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数理解析研究所講究録

Boson-Fermion Fock 空間上の無限次元解析(ホワイトノイズ解析と量子確率論)

Asao Arai

Published Jun 1, 1994• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Boson-Fermion Fock空間上のあるクラスの Dirac 型作用素に対し ては, 汎関数積分 (径路積分) 表示による指数定理を確立することができ た [7,13,15].上述の研究には実は物理的な背景と動機づけがある. これを以下簡単 に説明しておこう.よく知られているように, 物質を構成する究極的な要 素は "素粒子" とよばれる.素粒子は, 粒子とはいっても, 古典力学的な意 味での粒子ではなく, "波動一粒子の 2 重性" を有し, 生成したり, 消滅し たりすることが可能である.このような, 古典物理学ではとらえられない, 素粒子の世界の法則を記述するためのひとっの理論として構想されたのが 場の量子論であった.この理論では, 各素粒子に付随する "量子場 $\circ$ ' なる概 念を用いて, 素粒子の諸々の特性が記述される.素粒子問の相互作用は量 子場どうしの相互作用として表現される.各素粒子は, ある内部自由度をもち, この自由度に関する "回転" の角 運動量として " スピ $\sqrt[\backslash ]{}$ とよばれる特性量を担っている.スピンの値は整数 $(0,1,2, \cdots)$ または半整数 $($ 1/2, 3/2, $\cdots)$ のいずれかである.スピンが整数 の素粒子はボソン (boson) , 半整数 $($ 1/2, 3/2, $\cdots)$ の素粒子はフェルミオン (fermion) とよばれる.ボソンとフェルミオンは互いに異なる性質をもち, このことは理論的にも異なる形式となって現われる.

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Boson-Fermion Fock 空間上の無限次元解析(ホワイトノイズ解析と量子確率論)

Asao Arai

•Jun 1, 1994•0 citations

量子スピン鎖における新しい相関関数-emptiness formation probability-に関する最近の発展

正弘 城石, 由弘 西山

量子XXZスピン鎖は厳密に解けることはよく知られているが、相関関数を計算することは、特別な場合(XX0スピン鎖)を除いて依然として困難な問題である.ただし、よく知られているように、絶対零度でmasslessの臨界領域では共形場の理論を援用することによって非常に遠方の二点相関関数の漸近形の情報を引き出すことはできる。ところが、最近、Emptiness Formation Probability (EFP)とよばれる、ある長さnにわたってスピンの縦成分が強磁性的になる確率P(n)について様々な発展が報告されている。これは今まであまり考察されてこなかった新しい相関関数であり、元来はより物理的な相関関数を厳密に計算するためのファーストステップとして導入されたものである。しかし、最近ではP(n)それ自体、多くの興味深い性質を持つことが認識されつつある.特に、臨界領域では通常の二点相関関数は絶対零度で代数的に減衰するのに対して、P(n)はガウシアン的に減衰すると議論されている.また、有限温度ではP(n)は指数的に減衰し、その"相関距離"は1サイト当たりの自由エネルギーで表わされると考えられている。本レビューでは、現在までのXXZスピン鎖のEFPに関連する発展をまとめた後、その特別な場合であるXX0スピン鎖で、P(n)を厳密に計算し、上の漸近予想が正しいことを示す.また、XXXスピン鎖やXXZスピン鎖の特別な場合(Δ=1/2)で最近、報告されている解析的な結果について紹介する。また、同時に、絶対零度では密度行列繰り込み群を、有限温度では連続時間量子モンテカルロを用いてP(n)を直接数値的に評価して、上記の漸近形の予想が肯定的に支持されることをみた。

物性研究•Oct 20, 2002•0 citations

坐标本征态的 Fock 表象表示

林蓉

利用由 Dirac 符号表示的线性谐振子的本征态，引入了 Fock 表象，并通过线性谐振子本征态的完备性和厄米多项式的母函数得出了坐标本征态在 Fock 表象中的具体表达式，为进一步发展 Dirac 符号做好了铺垫。

Journal of Heze University•Jan 1, 2015•0 citations

An Extension of TDHF and Boson-Fermion Expansion

Masatoshi Yamamura

A possible extension of the time-dependent Hartree-Fock theory is given with the aim of obtaining a classical image of the boson-fermion expansion. The extended form can be regarded as a canonical system with constraints and the Dirac quantization reproduces the boson-fermion expansion given by Marshalek.

Progress of Theoretical Physics Supplement•Jan 1, 1983•2 citations

占有数表示(Fock表示)の演習問題 : 第2量子化の基礎を理解するために

勝義 山崎, Katsuyoshi Yamasaki

フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。

•Jan 4, 2026•0 citations

占有数表示(Fock表示)の演習問題 : 第2量子化の基礎を理解するために

Katsuyoshi Yamasaki

フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。

•Jan 4, 2026•0 citations
Boson-Fermion Fock空間上のあるクラスの Dirac 型作用素に対し ては, 汎関数積分 (径路積分) 表示による指数定理を確立することができ た [7,13,15].上述の研究には実は物理的な背景と動機づけがある. これを以下簡単 に説明しておこう.よく知られているように, 物質を構成する究極的な要 素は "素粒子" とよばれる.素粒子は, 粒子とはいっても, 古典力学的な意 味での粒子ではなく, "波動一粒子の 2 重性" を有し, 生成したり, 消滅し たりすることが可能である.このような, 古典物理学ではとらえられない, 素粒子の世界の法則を記述するためのひとっの理論として構想されたのが 場の量子論であった.この理論では, 各素粒子に付随する "量子場 ∘\circ∘ ' なる概 念を用いて, 素粒子の諸々の特性が記述される.素粒子問の相互作用は量 子場どうしの相互作用として表現される.各素粒子は, ある内部自由度をもち, この自由度に関する "回転" の角 運動量として " スピ \\sqrt[\backslash ]{}\​ とよばれる特性量を担っている.スピンの値は整数 (0,1,2,⋯ )(0,1,2, \cdots)(0,1,2,⋯) または半整数 ((( 1/2, 3/2, ⋯ )\cdots)⋯) のいずれかである.スピンが整数 の素粒子はボソン (boson) , 半整数 ((( 1/2, 3/2, ⋯ )\cdots)⋯) の素粒子はフェルミオン (fermion) とよばれる.ボソンとフェルミオンは互いに異なる性質をもち, このことは理論的にも異なる形式となって現われる.
量子XXZスピン鎖は厳密に解けることはよく知られているが、相関関数を計算することは、特別な場合(XX0スピン鎖)を除いて依然として困難な問題である.ただし、よく知られているように、絶対零度でmasslessの臨界領域では共形場の理論を援用することによって非常に遠方の二点相関関数の漸近形の情報を引き出すことはできる。ところが、最近、Emptiness Formation Probability (EFP)とよばれる、ある長さnにわたってスピンの縦成分が強磁性的になる確率P(n)について様々な発展が報告されている。これは今まであまり考察されてこなかった新しい相関関数であり、元来はより物理的な相関関数を厳密に計算するためのファーストステップとして導入されたものである。しかし、最近ではP(n)それ自体、多くの興味深い性質を持つことが認識されつつある.特に、臨界領域では通常の二点相関関数は絶対零度で代数的に減衰するのに対して、P(n)はガウシアン的に減衰すると議論されている.また、有限温度ではP(n)は指数的に減衰し、その"相関距離"は1サイト当たりの自由エネルギーで表わされると考えられている。本レビューでは、現在までのXXZスピン鎖のEFPに関連する発展をまとめた後、その特別な場合であるXX0スピン鎖で、P(n)を厳密に計算し、上の漸近予想が正しいことを示す.また、XXXスピン鎖やXXZスピン鎖の特別な場合(Δ=1/2)で最近、報告されている解析的な結果について紹介する。また、同時に、絶対零度では密度行列繰り込み群を、有限温度では連続時間量子モンテカルロを用いてP(n)を直接数値的に評価して、上記の漸近形の予想が肯定的に支持されることをみた。
フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。
フェルミ粒子(フェルミオン(fermion))である電子1対の交換によって波動関数が逆符号になるという反対称性を表現するためにSlater行列式が有効であることは，物理化学や量子力学(化学)のテキストに必ず書かれている。しかし，物理化学や化学物理の最先端の研究現場では，通常の量子化学コースの講義では扱われない用語を用いて日夜研究が進められている。それらの用語のうち，重要な概念の1つが，生成演算子と消滅演算子の性質にもとづき，基底関数に対応する状態を占める数(占有数)を用いてボース粒子(ボソン(boson))やフェルミ粒子の他粒子系の物理量を表現する「第2量子化」(占有数表示)である。しかし，初学者の多くが「第1量子化すらちゃんと理解できていないのに第2量子化なんて・・」と考えてしまうことが多い 。これは，多くの基礎コースの量子論の講義では，圧倒的に「波動」が主役であり，「量子」論といいながら「粒子」らしさがほとんどないことが原因ではないだろうか。Schrodinger方程式という偏微分方程式を数学的に解く量子力学(＝波動力学)側からだけでなく，占有数表示によって「量子」を「粒子」らしく扱う量子力学(＝行列力学)側から量子論を眺めることで，「量子」の本質をより深く理解できるかもしれない。量子化学計算におけるコンピュータの役割は，Schrödinger方程式を解析的に解くことではなく，大きな基底関数系により生じる膨大な数の行列要素を計算し，巨大な行列を対角化することであるから，その原理は波動力学ではなく行列力学である。本書は， G. C. Schatz and M. A. Ratner Quantum Mechanics in Chemistry; Prentice-Hall: Englewood-Cliffs, NJ, 1993. (日本語版) 佐藤 伸，山下晃一 訳「大学院講義 反応量子化学 －時間依存系の理解のために－」化学同人 (1998年) の第6章「占有数表示」の中の数式，練習問題，章末問題のいくつかを対象として導出や解答を試み，占有数表示による取扱いを体験・習得するために書かれたMonographである。