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Chinese Science Bulletin (Chinese Version)

Quantum classical hybrid algorithm for solving partial differential equations based on the finite element method

Le Li, Mengyuan Cao, Yongle Li, Qingle Wang, Zhichao Zhang

Published Nov 20, 2025• 0 citations
Publisher

Abstract

摘要 偏微分方程（partial differential equations, PDEs）在科学与工程领域应用广泛, 但传统数值方法在求解高维或大规模问题时面临维数灾难. 量子计算的发展为解决这一难题提供了新思路, 然而现有量子算法存在一些局限，如对硬件要求高, 量子电路的表达能力有限等. 针对以上问题, 本文对Helmholtz方程提出了一种融合量子退火(quantum annealing, QA)与高斯-赛德尔(gauss-seidel, GS)迭代的混合计算方法. 首先, 通过有限元方法离散该方程转化为线性方程组, 进而构造出二次无约束二进制优化（quadratic unconstrained binary optimization, QUBO）问题. 然后, 用量子退火求得该方程组全局最优的初始解, 并在此过程中引入了残差补偿机制. 最后, 通过高斯-赛德尔迭代来提升解的精度. 结果表明该算法不仅得到的数值解收敛到比较理想的精度, 而且迭代效率也得到了很好的提高. 另外, 该混合算法对量子硬件的要求低, 在含噪声中等规模量子(noisy intermediate-scale quantum, NISQ) 时代为高维、大规模偏微分方程求解提供了兼具效率与精度的新路径, 也可以用于其他偏微分方程的求解, 有利于推动量子经典混合计算在科学工程领域的应用.

DOI
10.1360/csb-2025-5418

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•Sep 19, 2025•0 citations

Hybrid variational quantum algorithm for solving Schrödingerised wave equations

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•Oct 6, 2026•0 citations

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Quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) formulas of quantum annealing (QA) algorithms are classified into four categories. QA algorithms using different QUBO formulas solve specific NP-hard problems as examples of the classification. The NP-hard problems solved are the subset sum, the vertex cover, the graph coloring, and the traveling salesperson problems. The QA algorithms are compared with their classical counterparts in terms of the quality of the solution and the time to the solution. Based on the comparison results, observations and suggestions are given for each QUBO formula category, so that proper actions can be adopted to improve the performance of QA algorithms. Compared with classical algorithms, QA algorithms are competitive in the current noisy intermediate-scale quantum (NISQ) era and beyond.

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摘要 偏微分方程（partial differential equations, PDEs）在科学与工程领域应用广泛, 但传统数值方法在求解高维或大规模问题时面临维数灾难. 量子计算的发展为解决这一难题提供了新思路, 然而现有量子算法存在一些局限，如对硬件要求高, 量子电路的表达能力有限等. 针对以上问题, 本文对Helmholtz方程提出了一种融合量子退火(quantum annealing, QA)与高斯-赛德尔(gauss-seidel, GS)迭代的混合计算方法. 首先, 通过有限元方法离散该方程转化为线性方程组, 进而构造出二次无约束二进制优化（quadratic unconstrained binary optimization, QUBO）问题. 然后, 用量子退火求得该方程组全局最优的初始解, 并在此过程中引入了残差补偿机制. 最后, 通过高斯-赛德尔迭代来提升解的精度. 结果表明该算法不仅得到的数值解收敛到比较理想的精度, 而且迭代效率也得到了很好的提高. 另外, 该混合算法对量子硬件的要求低, 在含噪声中等规模量子(noisy intermediate-scale quantum, NISQ) 时代为高维、大规模偏微分方程求解提供了兼具效率与精度的新路径, 也可以用于其他偏微分方程的求解, 有利于推动量子经典混合计算在科学工程领域的应用.
Time-fractional diffusion equations have emerged as powerful models for describing anomalous transport phenomena in physics, biology and engineering. To address the computational challenges arising from their non-local operators, we employ the WEB-spline finite element method, which provides a flexible and accurate discretization framework. The resulting linear system of equations are then explored in the context of quantum computing. Specifically, we investigate three prominent quantum linear solvers: the variational quantum linear solver (VQLS), the Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL) algorithm and quantum annealing (QA). VQLS leverages hybrid variational techniques and shallow circuits, making it well-suited for noisy intermediate-scale quantum (NISQ) devices, while HHL offers a theoretically exponential speedup for sparse systems but requires deep fault-tolerant circuits. QA, in contrast, reformulates the problem into a quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) instance, enabling approximate solutions through energy minimization on specialized hardware. We present a comparative analysis in terms of circuit depth, noise resilience, scalability and solution extraction, including the role of quantum state tomography in reconstructing classical information. Numerical experiments on a time-fractional diffusion problem highlight the complementary strengths and limitations of each method. This study bridges advanced numerical discretization with emerging quantum algorithms, providing insights into the feasibility and future potential of quantum-enhanced solvers for fractional partial differential equations.
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Factorization Machine (FM) is the most commonly used model to build a recommendation system since it can incorporate side information to improve performance. However, producing item suggestions for a given user with a trained FM is time-consuming. To address this problem, we propose a quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) scheme to combine with FM and apply quantum annealing (QA) computation. Compared to classical methods, this hybrid algorithm provides a fast sub-optimal sampling of good user suggestions. We then demonstrate the aforementioned computational behavior on current noisy intermediate-scale quantum (NISQ) hardware by experimenting with a real example on a D-Wave annealer.
يُقدم هذا البحث منهجًا عدديًا مباشرًا ودقيقًا وفعالًا للحصول على حلول لمعادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن(TDSE) ، وذلك باستخدام طريقة الفروق المحدودة. (FDM) تستخدم المنهجية مخطط الفروق الأمامية للمشتقات الزمنية ومخطط الفروق المركزية من الرتبة الثانية للمشتقات المكانية، وقد تم تطبيق الإطار الحسابي في برنامج MATLAB .تم إثبات فعالية الطريقة المقترحة بدقة من خلال محاكاة حزمة موجية إلكترونية في سيناريوهات مختلفة. تشمل النتائج الرئيسية تأكيد المبادئ الكمومية الأساسية، مثل مبدأ هايزنبرغ لعدم اليقين والحفاظ على الطاقة الكلية (القيمة المتوقعة) خلال تطور النظام. يكشف تحليل تفاعلات حزمة الموجة مع حواجز خطوية جاذبة ونافره عن ظواهر الانتشار والانعكاس الاحتمالي والانتقال، مع الحفاظ على الاحتمال الكلي بشكل ثابت. علاوة على ذلك، تم استكشاف ديناميكيات حزم الموجات الإلكترونية في المجالات الكهربائية المنتظمة (ظروف التسريع والتباطؤ والمجال الصفري)، مما يوضح تحولات الطاقة ويقدم رؤى حول سلوكها مقارنة بالتنبؤات الكلاسيكية. تؤكد هذه المحاكاة مجتمعةً على قوة وتنوع منهج FDM ، الذي يمكن توسيعه بسهولة ليشمل أبعادًا أعلى وتطبيقات متنوعة تعتمد على الزمن، وبالتالي يساهم في فهم حسابي أعمق للأنظمة الميكانيكية الكمومية.