"Os condensados de Bose-Einstein são formados quando um gás bosônico é resfriado a uma temperatura próxima do zero absoluto. Quando isso ocorre, as propriedades quânticas que são microscópicas tornam-se macroscópicas, facilitando seu estudo. Estudamosondas de matéria na equação de Gross-Pitaevskii submetidas a um potencial de armadilha de Kapitza, que é um análogo quântico do pêndulo invertido clássico de Kapitza. Esse sistema específico foi recentemente realizado em laboratório pela primeira vez. A exploraçãodos modelos teóricos desse sistema é, portanto, significativa e atualizada. Para encontrar as soluções analíticas da equação de Gross-Pitaevskii correspondente com esse potencial, foiescolhido o método da função tangente hiperbólica estendida, que leva a soluções solitônicas.Essas soluções, escritas em termos de funções de Mathieu, foram usadas para analisar ainfluência dos parâmetros do potencial de Kapitza na dinâmica solitônica do condensado"
"Os condensados de Bose-Einstein são formados quando um gás bosônico é resfriado a uma temperatura próxima do zero absoluto. Quando isso ocorre, as propriedades quânticas que são microscópicas tornam-se macroscópicas, facilitando seu estudo. Estudamosondas de matéria na equação de Gross-Pitaevskii submetidas a um potencial de armadilha de Kapitza, que é um análogo quântico do pêndulo invertido clássico de Kapitza. Esse sistema específico foi recentemente realizado em laboratório pela primeira vez. A exploraçãodos modelos teóricos desse sistema é, portanto, significativa e atualizada. Para encontrar as soluções analíticas da equação de Gross-Pitaevskii correspondente com esse potencial, foiescolhido o método da função tangente hiperbólica estendida, que leva a soluções solitônicas.Essas soluções, escritas em termos de funções de Mathieu, foram usadas para analisar ainfluência dos parâmetros do potencial de Kapitza na dinâmica solitônica do condensado"
Esta dissertacao tem como objetivo apresentar um estudo critico dos condensados atomicos de Bose-Einstein (BEC). Tomando como ponto de partida a fisica do gas livre, estudamos o efeito de potenciais fracamente confinantes. Dois casos foram estudados em detalhe: i) um gas atomico em um poco de potencial quadrado finito com poucos estados ligados; e ii) um sistema confinado em duas dimensoes por um potencial oscilador harmonico isotropico, sendo fracamente confinado na terceira dimensao. Para o primeiro exemplo, estudamos as propriedades termodinâmicas, comparândo-as com a transicao de fase do gas livre, Interacoes entre bosons sao introduzidas segundo a teoria de Bogoliubov para tratar interacoes elasticas de dois corpos. Dentro da aproximacao de campo medio, as propriedades do condensado sao descritas por uma funcao de onda macroscopica, que satisfaz a equacao de Gross-Pitaevskii (GP). Analisamos os efeitos de comprimentos de espalhamento de onda 5, atrativos e negativos, para BEC aprisionados no poco de potencial finito, onde o sistema suporta excitacoes quânticas coerentes nao-lineares. Solucoes numericas, para a equacao GP independente do tempo, foram encontradas para a funcao de onda do estado condensado a temperatura zero, bem como para as suas excitacoes elementares nao lineares. Para analisar os resultados, usamos valores realistas de parâmetros para os gases atomicos atualmente estudados experimentalmente. Para o segundo caso mencionado acima, desenvolvemos um programa destinado ao estudo de nao-linearidades mais gerais. A fisica nao e restrita so ao BEC, alguns sistemas de interesse sao modelados por familias de equacoes de Schrodinger nao-lineares, sendo a equacao GP um caso particular. Para um potencial harmonico, apesar da nao-linearidade, uma vez que uma solucao e conhecida, muitas outras solucoes podem ser construidas por uma translacao espacial do centro do pacote de onda. O metodo e testado analiticamente no limite da equacao de Schrodinger linear com um potencial de oscilador harmonico em duas dimensoes. As solucoes sao obtidas atraves de uma superposicao de solucoes estacionarias construidas por deslocamentos espaciais de uma solucao exata. O metodo pode ser estendido para o regime de nao-linearidades fracas, e tem uma aplicacao direta na geracao de estados vortice em BEC
Abstract
O espectro da equação de Gross-Pitaevskii, para os sistemas repulsivo e atrativo de bósons confinados em uma armadilha cilíndrica , é calculado quando aplicamos a teoria de perturbação otimizada e a técnica das raízes aproximantes auto-similares . O espectro de energia é calculado em uma função dos parâmetros de acoplamentos fraco e forte. Aplicando a técnica das raízes aproximantes auto-similares foi possível encontrar fórmulas analíticas precisas para descrever os sistemas de forma mais detalhada. As expressões obtidas são válidas para os níveis de energia arbitrários de todos os modos coerentes excitados e para diferentes formas de armadilhas como: esférica, charuto e disco. O número crítico de partículas que assegura o valor real para o espectro de energia é calculado como uma função do parâmetro de anisotropia. Encontramos uma forte dependência na anisotropia da armadilha com o número crítico de partículas. Para o número de partículas acima do valor crítico a metaestabilidade do sistema é caracterizada através do cálculo do tempo de vida do condensado . Nos capítulos de 1 à 3, temos a introdução , a idéia e a descr ição do condensado Bose-Einstein. Nos capítulos de 4 à 6, temos os experimentos realizados do condensado Bose-Einstein, os critérios da condensação Bose-Einstein e a definição dos estados atômicos coerentes . Nos capítulos de 7 à 9, o significado da equação de Gross-Pitaevskii e os métodos utilizados são definidos. Nos capítulos 10 e 11, os resultados e conclusões para os sistemas repulsivos e atrativos dos gases bosônicos confinados são mostrados.
Condensados de Bose-Einstein (BEC) são sistemas macroscópicos excelentes para a observação do comportamento quântico da matéria. Desde sua obtenção experimental em gases atômicos alcalinos diluídos aprisionados por campos magnéticos, há importantes aspectos relacionados a esse sistema que foram intensamente explorados, como os modos coletivos do BEC harmonicamente aprisionado, seu tunelamento através de barreiras de potencial e os estados excitados desse sistema, incluindo vórtice e sóliton. O último consiste de pacote de onda localizado, que propaga sem mudança de forma. Nesse trabalho, investigamos os novos aspectos que surgem da dinâmica de um sistema composto (condensado aprisionado contendo um sóliton). Há muitos estudos tratando cada parte separadamente: estado fundamental do BEC ou um sóliton em um BEC infinito uniforme estacionário. Estamos nos baseando nessas análises prévias, além da simulação numérica de campo médio do nosso sistema submetido a diferentes condições iniciais (BEC aprisionado no mínimo do potencial harmônico ou BEC deslocado na armadilha contendo um sóliton, além de uma deformação no potencial) para caracterizar a dinâmica desse sistema. Alguns dos nossos resultados puderam ser explicados por meio de predições analítica da chamada aproximação de Thomas-Fermi. Ao final, comparamos as simulações de campo médio (equação de Gross-Pitaevskii) com as advindas da teoria de múltiplos orbitais a fim de justificar o regime de validade da nossa teoria.
Investigamos as soluções estacionárias e dinâmicas da equação de Gross-Pitaevskii generalizada para sistemas atômicos com um potencial confinante e termos não conservativos associados à dissipação e à alimentação atômica, visando a descrição de condensados de Bose-Einstein. Consideramos os casos de comprimentos de espalhamento negativos (interações atrativas) e positivos (interações repulsivas) entre dois átomos. Verificamos como a variação dos parâmetros associados aos termos não conservativos pode produzir situações de instabilidade resultando no fenômeno conhecido como caos espaço temporal. Por outro lado, verificamos também quais combinações de parâmetros leva a soluções de equilíbrio, tipo solitônica. Nessa pesquisa, utilizando esse modelo de campo médio com uma parametrização conhecida, estudamos as propriedades de tais sistemas para alguns valores dos parâmetros não-conservativos, por meio de métodos numéricos e variacionais.
Os condensados de Bose-Einstein (CBEs) espinoriais em seu regime ideal (temperatura zero, na ausência de excitações) apresentam-se como uma importante plataforma de estudo de partículas ultrafrias com graus de liberdade internos. Em geral, dados esses graus de liberdade internos (como o spin atômico total) das partículas, propriedades simétricas e topológicas não triviais podem emergir naturalmente na estrutura do parâmetro de ordem do sistema, e são assunto de interesse na literatura. Neste trabalho de doutorado, buscamos ir além do regime ideal dos CBEs espinoriais ao descrever o sistema condensado de maneira completamente quântica (i.e., com o operador densidade) em temperaturas finitas. Nesta tese apresentamos nossas metodologias e resultados mais relevantes, incluindo um estudo formal acerca da descrição estrutural dos sistemas com CBEs espinoriais, estimando os autoestados e autoenergias do hamiltoniano do sistema a partir de uma teoria quântica para as excitações de Bogoliubov e mostrando como elas são úteis ao descrever o equilíbrio em baixas temperaturas finitas desse sistema. Em adição, supondo que o condensado evolua unitariamente, analisamos a possibilidade de escrever teoremas de flutuação para CBEs espinoriais e, consequentemente, discutir a irreversibilidade de processos nesse contexto. Mostramos que o princípio variacional que determina o parâmetro de ordem de equilíbrio pode ser interpretado como um teorema de flutuação, e, com esse fato, construímos teoremas de flutuação (na forma de desigualdade de Clausius) para sistemas condensados mais gerais no regime de campo clássico (utilizando uma chave seletora quântica de protocolos temporais). Além disso, supondo uma evolução não unitária, apresentamos um modelo original para a equação mestra de um CBE espinorial em temperaturas finitas, que pode ser aproximado em uma Eq. de Lindblad e gerar uma Eq. de Gross-Pitaevskii não unitária no regime de campo clássico do condensado. Por fim, discutimos também maneiras alternativas de construir teoremas de flutuação a partir de medições das distribuição espacial das densidades de energia ou de número de partículas em CBEs espinoriais.
Nessa tese, o objetivo principal foi verificar a estabilidade de sistemas atômicos condensados, sujeitos a diferentes combinações lineares e não-lineares de redes ópticas bie tridimensionais, considerando algumas situações simétricas e assimétricas. Com esse objetivo, foram realizadas análises variacionais e simulações numéricas exatas da equação não-linear correspondente que descreve sistemas condensados de Bose-Einstein, tipo-Schrödinger, mais conhecida como equação de Gross-Pitaevskii. No caso bidimensional, com redes ópticas cruzadas, linear e não-linear, foi verificada a existência de estabilidade para certas regiões de parâmetros das interações. Observou-se que essa estabilidade desaparece ao se incluir uma terceira dimensão sem a presença de um potencial de confinamento. No caso tridimensional, considerando redes ópticas lineares e não-lineares cruzadas, a estabilidade só ocorre quando consideramos uma interação confinante na terceira dimensão, no caso, uma segunda rede óptica linear. Finalmente, espera-se que nossos resultados venham a ser úteis para estudos experimentais que vêm sendo feitos em laboratórios de átomos ultra-frios.