Для модели Изинга на гиперкубе изучаются два способа аппроксимации спектральной плотности ( ) exp( ( ))D E N E, которая описывает вырожденность каждого значения энергииE. В первом подходе показатель экспоненты ()E аппроксимируют полиномами четной степени, во втором - с помощью нашего метода n-окрестностей. Выяснилось, что графики свободной энергии мало зависят от способа аппроксимации. А ее производные, поведением которых и определяются фазовые переходы, зависят от способа аппроксимации существенно. С полиномиальной аппроксимацией оказывается неразрывно связанным то, что система попадает в основное состояние при конечной температуре - что противоречит основным физическим принципам. Аппроксимация с помощью метода n-окрестностей для малых размерностей решетки работает плохо, но для больших размерностей дает хорошее согласие с результатами численного эксперимента For the Ising model on a hypercubic lattice we examine two ways of approximation of a spectral density ( ) exp( ( ))D E N E that describes a degeneracy of each value of the energyE. When using the first approach we approximate the exponent ()E by polynomials of even degrees and in the framework of the second approach we apply the n-vicinity method we worked out previously. We found that the graphs of the free energy only slightly depend on the way of approximation. At the same time, the derivatives of the free energy whose behavior define phase transitions substantially depend on the way of approximation. In the case of the polynomial approximation the system always finds itself in the ground state at a finite temperature. This fact contradicts to the basic physical principles. The n-vicinity method provides correct approximation when the lattice dimension is large. In this case the obtained results are in good agreement with the known computer simulations. However, the n-vicinity method works poorly when the dimension of the system is small
Для модели Изинга на гиперкубе изучаются два способа аппроксимации спектральной плотности ( ) exp( ( ))D E N E, которая описывает вырожденность каждого значения энергииE. В первом подходе показатель экспоненты ()E аппроксимируют полиномами четной степени, во втором - с помощью нашего метода n-окрестностей. Выяснилось, что графики свободной энергии мало зависят от способа аппроксимации. А ее производные, поведением которых и определяются фазовые переходы, зависят от способа аппроксимации существенно. С полиномиальной аппроксимацией оказывается неразрывно связанным то, что система попадает в основное состояние при конечной температуре - что противоречит основным физическим принципам. Аппроксимация с помощью метода n-окрестностей для малых размерностей решетки работает плохо, но для больших размерностей дает хорошее согласие с результатами численного эксперимента For the Ising model on a hypercubic lattice we examine two ways of approximation of a spectral density ( ) exp( ( ))D E N E that describes a degeneracy of each value of the energyE. When using the first approach we approximate the exponent ()E by polynomials of even degrees and in the framework of the second approach we apply the n-vicinity method we worked out previously. We found that the graphs of the free energy only slightly depend on the way of approximation. At the same time, the derivatives of the free energy whose behavior define phase transitions substantially depend on the way of approximation. In the case of the polynomial approximation the system always finds itself in the ground state at a finite temperature. This fact contradicts to the basic physical principles. The n-vicinity method provides correct approximation when the lattice dimension is large. In this case the obtained results are in good agreement with the known computer simulations. However, the n-vicinity method works poorly when the dimension of the system is small
Ранее был разработан метод n-окрестностей для приближенного вычисления статистической суммы спиновой системы с произвольной матрицей связи. В настоящей работе эти результаты адаптируются для модели Изинга на гиперкубе произвольной размерности. Решается уравнение состояния, анализируется поведение свободной энергии. Для больших размерностей наша теория хорошо согласуется с результатами компьютерного моделирования. Для малых размерностей имеется заметное расхождение с точными результатами.
Численными методами исследована зависимость термодинамических характеристик двумерной модели Изинга от числа спинов N. Экспериментальные данные, полученные алгоритмом Кастелейна-Фишера для модели на квадратной решетке N=LL, сравниваются с асимптотическим решением Онсагера (N). Получены эмпирические выражения, описывающие зависимость критических параметров от N. Произведено обобщение решения Онсагера на случай решетки конечных размеров и получены аналитические выражения для свободной энергии и её производных (внутренней энергии, дисперсии энергии, теплоёмкости), хорошо описывающие результаты численного эксперимента. Показано, что с ростом N теплоемкость в критической точке возрастает логарифмически. Указаны ограничения на точность определения критической температуры, обусловленные конечным размером системы. The dependence of the thermodynamic characteristics of the two-dimensional Ising model on the number of spins N was investigated by numerical methods. Experimental data obtained by the Kastelein-Fisher algorithm for the model on a square lattice N=LL are compared with the asymptotic solution of Onsager (N). Empirical expressions describing the dependence of the critical parameters on N are obtained. A generalization of the Onsager solution to the case of a lattice of finite dimensions is obtained and analytical expressions for the free energy and its derivatives (internal energy, energy dispersion, heat capacity), which describe the results of a numerical experiment, are obtained. It is shown that with increasing N the heat capacity at the critical point increases logarithmically. The limitations on the accuracy of determining the critical temperature due to the finite size of the system are indicated.
Динамика нестационарной квантовой системы, гамильтониан которой явно зависит от времени, называется адиабатической, если ее состояние, совпадающее с собственным состоянием гамильтониана в начальный момент времени, остается близко к этому собственному состоянию в течение всей эволюции. При этом степень такой близости зависит от малости параметра, определяющего скорость изменения гамильтониана. Обычно считается, что один из факторов, играющих решающую роль для стабильности адиабатической динамики, - это структура спектра гамильтониана. Как утверждает квантовая адиабатическая теорема в своей обычной формулировке, отклонение от адиабатической эволюции можно оценить сверху отношением скорости изменения гамильтониана к минимальному расстоянию между энергией состояния, которое аппроксимирует адиабатическую динамику, и остальным спектром гамильтониана. Проводится анализ этой зависимости. Доказаны теоремы, показывающие, что на эффективность адиабатической аппроксимации больше влияет скорость изменения собственных векторов гамильтониана, чем динамика спектра. В подавляющем большинстве физически осмысленных случаев оказывается, что если мы можем контролировать динамику собственных векторов, то этого достаточно для обеспечения адиабатичности вне зависимости от динамики спектра как таковой.
Ранее был предложен метод n-окрестностей для приближенного вычисления статистической суммы. В настоящей работе метод применяется для исследования модели Изинга на D-мерной кубической решетке. При нулевом магнитном поле для произвольной размерности D решается уравнение состояния. Вводится эффективное координационное число q, характеризующее взаимодействие спина с ближайшим окружением В зависимости от величины q реализуется один трех вариантов поведения системы. Проведен исчерпывающий анализ возможных фазовых переходов. Для больших размерностей D (D>2) наши результаты хорошо согласуются с данными компьютерного моделирования.
Выведена общая формула, дающая представление статистической суммы одномерной модели Изинга для системы N частиц в виде явно заданного функционала от спектральных инвариантов конечных подматриц некоторой бесконечной тeплицевой матрицы. Получено асимптотическое представление статистической суммы при больших N, которое может быть основой для точного вычисления некоторых термодинамических средних, например удельной свободной энергии, в случае общего трансляционно-инвариантного спинового взаимодействия (необязательно лишь между ближайшими соседями). Получены верхняя и нижняя оценки статистической суммы в плоскости комплексной переменной β (β - обратная температура), и рассмотрены условия, при которых эти оценки асимптотически эквивалентны при $N\to\infty $.
В статье формулируется онтологический принцип «всё уже есть здесь». Его суть: полный набор всех элементов, из которых могут состоять все возможные вселенные, существует в одном объёме. Отдельные вселенные — это разные наборы активных (проявленных) элементов из этого полного набора. Остальные элементы латентны (непроявлены). Переход между вселенными — смена уровня описания G, а не перемещение в пространстве. Принцип отличается от модели. Принцип утверждает, что существует. Модель описывает, как это работает. Принцип не зависит от наблюдателя: Ω существует независимо от того, считывает ли его кто-либо. Наблюдатель влияет только на активный набор A(G), но не на существование Ω. Ω — не вещество, не поле, не частицы, а онтологическая категория «то, из чего могут состоять вселенные». Вводится различение G-онтологического (естественный отбор под равновесие) и G-эпистемического (выбор наблюдателя). Формально: U(G) = P(G)(Ω), где P(G) — проекционный оператор. Смена G — не физический процесс, а смена способа считывания. Принцип сравнивается с близкими концепциями: Парменид, платонизм, MWI (Эверетт), MIW (Холл, Уайзман, Декерт). Показывается, что он занимает уникальную нишу и не повторяет известное. Следствия: параллельные вселенные — разные проекции одного набора; переход — смена G; латентность реальна; онтологический инвариант сохраняется при смене G. Принцип позволяет интерпретировать квантовую запутанность: частицы — проекции одного элемента Ω, а не связаны сверхсветовым сигналом. Это согласуется с теоремой no-signaling. Открытые вопросы: существует ли Ω? Из чего состоит? Как устроено пространство G? Почему одни элементы активны, другие нет? Совместим ли принцип с известной физикой? Можно ли его проверить? Один Ω или много? Статья обозначает проблему, но не решает её.