It Cannot Be Copied, Yet It Can Be Corrected ── The Syndrome Tells 8 Bits about the Error and 0 Bits about the State ── Eavesdropping Appears as the Number 25% by the Same Reasoning ── [Paper 281]
A quantum state cannot be copied (the no-cloning theorem). Yet quantum error correction works. To correct one must know the error; to know it one must measure; and measuring destroys the state──so it would seem. This paper asks why these two are compatible──the answer is that what is measured is not the state but the error. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──the no-cloning theorem, Shor’s 9-qubit code, the 5-qubit code, BB84, the 25% of intercept-resend, and the 11% of Shor--Preskill are all standard. We do not construct codes──all we count is the number of syndromes and the number of errors to be corrected. We do not prove the no-cloning theorem──we merely quote it. We give no security proof──the 11.0028% of Shor--Preskill is quoted as a number only, and we do not enter the proof. We do not discuss real quantum key distribution──loss, dark counts, multi-photon components, and device attacks are not treated at all. The 25% of this paper is a value for ideal intercept-resend only. We do not claim the best attack──intercept-resend is not the best attack. A cleverer attack obtains the same information at a lower error rate. 25% is a number for “how conspicuous a naive attack is”. We do not treat finite-key effects──the 0.75^73 of Section 5 is the miss probability under full interception, not a complete assessment of statistical security. We do not discuss quantum computation──neither Shor’s factoring nor the threshold theorem is treated. Relation to earlier papers: Paper 163 separated “a good code exists” from “here is a good code”──this paper stands on the construction side and counts the syndromes of specific codes. Paper 252 counted four quantities called “information”──the 8 and the 0 counted here are the bits one and the same measurement returns about two different objects, a separation of objects, not of kinds of quantity. Paper 188 treated cases exactly determined by fewer measurements than unknowns──this paper is the converse: measuring exactly what is needed and nothing else. Paper 179 showed that “cannot be constructed” has distinct roots──no-cloning is one such “cannot construct,” and this paper uses as a premise that its root is linearity. Paper 68 read the qubit as a Hopf fibration──this paper counts the same qubit as a number of bits of information. What is added is counting the bits the syndrome tells, separated as “8 about the error, 0 about the state”, confirming that the 5-qubit code saturates exactly at 16=16, setting beside it the fact that the same reasoning yields the 25% of BB84, and computing that 25% is 2.2722 times the security limit. First, we count the bits the syndrome tells. Shor’s 9-qubit code tells 8 bits about the error and 0 bits about the logical state (Section 2). Second, the 5-qubit code saturates exactly. Against 16 syndromes there are 16 errors to correct──not one to spare (Section 3). Third, the same reasoning turns eavesdropping into a number. Under BB84 intercept-resend, the error rate is exactly 25% (Section 4). Fourth, 25% is 2.27 times the security limit. The one-way post-processing limit is 11.0028%, so it is certain to be detected (Section 5). Fifth, checking 73 bits drops the miss probability below 10^-9. That is 0.75^73 (Section 5). Sixth, the separator is that security does not rest on computational cost. However fast computers become, 25% stays 25% (Section 6). It cannot be copied yet can be corrected because what is measured is not the state. The syndrome of Shor’s 9-qubit code tells 8 bits about the error and 0 bits about the logical state──because only 0 bits are taken, the price is also 0. Enlarging the code does not increase that 0──Shor, Steane, and the 5-qubit code are equally 0 about the state. And in the 5-qubit code, 16 syndromes correspond one-to-one to 16 errors. The obverse of the same reasoning turns eavesdropping into a number──Eve tries to take about the state, so a footprint of 25% remains. That is 2.2722 times the security limit of 11.0028%, and checking 73 bits drops the miss probability below 10^-9. One thing separates them──counting how many bits that measurement takes about the state. Count, and correction and eavesdropping are seen as two faces of one principle. Fail to count, and the two look contradictory. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 量子状態は複製できない(複製不可能定理)。ところが量子誤り訂正は動く。訂正するには誤りを知らねばならず、知るには測らねばならず、測れば状態は壊れる──はずである。本稿が問うのは、この二つがなぜ両立するかである──答は、測っているのが状態ではなく誤りだからである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──複製不可能定理、ショアの 9 量子ビット符号、5 量子ビット符号、BB84、傍受再送攻撃の 25%、ショア=プレスキルの 11% は、いずれも標準的である。符号を作らない──数えるのはシンドロームの個数と、訂正すべき誤りの個数だけである。複製不可能定理を証明しない──引くだけである。安全性証明をしない──ショア=プレスキルの 11.0028% は数値として引くのみで、証明には立ち入らない。現実の量子鍵配送を論じない──損失、暗黒計数、多光子成分、装置攻撃を一切扱わない。本稿の 25% は理想的な傍受再送のみの値である。最良の攻撃を主張しない──傍受再送は最良の攻撃ではない。より賢い攻撃は同じ情報量をより少ない誤り率で得る。25% は「素朴な攻撃がどれだけ目立つか」の数である。有限鍵効果を扱わない──第5節の 0.75^73 は全量傍受のときの見逃し確率であり、統計的安全性の完全な評価ではない。量子計算を論じない──ショアの因数分解も、閾値定理も扱わない。既刊との関係:論文163 は「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」を分けた──本稿は構成の側に立ち、具体的な符号のシンドロームを数える。論文252 は「情報量」が四つあることを数えた──本稿が数える 8 と 0 は同じ一つの測定が、二つの対象について返すビット数であり、量の種類ではなく対象の分離である。論文188 は未知数より少ない測定で厳密に決まる場合を扱った──本稿はその逆で、必要な分だけ測って、それ以外を測らない場合である。論文179 は「構成できない」に別根があることを示した──複製不可能定理も一つの「構成できない」であり、本稿はその根が線型性にあることを前提として使う。論文68 は量子ビットをホップ束として読んだ──本稿は同じ量子ビットを、情報のビット数として数える。加えたのはシンドロームが語るビット数を「誤りについて 8/状態について 0」と分けて数えたこと、5 量子ビット符号で 16=16 とちょうど飽和することを確かめたこと、同じ理屈が BB84 の 25% を生むと並べたこと、25% が安全限界の 2.2722 倍だと計算したことである。 第一に、シンドロームが語るビット数を数える。ショアの 9 量子ビット符号は誤りについて 8 ビット語り、論理状態については 0 ビット語る(第2節)。 第二に、5 量子ビット符号ではちょうど飽和する。シンドローム数 16 に対し、訂正すべき誤りが 16 通り──一つも余らない(第3節)。 第三に、同じ理屈が盗聴を数にする。 BB84 の傍受再送で、誤り率は 25% ちょうどになる(第4節)。 第四に、25% は安全限界の 2.27 倍である。片方向後処理の限界は 11.0028% であり、確実に検出される(第5節)。 第五に、73 ビット照合すれば見逃し確率は 10^-9 を切る。0.75^73 である(第5節)。 第六に、分離子は「安全性の根拠が計算量でない」ことである。計算機が速くなっても、25% は 25% のままである(第6節)。 複製できないのに訂正できるのは、測っているのが状態ではないからである。ショアの 9 量子ビット符号のシンドロームは、誤りについて 8 ビットを語り、論理状態については 0 ビットを語る──0 ビットしか取らないから、代償も 0 である。符号を大きくしてもこの 0 は増えない──ショアもステインも 5 量子ビット符号も、状態については等しく 0 である。そして 5 量子ビット符号では、16 個のシンドロームが 16 通りの誤りにちょうど一対一で対応する。同じ理屈の裏側が、盗聴を数にする──エヴは状態について取ろうとするので、25% という足跡が残る。それは安全限界 11.0028% の 2.2722 倍であり、73 ビット照合すれば見逃し確率は 10^-9 を切る。分けるものは一つ──その測定が、状態について何ビット取っているかを数えること。数えれば、訂正と盗聴が同じ一つの原理の裏表だと分かる。数えなければ、両者は矛盾して見える。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。
A quantum state cannot be copied (the no-cloning theorem). Yet quantum error correction works. To correct one must know the error; to know it one must measure; and measuring destroys the state──so it would seem. This paper asks why these two are compatible──the answer is that what is measured is not the state but the error. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──the no-cloning theorem, Shor’s 9-qubit code, the 5-qubit code, BB84, the 25% of intercept-resend, and the 11% of Shor--Preskill are all standard. We do not construct codes──all we count is the number of syndromes and the number of errors to be corrected. We do not prove the no-cloning theorem──we merely quote it. We give no security proof──the 11.0028% of Shor--Preskill is quoted as a number only, and we do not enter the proof. We do not discuss real quantum key distribution──loss, dark counts, multi-photon components, and device attacks are not treated at all. The 25% of this paper is a value for ideal intercept-resend only. We do not claim the best attack──intercept-resend is not the best attack. A cleverer attack obtains the same information at a lower error rate. 25% is a number for “how conspicuous a naive attack is”. We do not treat finite-key effects──the 0.75^73 of Section 5 is the miss probability under full interception, not a complete assessment of statistical security. We do not discuss quantum computation──neither Shor’s factoring nor the threshold theorem is treated. Relation to earlier papers: Paper 163 separated “a good code exists” from “here is a good code”──this paper stands on the construction side and counts the syndromes of specific codes. Paper 252 counted four quantities called “information”──the 8 and the 0 counted here are the bits one and the same measurement returns about two different objects, a separation of objects, not of kinds of quantity. Paper 188 treated cases exactly determined by fewer measurements than unknowns──this paper is the converse: measuring exactly what is needed and nothing else. Paper 179 showed that “cannot be constructed” has distinct roots──no-cloning is one such “cannot construct,” and this paper uses as a premise that its root is linearity. Paper 68 read the qubit as a Hopf fibration──this paper counts the same qubit as a number of bits of information. What is added is counting the bits the syndrome tells, separated as “8 about the error, 0 about the state”, confirming that the 5-qubit code saturates exactly at 16=16, setting beside it the fact that the same reasoning yields the 25% of BB84, and computing that 25% is 2.2722 times the security limit. First, we count the bits the syndrome tells. Shor’s 9-qubit code tells 8 bits about the error and 0 bits about the logical state (Section 2). Second, the 5-qubit code saturates exactly. Against 16 syndromes there are 16 errors to correct──not one to spare (Section 3). Third, the same reasoning turns eavesdropping into a number. Under BB84 intercept-resend, the error rate is exactly 25% (Section 4). Fourth, 25% is 2.27 times the security limit. The one-way post-processing limit is 11.0028%, so it is certain to be detected (Section 5). Fifth, checking 73 bits drops the miss probability below 10^-9. That is 0.75^73 (Section 5). Sixth, the separator is that security does not rest on computational cost. However fast computers become, 25% stays 25% (Section 6). It cannot be copied yet can be corrected because what is measured is not the state. The syndrome of Shor’s 9-qubit code tells 8 bits about the error and 0 bits about the logical state──because only 0 bits are taken, the price is also 0. Enlarging the code does not increase that 0──Shor, Steane, and the 5-qubit code are equally 0 about the state. And in the 5-qubit code, 16 syndromes correspond one-to-one to 16 errors. The obverse of the same reasoning turns eavesdropping into a number──Eve tries to take about the state, so a footprint of 25% remains. That is 2.2722 times the security limit of 11.0028%, and checking 73 bits drops the miss probability below 10^-9. One thing separates them──counting how many bits that measurement takes about the state. Count, and correction and eavesdropping are seen as two faces of one principle. Fail to count, and the two look contradictory. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 量子状態は複製できない(複製不可能定理)。ところが量子誤り訂正は動く。訂正するには誤りを知らねばならず、知るには測らねばならず、測れば状態は壊れる──はずである。本稿が問うのは、この二つがなぜ両立するかである──答は、測っているのが状態ではなく誤りだからである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──複製不可能定理、ショアの 9 量子ビット符号、5 量子ビット符号、BB84、傍受再送攻撃の 25%、ショア=プレスキルの 11% は、いずれも標準的である。符号を作らない──数えるのはシンドロームの個数と、訂正すべき誤りの個数だけである。複製不可能定理を証明しない──引くだけである。安全性証明をしない──ショア=プレスキルの 11.0028% は数値として引くのみで、証明には立ち入らない。現実の量子鍵配送を論じない──損失、暗黒計数、多光子成分、装置攻撃を一切扱わない。本稿の 25% は理想的な傍受再送のみの値である。最良の攻撃を主張しない──傍受再送は最良の攻撃ではない。より賢い攻撃は同じ情報量をより少ない誤り率で得る。25% は「素朴な攻撃がどれだけ目立つか」の数である。有限鍵効果を扱わない──第5節の 0.75^73 は全量傍受のときの見逃し確率であり、統計的安全性の完全な評価ではない。量子計算を論じない──ショアの因数分解も、閾値定理も扱わない。既刊との関係:論文163 は「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」を分けた──本稿は構成の側に立ち、具体的な符号のシンドロームを数える。論文252 は「情報量」が四つあることを数えた──本稿が数える 8 と 0 は同じ一つの測定が、二つの対象について返すビット数であり、量の種類ではなく対象の分離である。論文188 は未知数より少ない測定で厳密に決まる場合を扱った──本稿はその逆で、必要な分だけ測って、それ以外を測らない場合である。論文179 は「構成できない」に別根があることを示した──複製不可能定理も一つの「構成できない」であり、本稿はその根が線型性にあることを前提として使う。論文68 は量子ビットをホップ束として読んだ──本稿は同じ量子ビットを、情報のビット数として数える。加えたのはシンドロームが語るビット数を「誤りについて 8/状態について 0」と分けて数えたこと、5 量子ビット符号で 16=16 とちょうど飽和することを確かめたこと、同じ理屈が BB84 の 25% を生むと並べたこと、25% が安全限界の 2.2722 倍だと計算したことである。 第一に、シンドロームが語るビット数を数える。ショアの 9 量子ビット符号は誤りについて 8 ビット語り、論理状態については 0 ビット語る(第2節)。 第二に、5 量子ビット符号ではちょうど飽和する。シンドローム数 16 に対し、訂正すべき誤りが 16 通り──一つも余らない(第3節)。 第三に、同じ理屈が盗聴を数にする。 BB84 の傍受再送で、誤り率は 25% ちょうどになる(第4節)。 第四に、25% は安全限界の 2.27 倍である。片方向後処理の限界は 11.0028% であり、確実に検出される(第5節)。 第五に、73 ビット照合すれば見逃し確率は 10^-9 を切る。0.75^73 である(第5節)。 第六に、分離子は「安全性の根拠が計算量でない」ことである。計算機が速くなっても、25% は 25% のままである(第6節)。 複製できないのに訂正できるのは、測っているのが状態ではないからである。ショアの 9 量子ビット符号のシンドロームは、誤りについて 8 ビットを語り、論理状態については 0 ビットを語る──0 ビットしか取らないから、代償も 0 である。符号を大きくしてもこの 0 は増えない──ショアもステインも 5 量子ビット符号も、状態については等しく 0 である。そして 5 量子ビット符号では、16 個のシンドロームが 16 通りの誤りにちょうど一対一で対応する。同じ理屈の裏側が、盗聴を数にする──エヴは状態について取ろうとするので、25% という足跡が残る。それは安全限界 11.0028% の 2.2722 倍であり、73 ビット照合すれば見逃し確率は 10^-9 を切る。分けるものは一つ──その測定が、状態について何ビット取っているかを数えること。数えれば、訂正と盗聴が同じ一つの原理の裏表だと分かる。数えなければ、両者は矛盾して見える。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。
The sentence “this cipher is secure” rests on one of three different grounds. This paper asks which of them a quantum computer breaks──the answer is one. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──the complexity of the number field sieve, Shor’s algorithm, Grover’s algorithm, and the perfect secrecy of the one-time pad are all standard. We do not build cryptography──all we use is one exponent and one mutual information. We do not explain the algorithms──Shor and Grover are quoted by their cost formulas, and we do not enter their workings. We do not discuss implementation security──key management, randomness quality, side channels, and implementation flaws are not treated at all. Most real breaks live there, but this paper treats only the type of ground. We do not discuss the feasibility of quantum computers──neither when nor whether they can be built is treated. Only what would break if they were. We assert no values for the effort──the sieve’s exponent is asymptotic, and 10^25.3 is an order with constants dropped. Only the direction and the order are claimed. We do not treat lattice cryptography──post-quantum schemes also sit on the computational ground, and which problems stay hard under quantum attack is not adjudicated here. Relation to earlier papers: Paper 281 showed that what cannot be copied can still be corrected, and that eavesdropping becomes the number 25%──the third ground here is the physical security shown there. Paper 252 counted four quantities called “information,” needing different things──the second ground here rests on a mutual information that is exactly 0. Paper 112 counted “six distinct roots sharing one rhyme”──“security” here likewise has three distinct roots under one word. Paper 302 treated how existence does not give quantity──computational security likewise sits where “hard” has no settled quantity. What is added is lining up the three grounds by what they depend on, computing the RSA-2048 acceleration as 10^25.3, showing that an eightfold key length raises the quantum effort only 512-fold, and separating symmetric from public key by square root against cube. First, there are three grounds. Computational, information-theoretic, and physical security, and all three depend on different things (Section 2). Second, this is the core of the paper. A quantum computer breaks only the first, and cannot in principle reach the other two (Section 3). Third, the breaking is dramatic. At RSA 2048 bits the ratio of classical to quantum effort is 10^25.3 (Section 4). Fourth, key length cannot answer it. Multiplying the key length by 8 raises the quantum effort only 512-fold (Section 4). Fifth, symmetric keys need only be doubled. Grover gains only a square root, and AES-256 retains an effective 128 bits (Section 5). Sixth, the separator is resting on difficulty against resting on the absence of information (Section 6). “This cipher is secure” rests on one of three different grounds──computational (it is hard), information-theoretic (there is no information), and physical (measuring destroys). A quantum computer breaks only the first──“quantum computers will break cryptography” is one third right. The breaking is indeed dramatic──at RSA 2048 bits the ratio of classical to quantum effort is 10^25.3, and at 4096 bits 10^36.3. And key length cannot answer it──against the classical attack 2538 bits reaches 2^128, while on the quantum side an eightfold key raises the effort only 512-fold. Symmetric keys are another matter──Grover gains only a square root, so AES-256 retains an effective 128 bits. One thing separates them──whether the security rests on difficulty or on the absence of information. Difficulty moves with machines. I(M;C)=0 does not move. Put exactly──a quantum computer breaks the ciphers that rest on difficulty. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 「この暗号は安全である」という一文は、三つの別の根拠のどれかに立っている。本稿が問うのは、量子計算機が壊すのはどれかである──答は、一つだけである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──数体篩の計算量、ショアのアルゴリズム、グローバーのアルゴリズム、ワンタイムパッドの完全秘匿性は、いずれも標準的である。暗号を作らない──使うのは一つの指数と、一つの相互情報量だけである。アルゴリズムを説明しない──ショアもグローバーも手間の式を引くだけであり、中身には立ち入らない。実装の安全を論じない──鍵管理、乱数の質、サイドチャネル、実装の欠陥は一切扱わない。現実の破られ方の大半はここにあるが、本稿は根拠の型だけを扱う。量子計算機の実現可能性を論じない──いつ作れるかも、作れるかも扱わない。作れたとして何が壊れるかだけを数える。手間の値を主張しない──数体篩の指数は漸近形であり、10^25.3 は定数因子を無視した桁である。比較の向きと桁だけが本稿の主張である。格子暗号を扱わない──耐量子暗号も計算量的安全の側にあるが、どの問題が量子で難しいままかは本稿では判定しない。既刊との関係:論文281 は複製できないのに訂正できることを示し、盗聴が 25% という数になると書いた──本稿の三つ目の根拠はそこで示された物理的安全である。論文252 は「情報量」が四つあり要るものが違うと数えた──本稿の二つ目の根拠は相互情報量が厳密に 0であることに立つ。論文112 は「同じ韻を踏む六つの別根」を数えた──本稿の「安全」も一語の下に三つの別根を持つ。論文302 は存在が定量を教えないことを扱った──本稿の計算量的安全も「難しい」の定量が定まらない側にある。加えたのは三つの根拠を依存先で並べたこと、RSA 2048 bit の加速を 10^25.3 と計算したこと、鍵長を 8 倍にしても量子側が 512 倍にしかならないと示したこと、対称鍵と公開鍵で対処法が違う理由を平方根と三乗で分けたことである。 第一に、根拠は三つある。計算量的安全・情報理論的安全・物理的安全であり、依存先が三つとも違う(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。量子計算機が壊すのは一つ目だけであり、残り二つには原理的に届かない(第3節)。 第三に、壊れ方は劇的である。 RSA 2048 bit で古典と量子の手間の比は 10^25.3 である(第4節)。 第四に、鍵長では対抗できない。鍵長を 8 倍にしても、量子側の手間は 512 倍にしかならない(第4節)。 第五に、対称鍵は倍にすれば済む。グローバーは平方根しか稼がず、AES-256 は実効 128 bitで足りる(第5節)。 第六に、分離子は「難しさに立つか、情報の不在に立つか」である(第6節)。 「この暗号は安全である」は、三つの別の根拠のどれかに立っている──計算量的安全(難しい)、情報理論的安全(情報が無い)、物理的安全(測れば壊れる)である。量子計算機が壊すのは一つ目だけである──「量子計算機が暗号を破る」という一文は、三分の一しか当たっていない。壊れ方は確かに劇的である──RSA 2048 bit で古典と量子の手間の比は 10^25.3、4096 bit では 10^36.3 である。そして鍵長では対抗できない──古典に対しては 2538 bit で 2^128 相当まで行けるのに、量子側は鍵長を 8 倍にしても手間が 512 倍にしかならない。対称鍵は事情が違う──グローバーは平方根しか稼がないので、AES-256 にすれば実効 128 bit で足りる。分けるものは一つ──その安全が、難しさに立っているか、情報の不在に立っているか。難しさは計算機で動く。 I(M;C)=0 は動かない。正確に言えばこうである──量子計算機は、難しさに立つ暗号を破る。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。
The errors that can enter a qubit form a continuum. Why can a code with finitely many correctable errors fix them? This paper asks who does the discretising──the answer is the measurement, not the code. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──error discretisation, the Pauli basis, stabiliser codes, surface codes, and the threshold theorem are all standard. We do not construct codes──all we count is numbers of parameters and numbers of errors. We do not prove the threshold theorem──the value p_thapprox 10^-2 is quoted as a number only. We do not derive the logical error rate──(p/p_th)^(d+1)/2 is an asymptotic estimate that drops constant factors. The values of Section 5 are orders, not predictions. We do not discuss surface-code implementation──lattice geometry, measurement circuits, and decoders are not treated at all. The count approx d^2 physical qubits is the simplest estimate. We do not treat correlated errors──the count of Section 4 assumes independent single-qubit errors. With correlations, errors leave the weight-1 bracket. We do not read 1.068x10^-4 pessimistically──it is a fraction of all Pauli operators, not a fraction of the errors that actually occur. If real errors concentrate at weight 1, then 28 suffices in practice. This paper does not assert which is the case. On the sibling paper: Paper 281 treats the same quantum error correction and counts that the syndrome tells 8 bits about the error and 0 bits about the state──the root is the same (measurement does not destroy the state) but the question differs. That paper asks what the measurement does not take; this one asks what the measurement makes discrete. Readers are advised to read them side by side. Relation to earlier papers: Paper 163 separated “a good code exists” from “here is a good code”──this paper counts what a constructed code actually covers. Paper 179 showed that “cannot be constructed” has distinct roots──the impossibility of d=4 here likewise has counting as its root. Paper 252 counted four quantities called “information”──this paper separates continuous parameters from discrete outcomes. Paper 269 showed that what a crystal forbids is periodicity──the discretisation here is likewise imposed by a structure. What is added is counting a one-qubit error as 8 real parameters falling to 4 outcomes after measurement, computing that distance 3 covers 28 of 4^9=262144, a fraction of 1.068x10^-4, confirming that 3.24 times in the surface code corresponds to one hundredth, and placing the difference from the classical case at “whether a projection is required”. First, we count the errors on one qubit. E=c_0I+c_1X+c_2Y+c_3Z has 8 real parameters and is a continuum (Section 2). Second, this is the core of the paper. The measurement projects that onto the 4 outcomes I,X,Y,Z──the discretising is done by the measurement, not the code (Section 2). Third, fixing X and Z fixes Y. Since Y=iXZ, only 2 kinds need independent correction (Section 3). Fourth, a code covers only a sliver. Of the 4^9=262144 Pauli operators on 9 qubits, distance 3 fixes 28, a fraction of 1.068x10^-4 (Section 4). Fifth, in the surface code, 3.24 times gives one hundredth. From d=5 to 9, physical qubits 25->81 and logical error rate 10^-3->10^-5 (Section 5). Sixth, the separator is whether a projection is needed. Classical codes need none──because their errors are discrete to begin with (Section 6). The familiar statement that “continuous errors get discretised” is right. But what discretises is the measurement, not the code. A one-qubit error has 8 real parameters and forms a continuum, yet the syndrome measurement projects it onto the 4 outcomes I,X,Y,Z──what remains is a single Pauli error, and undoing it suffices. Since Y=iXZ, only 2 kinds need independent correction. Meanwhile the reach of a code is narrow──of the 262144 Pauli errors on 9 qubits, distance 3 fixes 28, a mere 1.068x10^-4. It works because the assumption that errors are sparse is doing the work. And the price is polynomial──multiplying the physical qubits by 3.24 divides the logical error rate by 100. One thing separates them──whether the errors are discrete to begin with, or a projection is required. A classical code needs no projection. In a quantum code, measuring is a precondition of correcting, and the separate fact that measuring does not destroy the state is what makes it possible. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 量子ビットに入る誤りは連続無限にある。それを有限個の符号で訂正できるのは、なぜか。本稿が問うのは、離散化しているのは誰かである──答は、符号ではなく測定である。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──誤りの離散化、パウリ基底、安定符号、表面符号、閾値定理は、いずれも標準的である。符号を作らない──数えるのはパラメータの個数と、誤りの個数だけである。閾値定理を証明しない──p_thapprox 10^-2 という値は数値として引くのみである。論理誤り率の式を導出しない──(p/p_th)^(d+1)/2 は漸近形の目安であり、定数因子を無視している。第5節の値は「桁」であって予言値ではない。表面符号の実装を論じない──格子の形も、測定回路も、デコーダも一切扱わない。物理量子ビット数 approx d^2 は最も単純な見積りである。相関誤りを扱わない──第4節の数え上げは独立な単一量子ビット誤りを仮定している。相関があれば重み 1 の枠から外れる。1.068x10^-4 を悲観的に読まない──これは全パウリ演算子に対する割合であって、実際に起きる誤りに対する割合ではない。起きやすい誤りが重み 1 に集中していれば実用上は十分である。本稿はどちらが実際かを主張しない。兄弟編について:論文281 は同じ量子誤り訂正を扱い、シンドロームが誤りについて 8 ビット・状態について 0 ビット語ることを数えた──根は同じ(測定が状態を壊さない)だが、問いが違う。あちらは測定が何を取らないか、本稿は測定が何を離散にするかである。読者は両方を並べて読むことを勧める。既刊との関係:論文163 は「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」を分けた──本稿は構成された符号が実際に何個の誤りを覆うかを数える。論文179 は「構成できない」に別根があると示した──本稿の d=4 不可も数え上げが根である。論文252 は「情報量」が四つあると数えた──本稿は連続なパラメータと離散な結果を分ける。論文269 は結晶が禁じるのが周期性だと示した──本稿の離散化も構造が課すものである。加えたのは一量子ビットの誤りが実パラメータ 8 つで、測定後に 4 通りになると数えたこと、4^9=262144 に対して距離 3 が覆うのが 28 個・1.068x10^-4 だと計算したこと、表面符号で 3.24 倍が 100 分の一に対応すると確かめたこと、古典との差を「射影が要るかどうか」に置いたことである。 第一に、一量子ビットの誤りを数える。 E=c_0I+c_1X+c_2Y+c_3Z には実パラメータが 8 つあり、連続無限である(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。測定がそれを I,X,Y,Z の 4 通りに射影する──離散にしているのは測定であって、符号ではない(第2節)。 第三に、X と Z を直せば Y も直る。 Y=iXZ だから、独立に直すべきは 2 種類だけである(第3節)。 第四に、符号が直せるのはごく一部である。9 量子ビットのパウリ演算子 4^9=262144 個のうち、距離 3 が直すのは 28 個、割合は 1.068x10^-4(第4節)。 第五に、表面符号では 3.24 倍で 100 分の一である。 d=5->9、物理量子ビット 25->81 で論理誤り率 10^-3->10^-5(第5節)。 第六に、分離子は「射影があるか」である。古典符号には射影が要らない──誤りが最初から離散だからである(第6節)。 量子誤り訂正でよく言われる「連続な誤りが離散化される」は正しい。ただし離散化しているのは符号ではなく、測定である。一量子ビットの誤りには実パラメータが 8 つあり、連続無限であるが、シンドローム測定が I,X,Y,Z の 4 通りに射影する──そのあとに残るのは一つのパウリ誤りであり、打ち消せばよい。 Y=iXZ なので、独立に直すべきは 2 種類である。一方で、符号が覆う範囲は狭い──9 量子ビットのパウリ誤り 262144 通りのうち、距離 3 が直せるのは 28 通り、1.068x10^-4 にすぎない。それでも動くのは誤りが疎だという仮定が効いているからである。そして代償は多項式で済む──物理量子ビットを 3.24 倍にすると、論理誤り率が 100 分の一になる。分けるものは一つ──誤りが最初から離散か、射影を要するか。古典符号に射影は要らない。量子符号では、測ることが訂正の前提であり、測ることが状態を壊さないという別の事実が、それを可能にしている。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。
Quantum error correction protects logical qubits from decoherence but requires repeated syndrome extraction whose fundamental thermodynamic cost has not been characterized exactly. We prove five theorems and two corollaries that supply this characterization for stabilizer codes. First, a no-go result establishes that every error-correction cycle requires strictly positive work, ruling out passive error correction. Second, a duality identity shows that the combined measurement and erasure cost per syndrome-extraction round is determined solely by the number of stabilizer generators; only the split between measurement and erasure depends on the error rate. Third, a coherence dissipation theorem quantifies the additional irreversible work generated when projective stabilizer measurements destroy quantum coherence in the data register. CSS codes eliminate this cost for generators aligned with the noise channel’s eigenbasis, yielding a thermodynamic criterion for code selection under non-Pauli noise. Fourth, a Crooks fluctuation theorem for the full syndrome cycle yields a Jarzynski equality and exponential tail bounds on rare work fluctuations. Fifth, a variance formula captures the effect of syndrome correlations among stabilizers that share physical qubits. We evaluate all results across eleven codes, from a three-qubit repetition code to a 144-qubit quantum low-density parity-check code, establishing a Pareto trade-off between thermodynamic cost and error-suppression capability. Comparison with four experimental platforms—two superconducting, one trapped-ion, and one neutral-atom—shows that current hardware operates five to eleven orders of magnitude above the Landauer limit, with control and readout hardware, not syndrome extraction, as the dominant source of dissipation.
Quantum information theory is a wide area of investigation, which includes two main subjects: quantum computation and quantum communication. The success of quantum computation theory is due to a positive result: Shor's algorithm. The algorithm provides factorization of integers in a much more efficient way with respect to what is achieved not only by present-day computers, but even by the most powerful conceivable computers based on classical physics. On the other hand, the success of quantum communication is due to the intrinsic security of ideal quantum cryptographic protocols, and thus relies on a negative result, that is the impossibility of reading quantum information without scrambling it in an unrecoverable way. The no information without disturbance property spawns other no-go theorems, which represent some of the most famous and classic results in quantum information theory. Among these results one can certainly list the no-cloning theorem, stating the impossibility of copying quantum information. This impossibility is clearly a consequence of the impossibility of extracting information without disturbing it. Indeed, if we could copy exactly the state of a system, reproducing it on another system of the same type, then we would also be able to iterate this process, and produce as many copies as we want. We could then extract all the information we are interested in from the copies, keeping the original intact. This argument is so simple, but hides a very deep point about quantum information, and more generally about any type of information that can be purified. Suppose indeed that there exists a measurement allowing us to determine the state of a system, with absolute precision. We could then use such a measurement on the system, and once we know its exact state, we can in principle re-prepare the same state as many times as we want. If copying the state is forbidden within a theory, we must then conclude that, in that theory, measuring the state is forbidden, too! This is exactly the case in theories with purification, and in particular in quantum theory. In quantum theory, determining the state of a system is impossible. We can only have some information about what state our system is prepared in. The information may be accurate, but it will never be certain. This could be practically the case in classical theory, too.
We optimize fault-tolerant quantum error correction to reduce the number of syndrome bit measurements. Speeding up error correction will also speed up an encoded quantum computation, and should reduce its effective error rate. We give both code-specific and general methods, using a variety of techniques and in a variety of settings. We design new quantum error-correcting codes specifically for efficient error correction, e.g., allowing single-shot error correction. For codes with multiple logical qubits, we give methods for combining error correction with partial logical measurements. There are tradeoffs in choosing a code and error-correction technique. While to date most work has concentrated on optimizing the syndrome-extraction procedure, we show that there are also substantial benefits to optimizing how the measured syndromes are chosen and used. As an example, we design single-shot measurement sequences for fault-tolerant quantum error correction with the 16-qubit extended Hamming code. Our scheme uses 10 syndrome bit measurements, compared to 40 measurements with the Shor scheme. We design single-shot logical measurements as well: any logical Z measurement can be made together with fault-tolerant error correction using only 11 measurements. For comparison, using the Shor scheme a basic implementation of such a non-destructive logical measurement uses 63 measurements. We also offer ten open problems, the solutions of which could lead to substantial improvements of fault-tolerant error correction.