Bulletin of Toraighyrov University Physics & Mathematics series

КВАНТТЫҚ МЕХАНИКАНЫҢ ҚОЗҒАЛЫС ТЕҢДЕУЛЕРІ

Т. Б. Қоштыбаев, А. М. Татенов, Aliya Akzholova, М. Е. Алиева

Published Jun 30, 2025• 0 citations

Abstract

Кванттық механикада уақытқа айқын түрде тәуелді болмайтын шамалардың уақыт бойынша өзгерістері (туындылары) Пуассон жақшалары арқылы гамильтонның классикалық теңдеулері үлгісінде орындалатындығы көрсетілген. Гамильтонның бірінші және екінші топтағы теңдеулерін кванттық Пуассон жақшалары көмегімен ашып жазып, координата мен импульс құраушылары арасындағы коммутациялық қатынастарды орындау арқылы кванттық-механикалық шамалардың дифференциялдары мен олардың орташа мәндерін анықтау жолдары келтірілген. Кванттық шамалардың орташа мәндерін толқындық функция мен оның түйіндесі арқылы анықтау өрнектері бойынша Эренфест теоремалары мен олардың мағыналары айқындалған. Гамильтониандағы сыртқы потенциалдың координата бойынша туындыларының маңыздылығы нақтыланған. Импульстің және координаталардың орташа мәндерін анықтау жолдары жүйеленген, сонымен бірге бұлардың уақыт бойынша туындыларының толқындық функция арқылы анықталу жолдары көрсетілген. Барлық математикалық есептеулер фазалық кеңістік бойынша алынған интегралдар бойынша нормалау шарттарын қатаң сақтай отырып орындалған. Эренфест теоремаларынан Ньютонның кванттық теңдеуін алу жолы да осындай идеяда орындалған. Теореманың маңыздылығы әрбір дифференциялдық амалда толқындық функцияның ықтималдылық қасиеттері ескеріледі. Релятивистік емес кванттық механикаға арналған Паули теңдеуі де бөлшектің сыртқы өрістердегі қозғалысын жақсы сипаттай алады, бұл дегеніміз кванттық механикадағы барлық түрдегі қозғалыс теңдеулері бірізді сипатта қарастырылады дегенді білдіреді. Қозғалыс теңдеулерінің классикалық және кванттық үлгілерінің ортақ түбірі бар екендігі, олардың өзара байланыста болатындығы жайында айғақты дәлелдер келтірілген. Мақаланың тақырыбына сай көтерілген мәселелер барлық талаптарға сай шектеулер арқылы орындалды. Коммутациялық амалдар Пуассон жақшасының нормаларына сай жан-жақты сипатта жүргізілген. Кілтті сөздер: координата, импульс, бөлшек, оператор, масса, жылдамдық, гамильтониан, кванттық жақша.

DOI: 10.48081/pvbh3404

Related papers

Кванттық механиканың стохастылық сипаты

Молдир Алиева

Кванттық механиканы ықтималдылықтар теориясы терминінде тұжырымдау, бейнелеу және сипаттау мәселесі көтеріліп, ол белгілі бір ұстанымдар мен қағидаларға негізделген есептеулер арқылы шешілді. Нақтылай тоқталар болсақ, квантты‒механикалық операторға тиесілі шаманың импульстік көріністегі бір өлшемді орташа мәні комплексті сипаттағы квазиықтималдылық функциясы арқылы өрнектелді. Жүйенің күйі тығыздық матрицасы арқылы сипаталатын жағдай үшін квазиықтималдылық функцияның өрнегі табылды, сол арқылы Гамильтон операторының классикалық үлгісімен сәйкес келетін және сәйкес келмейтін сандық көрінісі қарастырылды. Стационарлық жағдай үшін квазиықтималдылық функциясы бойынша орташаланған өрнектер анықталды. Квазиықтималдылық функциясының көмегімен комплексті фазалық кеңістікте өтетін қандай да бір стохасты процестер тығыздық матрицасына арналған дифференциялдық теңдеу арқылы зерттелді. Аталған теңдеу Планк түрақтысы нөлге тең болған кезде кванттық құбылыстарға арналған Лиувилл теңдеуіне және квазиықтималдылық функциясының кәдуілгі ықтималдылыққа айналатындығы дәлелденді. Ықтималдылық тығыздығына арналған теңдеуден диффузиялық марктік процеске арналған Фоккер‒Планк теңдеуіне құрылымдық жағынан ұқсас болып келетін жуықталған комплекстік теңдеуге ауысу жағдайлары көрсетілді. Кездейсоқ процестер мен квазиықтималдылық функциясының арасындағы байланыстарды анықтап беретін комплексті теңдеуге сәйкес келетін және кванттық‒механикалық есептеулерге қажетті барлық мәліметтерді қамитиын стохастық дифференциялдық теңдеулер шығарылып көрсетілді. Толқындық функцияның ерекшелігіне сәйкестендірілген квазиклассикалық стохасты дифференциялдық теңдеулер мен квазиклассикалық жуықтаулардағы қозғалыс теңдеулерінің жүйесі шығарылып алынды. Барлық есептеу нәтижелері егжей‒тегжейлі талқыланып, қажетті қорытындылар жасалды.

BULLETIN of the L N Gumilyov Eurasian National University Physics Astronomy SeriesDec 25, 20250 citations

КВАНТТЫҚ-МЕХАНИКАЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ МАТЕМАТИКАЛЫҚ НЕГІЗДЕМЕСІ

Т. Б. Қоштыбаев, М. Е. Алиева, А. М. Татенов

Мақалада жарықтың толқындық және бөлшектік қасиеттеріне жауапты параметрлердің (физикалық шамалардың) мағыналары мен рөлі кеңінен баяндалып, олардың арасындағы байланыстар жүйеленіп көрсетілген. Есептеулерді жүргізу ыңғайлы болу үшін және формулаларды ықшамдап жазу мақсатында қосымша тұрақтылар енгізілген. Электромагниттік сәулелер мен олардың фотондары үшін бөлшектік және толқындық параметрлердің сандық мәндері есептеліп, параметрлер арасындағы байланыстар енгізілген жаңа тұрақтылар арқылы жазылыпкөрсетілген. Жарыққа бөлшектік-толқындық принциптің классикалық үлгісі тұрғысынан қарай отырып оған классикалық электромагниттік толқындар түрінде тарайтын фотондар ағыны деп баға берілген. Толқындық және бөлшектік қасиеттердің бір-бірін толықтыратынының дәлелі ретінде фотонның бөлшектік қасиетіне сәйкес келетін шама оның толқындық қасиетін көрсететін шама арқылы анықталатын тұстары көрсетілген. Жарық табиғатының екі жақтылық қасиеттерінің қалыптасу, бәсекелестік және теория ретінде өмір сүру кезеңдері туралы да айтылған. Кванттық механикалық жүйелердің корпускулалық және толқындық концепциясы арқылы микробөлшектер әлеміндегі құбылыстардың идеялық мазмұны айқындала түседі. Ол кванттық және толқындық қасиетке жауапты параметрлерінің Планк тұрақтысы арқылы байланысқан қатынастар арқылы іске асырылады. Бұлардың ішіндегі басты шама энергия мен жиілік арасындағы байланыс.

Habaršy. Fizika-matematikalyķ ġylymdary seriâsyJun 1, 20241 citation

КВАНТТЫҚ-МЕХАНИКАЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕР ҮШІН ҮЗІЛІССІЗДІК ТЕҢДЕУІ

Т. Б. Қоштыбаев, А. М. Татенов, М. Е. Алиева +2 more

Мақала механикалық жүйелердің динамикасын, микробөлшектердің кванттық күйлерін сипаттайтын классикалық және кванттық теңдеулердің арасындағы өзара байланыстарға арналған. Релятивистік емес кванттық механикадағы ықтималдылық тығыздығының сақталуы үзіліссіздік теңдеуіне алып келетінін ескеріп осы теңдеуді кванттық теорияның негізі болып табылатын Шредингер теңдеуінен шығарып алуға болатындығы көрсетілген. Сонымен бірге, үзіліссіздік теңдеуін аналитикалық механиканың негізгі теңдеуі саналатын Гамильтон‒Якоби теңдеуінен де алыну жолы ұсынылған. Шредингер теңдеуінің классикалық үлгісі (шегі) Гамильтон‒Якоби теңдеуі екендігінің дәлелі ретінде осы теңдеу мен үзіліссіздік теңдеуін Шредингер теңдеуінен шығарып алу жолдары да келтірілген. Бұл мәселені Планк тұрақтысын өте азшама деп есептей отырып та іске асыруға болады (квазиклассикалық жуықтау), алайда осы мақалада кванттық теңдеуден классикалық теңдеулерге өту әсерлік функцияның дәрежелік қатарға жіктелуі арқылы жасалды. Есептеулер кезінде қатардың тек бірінші дәрежелі мүшелеріғана ескерілді (бірінші реттік жуықтау). Аталған шектеулер бойынша бірдей нәтижеге қол жеткізгенмен, екінші жуықтау ықтималдылық пен бөлшектер санының сақталу заңын үйлесімді (бірізді) сипатта қарастыруға мүмкіндік береді. Бөлшектер санының сақталуы мен ықтималдылықтың өзгермеуі арасындағы идеялық ұқсастыққа теңдеуді интегралдау арқылы көз жеткізуге болады. Мақалада қарастырылған теңдеулер кәдуілгі және дербес туындылы дифференциялдық теңдеулердің дәрежелері бойынша және сипаты жағынан сызықты, сызықтыемес қасиеттермен ерекшеленетіні ескерілді. Гамильтон‒Якоби теңдеуі арқылы классикалық механикадағы кез‒елген есепті шешуге болатындығы және Шредингер теңдеуінің квазиклассикалық жуықтаудағы рөлі айқындалған. Мақаланың кіріспе бөлімінде осы жағдайлар туралы қысқаша түрде мәліметтер келтірілген және алынған нәтижелерге талдаулар мен қорытынды жасалған.

Habaršy. Fizika-matematikalyķ ġylymdary seriâsyJun 1, 20250 citations

Ашық кванттық жүйелердің динамикасын Ли топтары мен алгебралары арқылы зерттеу

Т. Б. Қоштыбаев

Аңдатпа. Мақалада кванттық жүйелердің күйлерін, үзіліссіздік және симметриялылық қасиеттерін тығыздық матрицасы арқылы сипаттауға арналған теориялық зерттеулер ұсынылған. Операторлар, олардың коммутациялары Ли топтары мен алгебралары арқылы өрнектелді. Тығыздық матрицасына арналған Нейман немесе Лиувилдің кванттық теңдеуін стационар гамильтониан үшін шешу арқылы жүйедегі барлық оқиғалардың себептеріне Ли алгебралары тұрғысынан талдаулар жасалды. Тығыздық матрицасының уақытқа тәуелділігінен бақыланушылар тәуелділігіне өту арқылы бақыланушылардың Гейзенбергтік көріністегі динамикасына арналған және бақыланушылардың Ли алгебрасын өзгертпейтін унитарлы теңдеулерге қол жеткізілді. Линдблад теңдеуін стационарлы супер оператор үшін шешу арқылы қоршаған ортамен әлсіз әсерлесетін ашық кванттық жүйелердің динамикасына жан‒жақты баға берілді. Қоршаған ортамен әсерлесетін кванттық әлемнен классикалық әлемге өту мүмкіндігі Блох шарының сығылуы арқылы көрсетілді. Лидің бір алгебрасынан басқа бір алгебрасына көшу жағдайлары нақтыланды. Линдблад теңдеуі және оның шешімі Гелл‒Манн матрицасы үлгісінде жазылды. Есептеулер кезінде ішкі алгебралардың базистері мен генераторларының арасындағы байланыстар төрт өлшемді жағдайға сәйкестендірілді. Уақыт айнымалысының үлкен мәндері үшін тығыздық матрицасының сығыла алатын аймағының математикалық нұсқасы анықталды.

BULLETIN of the L N Gumilyov Eurasian National University Physics Astronomy SeriesMar 30, 20260 citations

КВАНТТЫҚ СҰЙЫҚТАР ТЕОРИЯСЫНДАҒЫ ГРИН ФУНКЦИЯЛАРЫ

Т. Б. Қоштыбаев, К. К. Жантлеуов, М.Е. Алиева

Мақала корпускула‒толқындық екіжақтылық және кванттық статистикалық үлестірімдерге негізделген макроскопиялық жүйелердегі процестерді Грин функциялары тәсілімен теориялық тұрғыда зерттеуге арналған. Нақты айтқанда, идеал ферми‒сұйықтың Грин функциялары, бір және екі бөлшектік Грин функциялары, шекті температураға және Дирак, Шредингер теңдеулеріне арналған Грин функцияларының ерекшеліктері мен қасиеттері талданып көрсетілген. Көпбөлшекті кванттық жүйелерде өтетін процестер мен сондағы бөлшектерге арналған теңдеулерді шешуде Грин функциялары әдісін қолданудың тиімді тұстары сараланған. Нақтылы бір оператор мен шекаралық шарттар үшін Грин функциясын анықтап, осы функцияның көмегімен сұйықты сипаттайтын теңдеудің шешімін интеграл түрінде жазуға болады. Бұл әдістің өзіндік бір ерекшелігі кванттық механика мен статистикалық механика заңдылықтарына жүгінетін кванттық макрофизиканың осы тектес есептерін шығару барысында математикалық физикадағы Фурье әдісі, интегралдық түрлендірулер әдісі мен арнайы функциялар, математикалық талдаудың әдістері қолданылады. Тақырыптың өзектілігі кванттық құбылыстарға Грин функцияларын қолдану тәсілімен байланысты екендігін айтып өттік. Себебі, бұл тәсіл түрлі процестерге сәйкес келетін дербес туындылы дифференциялдық теңдеулерді шешудің ең бір қолайлы тәсілдерінің біріне саналады, яғни құбылысты сипаттайтын дифференциялдық теңдеуден соған эквивалентті түрдегі интегралдық теңдеуге өтіп, Грин функциясы қатысатын осы теңдеуді шешу қажет болады. Дифференциялдық теңдеуден интегралдық теңдеуге өту барысында импульстік көрініске ауысу, комплекстік айнымалылыр арқылы Фурье түрлендірулері жасалынады. Нөлдік және бірінші жуықтау шарттары бойынша интегралдық өрнектерге қол жеткізіліп, құбылыстың ерекшеліктеріне қарай интеграл шектері бойынша интегралдауды орындау арқылы нақты шешімдер алынатын болады. Қарастырылған макроскопиялық жүйелер толқындық функциялары тұрақты, ал физикалық шамаларға сәйкес қойылатын операторлары уақытқа тәуелді болатын гейзенбергтік ұстанымға сәйкестендірілді. Есептеулер сыртқы өрістің әсері ескерілген және ескерілмеген жағдайлар үшін жүргізілді, сонымен бірге нөлінші және бірінші жуықтау шарттарына сәйкес келетін нәтижелер келтірілді. Макроскопиялық жүйелердің Грин функцияларын есептеу амалдары тұйық жүйенің негізгі кванттық күйі және Гибсс үлестірімі бойынша орташалау арқылы іске асырылғандығын айта кету керек.

REPORTSDec 26, 20250 citations

Бірдей бөлшектер үшін фермионды динамикалы-симметриялық модельді ықшамдау және оны бозондық кеңістікке бейнелеу

N. O. Koilyk, Г.А. Баймбетова, A. Dalelkhankyzy +2 more

Аңдатпа. Бұл жұмыста бірдей фермиондардан тұратын көпбөлшекті ядролық жүйелерді сипаттауға арналған фермионы динамика-симметриялық модельдің ықшамдалған нұсқасы қарастырылады. Мұндай тәсілге қызығушылық ядролардағы нуклондардың микроскопиялық өзара әсерлесу ерекшеліктерін сақтай отырып, ұжымдық қасиеттерді сипаттаудың ықшам әрі есептеу тұрғысынан тиімді әдістерін құру қажеттілігімен байланысты болды. Зерттеу барысында ядро спектрінің қалыптасуында маңызды рөл атқаратын ұжымдық жұптық күйлерді бөліп көрсету арқылы тәуелсіз айнымалылар санын азайту мүмкіндігі талданады және көрсетілді. Орташа және ауыр атомдық массалы ядролардың ұжымдық күйлерін қабықшалық-нуклондық тұрғыдан сипаттау әлі де күрделі мәселелердің бірі болып отыр. Сондықтан, ұжымдық қозуларды макроскопиялық түрде зерттейтін модельдер әрдайым үлкен қызығушылық тудыртумен қатар олардың ядролардың дәстүрлі қабықшалық құрылымымен байланысы жеткілікті түрде берік емес. Ал бұларға қарағанда, көпнуклонды жүйелердің ұжымдық қозуларын сипаттауға ұсынылған фермионды динамика-симметрия моделі ядролардың қабықшалық моделімен тікелей байланысты болып табылады. Негізгі назарда, фермиондық операторларды бозондық кеңістікке бейнелеу процедурасына аударылған болатын. Мұндай түрлендіру өзара әсерлесетін фермиондар жүйесінің күрделі сипаттамасын тиімді бозондық операторларға негізделген қарапайым алгебралық схемаға ауыстыруға мүмкіндік береді. Түрлендіруден кейін Гамильтониан құрылымының едәуір ықшамдалатыны, ал энергия деңгейлерін, ұжымдық қозуларды және ауысу ықтималдықтарын зерттеу айтарлықтай жеңілдейтіні көрсетілді. Сонымен қатар, ұсынылған әдіс бастапқы фермиондық модельдің негізгі симметриялық қасиеттерін сақтайтыны атап өтіледі. Бұл ядролық жүйелердің физикалық сипаттамаларын дұрыс бейнелеуге мүмкіндік береді. Алгебралық және теориялық-топтық әдістерді пайдалану спектрлік заңдылықтарды талдау мүмкіндіктерін кеңейтіп, алынған нәтижелерді түсіндіруді жеңілдетеді. Ұсынылған тәсіл сфералық және әлсіз деформацияланған ядроларды зерттеуде тиімді қолданылып, теориялық ядролық физикадағы есептеу шығындарын азайтуға мүмкіндік береді.

REPORTSJun 23, 20260 citations