1ere partie : le travail justifie un code numerique de resolution de l'equation de liouville classique dans l'espace des phases (x,v), qui consiste a transporter cette equation dans l'espace des configurations q (ou p) de la mecanique quantique (m. Q. ). Le but recherche est de ralentir le developpement des microstructures de la fonction de distribution du fluide. Le schema propose consiste a construire une fonction d'onde correspondant a la condition initiale (c. I. ) macroscopique classique (c'est le probleme de la synthese), a faire evoluer cette fonction d'onde selon l'equation de schroedinger. Nous proposons un code de resolution numerique qui consiste a discretiser en temps le potentiel par une suite de distributions de dirac qui reduise la dynamique a une suite de propagations libres (fpm) et approximations soudaines (s. A. ), que nous savons resoudre. En fin de calcul, le passage de la fonction d'onde a la distribution classique se fait en prenant la limite classique de la transformee de wigner. L'etude de la limite classique nous a conduit a considerer une version lissee de la representation de wigner par un noyau doublement gaussien minimal qui assure la positivite de la distribution, et qui peut etre interprete comme lie a l'instrument de mesure qui doit etre symetrique. La synthese de la fonction d'onde correspondant a la c. I. (qui necessite une condition de faisabilite), est faite relativement a cette representation conjointe et dans sa limite classique. La dynamique de la distribution lissee nous a permis de mettre en evidence deux classes de c. I. : celles qui proviennent d'un etat initial pur (conditions ric) auquel cas, tous les diagrammes de dynamique commutent et les autres (melanges statistiques ou c. I. Macroscopiques) dites gic, qui n'ont par la propriete de commutation et qui necessitent une preparation differente de la phase d'une fonction g pour assurer l'obtention de la limite classique de chacune des dynamiques fpm ou sa. 2eme partie : nous utilisons une analogie formelle entre la mecanique quantique (m. Q. ) et le traitement du signal (t. S. ) pour construire une representation temps-frequence des signaux certains, dite de wigner ville lissee qui donne correctement la frequence instantanee des signaux unimodulaires h. F. (ce qui est l'analogue t. S. De la limite classique de la m. Q. ) et qui reduit de facon optimale les parasites que donnerait la transformee de wigner ville originelle dus a sa nature sesquilineaire. Sous reserve de condition de faisabilite, nous realisons deux types de synthese de signaux ayant une representation donnee
1ere partie : le travail justifie un code numerique de resolution de l'equation de liouville classique dans l'espace des phases (x,v), qui consiste a transporter cette equation dans l'espace des configurations q (ou p) de la mecanique quantique (m. Q. ). Le but recherche est de ralentir le developpement des microstructures de la fonction de distribution du fluide. Le schema propose consiste a construire une fonction d'onde correspondant a la condition initiale (c. I. ) macroscopique classique (c'est le probleme de la synthese), a faire evoluer cette fonction d'onde selon l'equation de schroedinger. Nous proposons un code de resolution numerique qui consiste a discretiser en temps le potentiel par une suite de distributions de dirac qui reduise la dynamique a une suite de propagations libres (fpm) et approximations soudaines (s. A. ), que nous savons resoudre. En fin de calcul, le passage de la fonction d'onde a la distribution classique se fait en prenant la limite classique de la transformee de wigner. L'etude de la limite classique nous a conduit a considerer une version lissee de la representation de wigner par un noyau doublement gaussien minimal qui assure la positivite de la distribution, et qui peut etre interprete comme lie a l'instrument de mesure qui doit etre symetrique. La synthese de la fonction d'onde correspondant a la c. I. (qui necessite une condition de faisabilite), est faite relativement a cette representation conjointe et dans sa limite classique. La dynamique de la distribution lissee nous a permis de mettre en evidence deux classes de c. I. : celles qui proviennent d'un etat initial pur (conditions ric) auquel cas, tous les diagrammes de dynamique commutent et les autres (melanges statistiques ou c. I. Macroscopiques) dites gic, qui n'ont par la propriete de commutation et qui necessitent une preparation differente de la phase d'une fonction g pour assurer l'obtention de la limite classique de chacune des dynamiques fpm ou sa. 2eme partie : nous utilisons une analogie formelle entre la mecanique quantique (m. Q. ) et le traitement du signal (t. S. ) pour construire une representation temps-frequence des signaux certains, dite de wigner ville lissee qui donne correctement la frequence instantanee des signaux unimodulaires h. F. (ce qui est l'analogue t. S. De la limite classique de la m. Q. ) et qui reduit de facon optimale les parasites que donnerait la transformee de wigner ville originelle dus a sa nature sesquilineaire. Sous reserve de condition de faisabilite, nous realisons deux types de synthese de signaux ayant une representation donnee
Dans l'optique de la mecanique stochastique, une formulation probabiliste de la mecanique quantique dans l'espace des phases est proposee. Notre approche utilise la fonction de wigner qui offre, dans un cadre general, une description d'un systeme quantique dans l'espace des phases. Alors que la mecanique stochastique ne considere que les etats purs du systeme, les proprietes de la fonction introduite par wigner nous permettent de traiter les etats de melange aussi bien que les etats purs. Apres avoir precise, en premiere partie, les proprietes essentielles de cette fonction et rappele son lien avec les operateurs de weyl, nous donnons dans une deuxieme partie une analyse heuristique de la mecanique quantique en terme de fluide. L'interpretation habituelle de la fonction de wigner comme etant une densite dans l'espace des phases, nous amene a considerer le cas d'un systeme soumis a l'action d'une force derivant d'un potentiel qui est la transformee de fourier d'une mesure bornee. Nous montrons que l'on peut alors envisager la fonction de wigner comme une difference de deux fonctions positives telles qu'a chacune de ces fonctions soit associe un processus de markov. Notre conception de fluide quantique consiste a interpreter ces deux fonctions comme etant les densites d'un fluide compose de deux types de particules differents mais dans lequel seule la difference de ces densites est observee. L'evolution de chaque type de particule est alors donnee par le processus de markov associe. Dans le cas particulier ou l'espace de hilbert du systeme est de dimension finie, une telle construction de processus peut alors rigoureusement etre effectuee. Cette etude est realisee dans une troisieme partie ou la dimension n de l'espace de hilbert est supposee impaire. La raison d'un tel choix est due au fait que le groupe des residus modulo n, que nous utilisons, possede dans ce cas une racine carree. Nous construisons, en premier lieu, une theorie des operateurs de weyl et des fonctions de wigner discretises. En augmentant l'espace des phases discretise d'une variable dichotomique egale a +1 ou -1, nous prouvons l'existence d'un processus de markov evoluant dans cet espace, tel que la fonction de wigner soit egale a la valeur moyenne partielle de cette variable dichotomique. Dans un article ecrit en collaboration avec p. Combe, m. Sirugue et m. Sirugue-collin, nous montcrons que ce formalisme peut etre applique a l'etude d'un spin entier. Enfin, en appendice, nous donnons les proprietes des processus de markov qui sont utiles a notre expose
Cette thèse est consacrée à des problèmes liés à l'étude de la limite semi-classique en mécanique quantique. Le premier chapitre présente une formulation géométrique qui est équivalente au principe variationnel. Elle consiste à concevoir la dynamique classique comme une projection orthogonale de la dynamique quantique sur la famille des états cohérents. L'angle de la projection nous renseigne sur la validité de l'approximation obtenue. Ces résultats sont illustrés par un exemple numérique. Le deuxième chapitre s'attache à la mécanique quantique sur le tore en tant qu'espace de phase, et en particulier à l'étude des dégénérécences dans le spectre de modèles du type Harper, ou Harper pulsé qui manifestent du chaos classique. Ce type de modèles trouve ses applications essentiellement en physique du solide, notamment pour l'effet Hall quantique. Cette étude se fait d'une part à l'aide de l'indice de Chern qui caractérise de fa¸con topologique la local- isation des fonctions d'ondes lorsque des conditions de périodicité sont changées, et d'autre part par la distribution de Husimi permet de représenter un état quantique dans l'espace de phase. Nous discutons le rˆole joué par les états associés à une séparatrice, par l'effet tunnel et par la nature chaotique de la dynamique.
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
Dans une premiere partie, nous presentons une synthese de resultats concernant les fonctions d'Airy, puis l'approximation uniforme d'Airy, qui permet d'approcher semiclassiquement des fonctions d'ondes exactes avec un tres bon degre d'approximation. Dans une seconde partie, nous proposons une methode d'inversion exacte des facteurs de Franck-Condon, pour des transitions lie-libre. Cette methode permet, a partir de la connaissance d'un facteur de Franck-Condon pour toutes les energies et du potentiel d'un ete libre d'obtenir la fonction d'onde de l'autre etat. De la, nous deduisons le potentiel inconnu, et s'il y a lieu, les niveaux d'energie des etats lies. Cette methode d'inversion est appliquee a l'inversion d'un spectre simule numeriquement. Dans une troisieme partie, nous abordons le probleme du chaos quantique, par le biais de la mecanique semiclassique. Pour ce faire, nous etudions l'equivalent quantique d'une densite de l'espace des phases : la distribution de Wigner. L'utilisation de l'aproximation uniforme d'Airy permet d'obtenir une expression semiclassique et analytique de cette distribution. Celle-ci tend naturellement, a la limite classique, vers la distribution microcanonique. Il semblerait d'autre part que la distribution de Wigner puisse presenter, meme dans un cas simple, une complexite apparente qui n'implique aucunement la presence d'un comportement irregulier ou chaotique, ce qui contredirait alors une des conjectures de Berry.
Le formalisme de la mécanique quantique sur l'espace des phases est utilisé dans une étude restreinte de la mesure quantique et de l'intrication, et d'une manière plus étendue du protocole de la téléportation à variables continues. Le but est d'explorer partiellement la relation mutuelle entre ce formalisme et l'information quantique. Au lieu des quasi-distributions de Wigner utilisées actuellement dans le cas des variables continues, nous utilisons de vraies densités de probabilité qui sont définies positives et qui rendent compte des mesures quantiques non précises au moyen d'une fonction d'onde propre représentant un appareil de mesure quantique non idéal. Ceci peut être réalisé sur un espace des phases non relativiste (ou relativiste). La formule obtenue est semblable à une formule connue en optique quantique mais contient l'effet de l'instrument de mesure. Elle a été appliquée à trois cas. Dans le premier cas, les deux appareils de mesure, correspondant aux deux parties intriquées et partagées par Alice et Bob, ne sont pas intriqués et sont décrits par deux fonctions d'ondes propres gaussiennes identiques, relatives au groupe de Weyl-Heisenberg. Elles conduisent à une densité de probabilité identique à la fonction de Husimi qui est analysée et comparée à la fonction de Wigner. Une nouvelle expression de la fidélité de la téléportation d'un état cohérent est obtenue en fonction des variances des quadratures. Dans le deuxième cas, les deux appareils de mesure sont intriqués dans un état comprimé du vide à deux modes. Dans le troisième cas, les appareils de mesure sont dans un état intriqué comprimé, obtenu par la combinaison de deux états gaussiens. L'observation générale est que les états des appareils de mesure partagés par Alice et Bob influencent la fidélité de la téléportation à travers leur imprécision et leur intrication.