En utilisant la representation du groupe quantique SLQ(2) par les operateurs de Weyl de la relation de commutation canonique de la mecanique quantique. Nous construisons et solvons un nouveau modele de vertex. Ces vertex sont astreints a une regle de la glace generalisee. Les proprietes thermodynamiques sont calculees de facon exacte par la methode inverse quantique. En analogie avec le modele usuel des six vertex, il existe un point limite des fermions libres avec une riche structure algebrique qui suggere un lien possible avec le gaz de Coulomb sur reseau
En utilisant la representation du groupe quantique SLQ(2) par les operateurs de Weyl de la relation de commutation canonique de la mecanique quantique. Nous construisons et solvons un nouveau modele de vertex. Ces vertex sont astreints a une regle de la glace generalisee. Les proprietes thermodynamiques sont calculees de facon exacte par la methode inverse quantique. En analogie avec le modele usuel des six vertex, il existe un point limite des fermions libres avec une riche structure algebrique qui suggere un lien possible avec le gaz de Coulomb sur reseau
Cette these etudie les diagrammes de phase et l'integrabilite de differents modeles de physique statistique classique et quantique. Plusieurs methodes numeriques sont employees ; en particulier, un critere fonctionnel pour decider de l'integrabilite est presente. Le document est organise en deux parties independantes qui sont fortement reliees par les modeles etudies. La premiere partie applique la simulation de monte carlo a des modeles a spins classiques, non integrables, pour confronter des resultats de simulation a des propositions analytiques, obtenues recemment par l'etude des relations d'inverses et du groupe de symetries de ces modeles. Nous determinons ainsi les diagrammes de phase d'un modele de potts chiral a six etats sur reseau carre et du modele de potts standard a trois etats sur reseau triangulaire avec interactions a deux et trois spins. La deuxieme partie etudie l'integrabilite de differents modeles en physique statistique. Par des methodes de la theorie des matrices aleatoires nous analysons les proprietes statistiques du spectre d'un operateur decrivant le modele (le hamiltonien ou une matrice de transfert). En utilisant les symetries connues de celui-ci, on peut operer une decomposition en sous-espaces stables de cet operateur. Nous developpons la methode par l'etude systematique d'une chaine quantique de hubbard avec un terme d'echange. Par la suite, nous l'appliquons pour la premiere fois aux matrices de transfert de modeles classiques (modele d'ising 2d, 3d, modele de potts, modele a huit vertex asymetrique)
L'objet de ce travail est le modèle de q-Haldane-Shastry. Introduit dans les années 1990, il s'inspire de la chaine de spins dite de Heisenberg XXZ qui décrit le magnétisme dans certains matériaux. Comme toute chaîne de spins, le modèle de q-Haldane-Shastry décrit un alignement de spins figés sur le plan, mais contrairement aux modèles de Heisenberg, il y est supposé que chaque spin interagit avec chaque autre. En raison de sa structure mathématique rigide, le modèle est remarquablement intégrable. En effet, pour des valeurs génériques de son paramètre q, il peut être explicitement diagonalisé, en termes de polynômes de Macdonald. Son spectre est extrêmement dégénéré du fait de la présence d'une large algèbre de symétrie, le groupe quantique affine, même en dehors de la limite thermodynamique. Le volet physique de cette thèse propose un nouveau modèle fermionique sur réseau dérivé du modèle de q-Haldane-Shastry. Le modèle, qui hérite de la symétrie quantique affine de son parent, décrit des interactions longues-distances entre certains fermions non-unitaires, émergents de la transformation de Jordan-Wigner via une certaine représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb. Une analyse de la structure fermionique, couplée aux propriétés connues de la chaine de q-Haldane-Shastry, mène à une description approfondie des propriétés de ce modèle non-unitaire. Le comportement observé dépend fortement de la parité du nombre de particules. Dans le cas où ce dernier est impair, le modèle s'avère PT-symétrique avec des énergies réelles malgré sa nature non-unitaire. Il est en outre naturellement reformulé en termes de certains modes fermioniques, qui sont définis par transformée de Fourier sur la base d'une certaine quasipériodicité du modèle. Le Hamiltonien, dont on prouve la structure quartique en les fermions, décrit une répulsion statistique entre les modes fermioniques et affiche une relation de dispersion linéaire. Par des moyens numériques, nous reconnaissons dans cette répulsion la structure de "motifs" bien connue dans la chaine de q-Haldane-Shastry. A contrario, lorsque le nombre de particules est pair, le modèle est bien moins régulier, avec un Hamiltonien nilpotent. Bien que nos résultats soient moins aboutis dans ce cas, ils portent à croire que ce régime devrait mener à une nouvelle théorie des champs conforme logarithmique dans la limite thermodynamique, et que cette dernière jouirait d'une symétrie quantique affine. Dans la partie mathématique de cette thèse, les énoncés liés à l'intégrabilité de la chaine de q-Haldane-Shastry sont démontrés. Bien qu'aucun résultat fondamentalement nouveau ne soit introduit, certains arguments calculatoires éparpillés dans la littérature sont systématisés et confirmés. Le modèle de Ruijsenaars-Schneider à spins, à partir duquel la chaine de q-Haldane-Shastry est dérivée par "l'astuce de refroidissement" de Polychronakos, est réobtenu dans un cadre légèrement plus général. On l'exprime en termes de l'algèbre de Hecke affine double de Cherednik en suivant les lignes de Lamers, Serban, Pasquier. Plus précisément, il est proposé d'adapter la théorie des modules induits de Cherednik et d'associer fonctoriellement à des modules sur l'algèbre de Hecke finie un certain espace de "polynômes à valeurs vectorielles" sur lesquels une version matricielle des opérateurs de Macdonald sont bien définis. Les propriétés physiques de la chaîne de q-Haldane-Shastry sont réobtenus des propriétés naturelles de notre construction, comme la diagonalisation du modèle de spin Ruijsenaars-Schneider en termes de polynômes de Macdonald, la structure de l'espace des états comme module pour le groupe quantique affine et le succès du "refroidissement" de Polychronakos.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.
Intégrabilité quantique et chaînes de spins à longue portée L'objet de ce travail est le modèle de q-Haldane-Shastry. Introduit dans les années 1990, il s'inspire de la chaine de spins dite de Heisenberg XXZ qui décrit le magnétisme dans certains matériaux. Comme toute chaîne de spins, le modèle de q-Haldane-Shastry décrit un alignement de spins figés sur le plan, mais contrairement aux modèles de Heisenberg, il y est supposé que chaque spin interagit avec chaque autre. En raison de sa structure mathématique rigide, le modèle est remarquablement intégrable. En effet, pour des valeurs génériques de son paramètre q, il peut être explicitement diagonalisé, en termes de polynômes de Macdonald. Son spectre est extrêmement dégénéré du fait de la présence d'une large algèbre de symétrie, le groupe quantique affine, même en dehors de la limite thermodynamique. Le volet physique de cette thèse propose un nouveau modèle fermionique sur réseau dérivé du modèle de q-Haldane-Shastry. Le modèle, qui hérite de la symétrie quantique affine de son parent, décrit des interactions longues-distances entre certains fermions non-unitaires, émergents de la transformation de Jordan-Wigner via une certaine représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb. Une analyse de la structure fermionique, couplée aux propriétés connues de la chaine de q-Haldane-Shastry, mène à une description approfondie des propriétés de ce modèle non-unitaire. Le comportement observé dépend fortement de la parité du nombre de particules. Dans le cas où ce dernier est impair, le modèle s'avère PT-symétrique avec des énergies réelles malgré sa nature non-unitaire. Il est en outre naturellement reformulé en termes de certains modes fermioniques, qui sont définis par transformée de Fourier sur la base d'une certaine quasipériodicité du modèle. Le Hamiltonien, dont on prouve la structure quartique en les fermions, décrit une répulsion statistique entre les modes fermioniques et affiche une relation de dispersion linéaire. Par des moyens numériques, nous reconnaissons dans cette répulsion la structure de "motifs" bien connue dans la chaine de q-Haldane-Shastry. A contrario, lorsque le nombre de particules est pair, le modèle est bien moins régulier, avec un Hamiltonien nilpotent. Bien que nos résultats soient moins aboutis dans ce cas, ils portent à croire que ce régime devrait mener à une nouvelle théorie des champs conforme logarithmique dans la limite thermodynamique, et que cette dernière jouirait d'une symétrie quantique affine. Dans la partie mathématique de cette thèse, les énoncés liés à l'intégrabilité de la chaine de q-Haldane-Shastry sont démontrés. Bien qu'aucun résultat fondamentalement nouveau ne soit introduit, certains arguments calculatoires éparpillés dans la littérature sont systématisés et confirmés. Le modèle de Ruijsenaars-Schneider à spins, à partir duquel la chaine de q-Haldane-Shastry est dérivée par "l'astuce de refroidissement" de Polychronakos, est réobtenu dans un cadre légèrement plus général. On l'exprime en termes de l'algèbre de Hecke affine double de Cherednik en suivant les lignes de Lamers, Serban, Pasquier. Plus précisément, il est proposé d'adapter la théorie des modules induits de Cherednik et d'associer fonctoriellement à des modules sur l'algèbre de Hecke finie un certain espace de "polynômes à valeurs vectorielles" sur lesquels une version matricielle des opérateurs de Macdonald sont bien définis. Les propriétés physiques de la chaîne de q-Haldane-Shastry sont réobtenus des propriétés naturelles de notre construction, comme la diagonalisation du modèle de spin Ruijsenaars-Schneider en termes de polynômes de Macdonald, la structure de l'espace des états comme module pour le groupe quantique affine et le succès du "refroidissement" de Polychronakos.
Nous developpons dans cette these diverses methodes de calcul des fonctions de correlation et des facteurs de forme des modeles integrables quantiques basees sur l'ansatz de bethe algebrique. Nous traitons differents modeles integrables sur reseau, en particulier les chaines de spin de heisenberg xy, xxx et xxz, ainsi qu'un modele de bosons fortement correles sur reseau que nous appelons le modele de phase. Dans la premiere partie nous etudions le modele xy qui est le point de fermions libres pour la chaine de spin la plus generale xyz. Pour le calcul des fonctions de correlation sur la chaine finie et dans la limite thermodynamique nous utilisons la technique d'integration sur les variables de grassmann et les etats coherents correspondants. Les fonctions de correlations sont representees comme des determinants de matrices finies pour la chaine finie et comme des determinants de fredholm d'operateurs integraux dans la limite thermodynamique. Dans la deuxieme partie le modele de phase est etudie dans le cadre de l'ansatz de bethe algebrique. Nous calculons les fonctions de correlation a deux points et les facteurs de forme en utilisant la methode d'izergin et korepin. La troisieme partie est consacree aux cas plus generaux des chaines de spin de heisenberg xxx et xxz. Nous utilisons l'operateur de twist introduit initialement dans la theorie des groupes quantiques. Cette approche permet de resoudre le probleme inverse quantique pour la chaine finie et de representer les facteurs de forme pour la chaine finie comme des determinants de matrices finies. Nous montrons que ces representation sont adaptees a la limite thermodynamique et permettent en particulier de prouver la formule de baxter pour la magnetisation spontanee pour la chaine xxz dans le regime massif.
La première partie de cette thèse traite des chaînes de spins quantiques. On étudie tout d'abord des systèmes de spins quantiques qui sont reliés de façon continue à la chaîne de Heisenberg s=1. La construction d'un modèle sigma non-linéaire permet d'estimer le gap de ces systèmes. On étudie ensuite une chaîne de spins s=1/2 dopée par des impuretés non-magnétiques possédant un spin nucléaire. A l'aide de techniques de bosonisation, on calcule analytiquement le temps de relaxation longitudinal d'une impureté en fonction de la température, corrections logarithmiques incluses. Ce type d'analyse est également mené sur un liquide de Luttinger chiral, modélisant par exemple un demi-fil quantique. La deuxième partie est consacrée aux systèmes désordonnées en basse dimension. Des liens formels sont éclaircis entre modèle désordonné sur réseau, fermions de Dirac en milieu aléatoire, chaînes de spins supersymétriques non-compactes et modèle sigma non-linéaire. Le détail des calculs est donné sur l'exemple de la transition entre plateaux de l'effet Hall quantique entier. On calcule ensuite exactement les densités d'états et les longueurs de localisation typiques d'un fermion de Dirac en dimension 1 dans des potentiels aléatoires de différentes natures. De nombreux modèles de théorie de la matière condensée, comme par exemple la chaîne XX désordonnée, se ramènent à ce système. Puis nous étudions les fermions de Dirac en dimension 2 en milieu aléatoire. Plus particulièrement, nous analysons le cas de fermions en masse aléatoire. Ce modèle décrit les excitations de basse énergie d'un supraconducteur d'onde d dont les impuretés sont magnétiques. Un diagramme de phase est proposé. Il s'articule autour du point tricritique des fermions de Dirac libres et fait apparaître une phase métallique thermique inattendue.