Um q-bit pode ser entendido como um sistema quântico de dois níveis, cuja representação tradicional é um vetor de estado no espaço de Hilbert, e operações reversíveis sobre q-bits são implementadas a partir de transformações unitárias. Neste trabalho, o objetivo é estudar essas operações sob um ponto de vista geométrico, aplicando ferramentas conhecidas da geometria riemanniana para o entendimento de sistemas quânticos. Dada a representação na esfera de Bloch, as operações unitárias sobre q-bits aparecem agora como rotações que ligam um estado a outro de forma que, com a introdução de uma métrica adequada, é possível estudar um problema fundamental da análise de complexidade computacional: a relação entre o menor caminho entre dois estados com a dificuldade de implementar a operação unitária associada a essa transformação. Veremos que a esfera de Bloch é deformada conforme variamos os parâmetros da métrica definida, tornando algumas rotações mais favoráveis em detrimento de outras. Por fim, citaremos alguns pontos nos quais a análise de sistemas de um único q-bit, embora rica e desafiadora, deixa a desejar quando comparada com a de sistemas de múltiplos q-bits.
Um q-bit pode ser entendido como um sistema quântico de dois níveis, cuja representação tradicional é um vetor de estado no espaço de Hilbert, e operações reversíveis sobre q-bits são implementadas a partir de transformações unitárias. Neste trabalho, o objetivo é estudar essas operações sob um ponto de vista geométrico, aplicando ferramentas conhecidas da geometria riemanniana para o entendimento de sistemas quânticos. Dada a representação na esfera de Bloch, as operações unitárias sobre q-bits aparecem agora como rotações que ligam um estado a outro de forma que, com a introdução de uma métrica adequada, é possível estudar um problema fundamental da análise de complexidade computacional: a relação entre o menor caminho entre dois estados com a dificuldade de implementar a operação unitária associada a essa transformação. Veremos que a esfera de Bloch é deformada conforme variamos os parâmetros da métrica definida, tornando algumas rotações mais favoráveis em detrimento de outras. Por fim, citaremos alguns pontos nos quais a análise de sistemas de um único q-bit, embora rica e desafiadora, deixa a desejar quando comparada com a de sistemas de múltiplos q-bits.
Resumo A teoria da informação quântica revolucionou nossa compreensão sobre os limites fundamentais do processamento de informação, revelando que a mecânica quântica oferece vantagens computacionais e de comunicação inatingíveis por seus análogos clássicos. O cerne dessa revolução reside na natureza peculiar dos estados quânticos e suas interações. Este artigo explora a intrínseca estrutura geométrica dos espaços de estados quânticos, tanto puros quanto mistos, buscando caracterizar as métricas que quantificam a distinguibilidade entre eles. Iniciamos com uma revisão do espaço de Hilbert e a representação de estados, para então mergulhar na derivação e análise de métricas cruciais como a de Fubini-Study para estados puros e a de Bures-Uhlmann para estados mistos. Discutimos suas propriedades fundamentais, incluindo monotonicidade sob operações quânticas e conexões com a informação de Fisher quântica. Adicionalmente, exploramos a relevância dessas estruturas métricas para a teoria do transporte ótimo quântico, oferecendo uma perspectiva de como a geometria informa sobre a dinâmica e a manipulação de informação quântica. Os resultados destacam a profunda interconexão entre geometria diferencial, teoria da informação e mecânica quântica, pavimentando o caminho para o desenvolvimento de novas ferramentas para a computação e comunicação quântica.
Em computação quântica e especificamente na modelagem de circuitos quânticos de computação, uma porta lógica quântica (ou simplesmente porta quântica) é um circuito quântico básico que opera sobre um pequeno número de qubits, que são as unidades básicas de informação constituída por um sistema quântico de dois estados. Estes são os alicerces de construção de circuitos quânticos da mesma forma que as portas lógicas clássicas são para os circuitos digitais convencionais. No presente trabalho, pretendemos investigar aplicações da mecânica quântica não linear q-deformada em computação quântica, assim como a construção de suas portas lógicas quânticas que possam descrever fenômenos de interesse da comunidade científica nas áreas de computação quântica, teoria quântica, entre outras. Para a escrita dos trabalhos, utilizamos a linguagem de programação LaTeX, e para o desenvolvimento de gráficos ou resoluções de equações diferenciais, fizemos o uso da linguagem de programação Python. Para isso, promovemos estudos sobre alguns tópicos de computação quântica, álgebras generalizadas, linguagem de programação Python, entre outros. Nesta etapa do projeto, consideramos as seguintes referências bibliográficas: computação quântica, álgebra q-deformada, mecânica quântica não linear, circuitos quânticos, fenômenos de decoerência quântica, e etc. e promover as suas aplicações na construção do projeto, a fim de obter resultados que auxiliem a outros pesquisadores destes tópicos de pesquisa. Foram criados circuitos e analisamos a sua entropia em relação ao parâmetro de deformação algébrico q, analisamos também a taxa de variação da modificação dos estados e das probabilidades de estados dos qubits presentes nos circuitos simulados, sendo estudados também as plotagens acerca das funções generalizadas presentes nos artigos que foram usados como base neste trabalho e projeto. e para uma melhor consolidação dos resultados, criamos uma biblioteca no python que nos auxiliou no trabalho. Foi percebido que usando a matemática não usual presente nos artigos acerca da álgebra q-deformada, o parâmetro q consegue ter um enorme controle de entropia e velocidade de convergência do circuito quântico deformado em alguns respectivos algoritmos quânticos. Vendo que a sua velocidade de convergência pode ser modificada, para maior ou menor do que a usual, verifica-se aqui a extrema importância do parâmetro q em simulações e convergências de resultados acerca dos temas aqui trabalhados.
O interesse em Computação Quântica e Informação Quântica surge devido ao avanço de técnicas de manipulações em sistemas nanoscópicos[5]. Avanço esse que proporcionou que idéias de manipulação quântica de informação pudessem ser implementadas. A teoria quântica da informação surge da relação de duas das mais importantes invenções científicas do século XX: A teoria Quântica e a teoria da Informação[3, 6, 7]. Segundo o olhar da teoria da informação, a informação é transmitida através de canais quânticos que podem ser definidos como a informação de um ponto x para um ponto y. Uma maneira matemática de se definir canais quânticos é através de operação quântica (Transformação Linear)[1, 4, 8]. Os canais quânticos de maior interesse são aqueles que apresentam ruídos (Canais de Inversão de Bit, de Fase, Polarização, Fuchsianos entre outros), pois para que a transmissão de informação seja possível e eficiente é necessário evitar ou controlar o ruído provocado. Neste trabalho, apresentaremos algumas propriedades de ruídos quânticos (para o caso particular de um q-bit) observando uma representação geométrica cuja idéia é baseada no fato de que uma operação quântica ǫ pode ser representada por [2, 8] [...]
Neste trabalho, estudamos a dinâmica de um sistema quântico aberto de η qubits ruidosos e não interagentes, em que cada qubit interage com um campo bosônico externo diferente, com uma interação de defasagem pura. Através da purificação quântica, encontramos uma dinâmica efetiva que substitui a interação dos qubits com os campos bosônicos por uma interação com qubits auxiliares. No caso de um qubit, também mostramos como adequar a dinâmica efetiva obtida para incluir termos de controle, que representam as operações para eliminar o ruído. Essa adaptação foi realizada considerando uma aproximação em que o operador de evolução temporal para a parte do sistema varia lentamente em relação à dinâmica ruidosa. Por fim utilizamos a dinâmica efetiva, que emula os efeitos ruído, para estudar o problema de um ponto de vista geométrico, explorando duas geometrizações distintas no grupo de Lie especial unitário SU(2N). Na primeira geometrização, consideramos a métrica usual da complexidade quântica, que penaliza operações envolvendo 3 ou mais qubits no Hamiltoniano, onde as geodésicas para o problema são dadas por geodésicas de Pauli. Na segunda geometrização, encontramos uma geometria na qual a curva geodésica coincide com a trajetória realizada pelo operador unitário efetivo. Para isso, introduzimos uma função custo dada por uma Lagrangiana que depende explicitamente do tempo.
Neste trabalho, estudamos a dinâmica de um sistema quântico aberto de n qubits ruidosos e não interagentes, em que cada qubit interage com um campo bosônico externo diferente, com uma interação de defasagem pura.Através da purificação quântica, encontramos uma dinâmica efetiva que substitui a interação dos qubits com os campos bosônicos por uma interação com qubits auxiliares.No caso de um qubit, também mostramos como adequar a dinâmica efetiva obtida para incluir termos de controle, que representam as operações para eliminar o ruído.Essa adaptação foi realizada considerando uma aproximação em que o operador de evolução temporal para a parte do sistema varia lentamente em relação à dinâmica ruidosa.Por fim utilizamos a dinâmica efetiva, que emula os efeitos ruído, para estudar o problema de um ponto de vista geométrico, explorando duas geometrizações distintas no grupo de Lie especial unitário SU(2 N ).Na primeira geometrização, consideramos a métrica usual da complexidade quântica, que penaliza operações envolvendo 3 ou mais qubits no Hamiltoniano, onde as geodésicas para o problema são dadas por geodésicas de Pauli.Na segunda geometrização, encontramos uma geometria na qual a curva geodésica coincide com a trajetória realizada pelo operador unitário efetivo.Para isso,
A Computação Quântica é um tópico relativamente recente e pouco conhecido, principalmente no meio da Computação.Seu estudo surgiu na tentativa de físicos simularem sistemas regidos pela Mecânica Quântica por computadores clássicos, o que se conjecturou inviável.Portanto, um novo modelo computacional que utiliza a estrutura quântica da matéria para computar foi teorizado para suprir estas deficiências.Este trabalho tem como objetivo principal estudar as influências da Computação Quântica na Teoria da Computação.Para atingir tal objetivo, primeiramente são expostos os conhecimentos básicos da Mecânica Quântica através de uma linguagem voltada para Teóricos de Computação sem conhecimento prévio na área, de forma a remover a barreira inicial sobre o tema.Em seguida, serão apresentadas inovações na área da Teoria de Computação oriundas da Computação Quântica.Começaremos com os principais Algoritmos Quânticos desenvolvidos até hoje, que foram os primeiros passos para demonstrar a possível superioridade computacional do novo modelo.Dentre estes algoritmos, apresentaremos o famoso Algoritmo de Shor, que fatora números em tempo polinomial.Adicionalmente, neste trabalho foram estudados tópicos mais avançados e atuais em Computabilidade e Complexidade Quânticas.Sobre Autômatos Quânticos, foram estudados aspectos de um modelo que mistura estados clássicos e quânticos, focando na comparação do poder computacional em relação aos Autômatos Finitos Clássicos.Do ponto de vista de Classes de Complexidade, será abordada a questão se em linguagens da classe QMA, o análogo quântico da classe NP, consegue-se atingir probabilidade de erro nulo na aceitação de instâncias positivas.