との関係:論文163 は「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」を分けた──本稿は構成の側に立ち、具体的な符号のシンドロームを数える。論文252 は「情報量」が四つあることを数えた──本稿が数える 8 と 0 は同じ一つの測定が、二つの対象について返すビット数であり、量の種類ではなく対象の分離である。論文188 は未知数より少ない測定で厳密に決まる場合を扱った──本稿はその逆で、必要な分だけ測って、それ以外を測らない場合である。論文179 は「構成できない」に別根があることを示した──複製不可能定理も一つの「構成できない」であり、本稿はその根が線型性にあることを前提として使う。論文68 は量子ビットをホップ束として読んだ──本稿は同じ量子ビットを、情報のビット数として数える。加えたのはシンドロームが語るビット数を「誤りについて 8/状態について 0」と分けて数えたこと、5 量子ビット符号で 16=16 とちょうど飽和することを確かめたこと、同じ理屈が BB84 の 25% を生むと並べたこと、25% が安全限界の 2.2722 倍だと計算したことである。 第一に、シンドロームが語るビット数を数える。ショアの 9 量子ビット符号は誤りについて 8 ビット語り、論理状態については 0 ビット語る(第2節)。 第二に、5 量子ビット符号ではちょうど飽和する。シンドローム数 16 に対し、訂正すべき誤りが 16 通り──一つも余らない(第3節)。 第三に、同じ理屈が盗聴を数にする。 BB84 の傍受再送で、誤り率は 25% ちょうどになる(第4節)。 第四に、25% は安全限界の 2.27 倍である。片方向後処理の限界は 11.0028% であり、確実に検出される(第5節)。 第五に、73 ビット照合すれば見逃し確率は 10^-9 を切る。0.75^73 である(第5節)。 第六に、分離子は「安全性の根拠が計算量でない」ことである。計算機が速くなっても、25% は 25% のままである(第6節)。 複製できないのに訂正できるのは、測っているのが状態ではないからである。ショアの 9 量子ビット符号のシンドロームは、誤りについて 8 ビットを語り、論理状態については 0 ビットを語る──0 ビットしか取らないから、代償も 0 である。符号を大きくしてもこの 0 は増えない──ショアもステインも 5 量子ビット符号も、状態については等しく 0 である。そして 5 量子ビット符号では、16 個のシンドロームが 16 通りの誤りにちょうど一対一で対応する。同じ理屈の裏側が、盗聴を数にする──エヴは状態について取ろうとするので、25% という足跡が残る。それは安全限界 11.0028% の 2.2722 倍であり、73 ビット照合すれば見逃し確率は 10^-9 を切る。分けるものは一つ──その測定が、状態について何ビット取っているかを数えること。数えれば、訂正と盗聴が同じ一つの原理の裏表だと分かる。数えなければ、両者は矛盾して見える。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。
•Aug 30, 2026•0 citations