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Les Presses de l'Université de Montréal eBooks

La transformation de Weyl et la fonction de Wigner : une forme alternative de la méchanique quantique

S.R. DE GROOT

Published Jan 1, 1974• 40 citations
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Dans l'optique de la mecanique stochastique, une formulation probabiliste de la mecanique quantique dans l'espace des phases est proposee. Notre approche utilise la fonction de wigner qui offre, dans un cadre general, une description d'un systeme quantique dans l'espace des phases. Alors que la mecanique stochastique ne considere que les etats purs du systeme, les proprietes de la fonction introduite par wigner nous permettent de traiter les etats de melange aussi bien que les etats purs. Apres avoir precise, en premiere partie, les proprietes essentielles de cette fonction et rappele son lien avec les operateurs de weyl, nous donnons dans une deuxieme partie une analyse heuristique de la mecanique quantique en terme de fluide. L'interpretation habituelle de la fonction de wigner comme etant une densite dans l'espace des phases, nous amene a considerer le cas d'un systeme soumis a l'action d'une force derivant d'un potentiel qui est la transformee de fourier d'une mesure bornee. Nous montrons que l'on peut alors envisager la fonction de wigner comme une difference de deux fonctions positives telles qu'a chacune de ces fonctions soit associe un processus de markov. Notre conception de fluide quantique consiste a interpreter ces deux fonctions comme etant les densites d'un fluide compose de deux types de particules differents mais dans lequel seule la difference de ces densites est observee. L'evolution de chaque type de particule est alors donnee par le processus de markov associe. Dans le cas particulier ou l'espace de hilbert du systeme est de dimension finie, une telle construction de processus peut alors rigoureusement etre effectuee. Cette etude est realisee dans une troisieme partie ou la dimension n de l'espace de hilbert est supposee impaire. La raison d'un tel choix est due au fait que le groupe des residus modulo n, que nous utilisons, possede dans ce cas une racine carree. Nous construisons, en premier lieu, une theorie des operateurs de weyl et des fonctions de wigner discretises. En augmentant l'espace des phases discretise d'une variable dichotomique egale a +1 ou -1, nous prouvons l'existence d'un processus de markov evoluant dans cet espace, tel que la fonction de wigner soit egale a la valeur moyenne partielle de cette variable dichotomique. Dans un article ecrit en collaboration avec p. Combe, m. Sirugue et m. Sirugue-collin, nous montcrons que ce formalisme peut etre applique a l'etude d'un spin entier. Enfin, en appendice, nous donnons les proprietes des processus de markov qui sont utiles a notre expose

•Jan 1, 1987•1 citation

Estimation non paramétrique en tomographie quantique homodyne

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En optique quantique, la reconstruction de l'etat quantique (fonction de Wigner ou matrice de densite infini-dimensionnelle) d'un faisceau de lumiere correspond en statistique a un probleme inverse tres mal pose. Premierement, nous proposons des estimateurs de la matrice de densite bases sur les fonctions pattern et des estimateurs a noyau de la fonction de Wigner. Nous faisons l'hypothese que la matrice de densite inconnue appartient a une classe non parametrique definie en accord avec les exemples etudies par les physiciens. Nous en deduisons pour la fonction de Wigner associee a cette matrice des proprietes de decroissance rapide et de regularite. Deuxiemement, nous estimons une fonctionnelle quadratique de la fonction de Wigner par une U-statistique d'ordre deux sur une classe plus large. Cette fonctionnelle peut etre vue comme une indication sur la purete de l'etat quantique considere. Nous en deduisons un estimateur adaptatif aux parametres de regularite de la fonction de Wigner. La derniere partie de ce manuscrit est consacree au probleme de test d'adequation a la matrice de densite. Cette procedure est construite a partir d'un estimateur de type projection sur les fonctions \textit{pattern}. Nous etudions les bornes superieures de type minimax de toutes ces procedures. Les procedures d'estimation de la matrice de densite et de test d'adequation a une matrice de densite sont implementees et leurs performances numeriques sont etudiees.

•Jan 1, 2008•0 citations

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•Dec 9, 2008•0 citations
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En optique quantique, la reconstruction de l'etat quantique (fonction de Wigner ou matrice de densite infini-dimensionnelle) d'un faisceau de lumiere correspond en statistique a un probleme inverse tres mal pose. Premierement, nous proposons des estimateurs de la matrice de densite bases sur les fonctions pattern et des estimateurs a noyau de la fonction de Wigner. Nous faisons l'hypothese que la matrice de densite inconnue appartient a une classe non parametrique definie en accord avec les exemples etudies par les physiciens. Nous en deduisons pour la fonction de Wigner associee a cette matrice des proprietes de decroissance rapide et de regularite. Deuxiemement, nous estimons une fonctionnelle quadratique de la fonction de Wigner par une U-statistique d'ordre deux sur une classe plus large. Cette fonctionnelle peut etre vue comme une indication sur la purete de l'etat quantique considere. Nous en deduisons un estimateur adaptatif aux parametres de regularite de la fonction de Wigner. La derniere partie de ce manuscrit est consacree au probleme de test d'adequation a la matrice de densite. Cette procedure est construite a partir d'un estimateur de type projection sur les fonctions \textit{pattern}. Nous etudions les bornes superieures de type minimax de toutes ces procedures. Les procedures d'estimation de la matrice de densite et de test d'adequation a une matrice de densite sont implementees et leurs performances numeriques sont etudiees.
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