Die Theorie des Quantencomputings ist ein mathematischer, eng am Begriff der Berechenbarkeit Alan Turings orientierter Entwurf eines neuen Typs quantenphysikalischer Computer. Deren Vorteil würde bei umfassender Realisierung darin bestehen, rechnerische Probleme lösen zu können, die für traditionelle Digitalcomputer wegen des Aufwandes prinzipiell unlösbar sind; einige wenige solcher Verfahren sind bekannt. Bislang sind Realisierungen auf unterschiedlicher Hardware gelungen, die eine kleine Zahl funktionaler Bauelemente eines Quantencomputers demonstrieren. Quantenkryptografie oder alternative Architekturen wie Annealer sind Seitenzweige des Quantencomputing.
Die Theorie des Quantencomputings ist ein mathematischer, eng am Begriff der Berechenbarkeit Alan Turings orientierter Entwurf eines neuen Typs quantenphysikalischer Computer. Deren Vorteil würde bei umfassender Realisierung darin bestehen, rechnerische Probleme lösen zu können, die für traditionelle Digitalcomputer wegen des Aufwandes prinzipiell unlösbar sind; einige wenige solcher Verfahren sind bekannt. Bislang sind Realisierungen auf unterschiedlicher Hardware gelungen, die eine kleine Zahl funktionaler Bauelemente eines Quantencomputers demonstrieren. Quantenkryptografie oder alternative Architekturen wie Annealer sind Seitenzweige des Quantencomputing.
Quantencomputer versprechen eine revolutionäre Leistungssteigerung und könnten damit einige aktuelle Paradigmen der Informatik obsolet werden lassen. Diese Technologie ist für Interessierte ohne Vorkenntnisse aus dem Bereich der Quantenphysik jedoch schwer nachzuvollziehen. Die vorliegende Arbeit basiert auf einer Literaturrecherche und wurde verfasst, um die Thematik der Quantencomputer verständlich darzulegen. Zu diesem Zweck wird zuerst eine Beschreibung von relevanten Grundprinzipien der Quantenmechanik gegeben. Neben der Anführung von bestimmten Quantenzahlen und deren Zuständen werden dabei die Konzepte der Superposition und der Verschränkung dieser Zustände erläutert. Danach wird die Funktionsweise eines auf Quantengattern basierenden Computers mathematisch und grafisch nachvollziehbar beschrieben. Operationen, welche durch Transformation von Quantenzuständen ausgeführt werden, und Anwendungen für diese Art von Berechnungen werden vorgestellt. Potenziale und Einschränkungen sind durch das Verständnis der Arbeitsweise eines Quantencomputers eingängig. Der Aufbau eines Quantencomputers, sowie eine Analyse des Fortschritts bei der Realisierung von voll skalierbaren Quantencomputern werden weiters dargelegt. Dabei wird auf die wesentlichen Bestandteile eines Quantenchips näher eingegangen. Für geeignet gehaltene Quantenzustände für die Nutzung als Qubits, sowie Verfahren zur Speicherung und Manipulation von Informationen durch Quantencomputer werden beschrieben. Vor allem die Fehlerrate von Qubits stellt Forscher und Entwickler derzeit noch vor große Herausforderungen. Diese Arbeit gibt deshalb einen Ausblick, welche weiteren Schritte nötig sind, um die Vision von kommerziell einsetzbaren Quantencomputern zu verwirklichen.
Quantencomputer besitzen das Potenzial, um in naher Zukunft Probleme, die mit herkömmlichen Computern und Supercomputern nicht bewältigbar sind, zu lösen. Bisher ist die Umsetzung dieser Technologie in der Industrie noch in der Anfangsphase, wodurch der Einsatz von Quantencomputern bisher nur für Forschungsprojekte möglich ist. Dennoch ermöglichen es große IT-Unternehmen, interessierten Personen einen indirekten Zugang zu Quantencomputern über deren Services. Da die Technologien und Konzepte, auf denen Quantencomputern basieren, sehr umfangreich und komplex sind, ist es für interessierte Personen, die sich in diese neue Materie vertiefen wollen, oft schwierig, die Hauptkonzepte, die benötigt werden, um Quantencomputern zu verstehen, zu identifizieren und somit ein Grundverständnis von Quantencomputern zu erlangen. Aus diesem Grund besteht der Hauptzweck dieser Arbeit darin, die benötigten Grundkonzepte und Themen auf denen Quantencomputer aufbauen, zu identifizieren und auszuarbeiten. Hierfür werden die Konzepte von bekannten Lehrbüchern im Bereich Quantencomputer herangezogen und systematisch nach deren Wichtigkeit für das Verständnis von Quantencomputern gegliedert, aufgelistet und ausgearbeitet. Für den praktischen Teil der Arbeit werden zwei Quantenbeispiele anhand des zuvor erarbeiteten Wissens beschrieben und erweitert. Die zuvor identifizierten und beschriebenen Grundkonzepte werden anschließend grafisch mittels einer Concept-Map dargestellt, diese bietet einen systematischen Überblick über die einzelnen Konzepte und deren Abhängigkeiten zueinander. Der Vorteil in der Darstellung von Wissen mittels einer Concept-Map besteht darin, dass die Visualisierung der Verbindungen zwischen den einzelnen Konzepten hervorgehoben wird. Zusätzlich wird auf Basis des erarbeiteten Wissens ein Beispiel-Curriculum für eine Lehrveranstaltung, die das Ziel hat, die Grundkonzepte von Quantencomputern zu vermitteln, erstellt. Das Ergebnis dieser Arbeit zeigt, dass die Konzepte, auf denen Quantencomputer aufbauen, in drei Grundkompetenzen unterteilt werden können. Zum einen die Kompetenz der linearen Algebra, in dem die meisten Konzepte und Themen bereits in einem vorangegangenen Studium behandelt wurden. Zum anderen die der Informatik-Konzepte, wobei hier wie bei der linearen Algebra das Verständnis im Bereich der Programmierung angenommen werden kann. Die Kompetenz der Quantenmechanik stützt sich auf die Konzepte, die von Quantencomputern genutzt wird und auf die Kompetenzen und das Wissen der beiden anderen Kompetenzen. Zusammenfassend zeigt diese Arbeit, dass für das reine Verständnis von Quantencomputern und dem Replizieren von bereits erstellten Quantenalgorithmen eine große Anzahl an unterschiedlichen Konzepten benötigt wird. Für die Fähigkeit der Entwicklung von eigenen Quantenalgorithmen reicht das erarbeitet Wissen nicht aus, sondern wird als Grundwissen angesehen.
Vermutlich ist der Begriff Quantencomputer für viele Leser noch sehr neu. Man könnte dabei an eine neue Technologie denken — vielleicht die jüngste und modernste in der bemerkenswerten Folge, zu der die Berechnung mit Transistoren, integrierten Schaltkreisen oder Siliziumchips gehört. Und es stimmt, auch die schon vorhandene Computertechnologie beruht weitgehend auf mikrophysikalischen quantenmechanischen Prozessen. Wenn sich der Hang zu immer schnellerer, kompakterer Computer-Hardware fortsetzen soll, muß die Technologie immer «quantenmechanischer» werden, weil quantenmechanische Effekte in allen kleinen Systemen überwiegen. Aber wenn das alles wäre, würden Quantencomputer bei grundlegenden Erklärungen in diesem Zusammenhang kaum eine Rolle spielen. Unabhängig davon, welche quantenmechanischen Vorgänge heutige Computer zur Durchführung der Berechnungen nutzen, sie sind alle technologische Verwirklichungen desselben klassischen Grundgedankens, nämlich der universellen Turingmaschine. Deshalb können alle existierenden Computer im wesentlichen dieselben Berechnungen ausführen. Sie unterscheiden sich lediglich in bezug auf die Geschwindigkeit, Speicherfähigkeit und die Modi der Verarbeitung der Eingaben. Selbst ein langsamer Computer mit wenig Speicherplatz läßt sich so programmieren, daß er jedes Problem genausogut lösen und jede Umwelt genausogut simulieren kann wie unsere leistungsfähigsten Computer, wenn nur der Speicherplatz reicht, er lange genug laufen kann und ihm die Hardware zur Verfügung steht, auf der er die Ergebnisse darstellen kann.
Diese Masterarbeit beschäftigt sich mit dem Thema Quantencomputing. Quantencomputing gewinnt zunehmend an Bedeutung, da Quantencomputer ein schnell wachsendes technologisches Potenzial haben, um komplexe technische Probleme schneller als herkömmliche Computer zu lösen. Das erste Ziel dieser Arbeit ist es, die grundlegenden Konstrukte der linearen Algebra einzuführen, die das mathematische Werkzeug zur Beschreibung von Zuständen, Operationen und Transformationen im Quantencomputing ist. Diese mathematischen Konstrukte werden dann mit diesem Gebiet verknüpft. Darüber hinaus wird das von International Business Machines Corporation(IBM) Qiskit Python Framework als Basis für die Konstruktion von Quantenschaltungen verwendet. Dieses Framework bietet einen praktisch veranlagten Einstieg in das Quantencomputing und wird des weiteren auf seine Funktionalität hin betrachtet. Auf diese Weise werden die wesentlichen Konstrukte des Quantencomputing wie Superposition und Verschränkung veranschaulicht. Das Hauptziel dieser Arbeit ist es, eine Analyse der Quanten-Fouriertransformation(QFT) mit Hilfe des Qiskit Frameworks vorzunehmen. Es werden die Analogien zur konventionellen Diskreten Fouriertransformation(DFT) in der digitalen Signalverarbeitung aufgezeigt. Durch Anwendung der QFT wurden einfache sinusförmige Signale in ihre Frequenzkomponenten zerlegt und es wird gezeigt, dass ein ähnliches Ergebnis wie bei der DFT bzw. der schnellen Fouriertransformation(FFT) erzielt wurde.
Quantenrechner versprechen ungeahnte Rechenleistung. Quantenverschlüsselungs-Systeme sind sicherer als alle Alternativen. Theoretische Informatiker überdenken die Grundlagen des Rechnens neu - die Forschungen zum Quantencomputer haben die Informatik verändert. Dieses Buch führt anschaulich und auf Beispiele gestützt in die Grundlagen des Quantum Computing ein. Alle wesentlichen Ergebnisse werden detailliert und intuitiv dargestellt. Der Leser erfährt, was er von dieser Technologie erwarten kann und wo ihre Grenzen liegen. Das Besondere an dieser Einführung ist, dass keine speziellen Kenntnisse vorausgesetzt werden. Alle wichtigen Begriffe werden umfassend eingeführt, ein mathematischer Anhang stellt benötigte Grundlagen kurz dar. Die zweite Auflage des erfolgreichen Buches wurde aktualisiert und gründlich durchgesehen.
Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Frage, wie viel Rechenkraft Quantencomputer bieten können. Diese Frage geht in ihrer allgemeinsten Form weit über die aktuellen Möglichkeiten und Methoden der Komplexitätstheorie hinaus. Dennoch liefert die Komplexitätstheorie Beispiele von Problemen, die sogar für Quantencomputer als nicht effizient lösbar gelten. Andererseits können Quantencomputer vermutlich nicht effizient von klassischen Computern simuliert werden. Wir wollen mit dieser Arbeit zum Verständnis des dazwischen liegenden Bereichs von Problemen, die effizient auf Quantencomputern, aber nicht effizient auf klassischen Computern berechnet werden können, beitragen. Um besseren Einblick in die Fragestellung zu erlagen, entwickeln wir in dieser Dissertation klassische und quantenmechanische Algorithmen zur Lösung von Problemen, die unter einschränkenden Annahmen a priori als nicht effizient lösbar geltende Probleme dennoch effizient lösen. Wir erforschen in diesem Sinne also die Grenzen des auf Quantencomputern und klassischen Computern Machbaren, in dem wir Annahmen identifizieren, die dazu geeignet sind grundsätzlich als schwer geltende Probleme in den Bereich des Machbaren zu bringen. Im Speziellen entwickeln wir einen Quantenalgorithmus, der sogenannte Projective Entangled-Pair States (PEPS) effizient herstellen kann, sobald Injektivität und Wohlkonditierung des PEPS gegeben ist. In einem zweiten Schritt erweitern wir diesen Algorithmus auf sogenannte G-injektive PEPS, einer wesentlich allgemeineren Klasse von Quantenzuständen, die auch die exotische Eigenschaft der topologischen Ordnung besitzen können. Weiters entwickeln wir einen Quantenalgorithmus, der das im Allgemeinen für Quantencomputer als schwer geltende Problem den Grundzustand von lokalen Hamiltonoperatoren zu erzeugen löst, sofern diese die Voraussetzungen des (nicht-konstruktiven) Quanten-Lovász-Local-Lemma erfüllen und die Operatoren kommutieren. Unser Quantenalgorithmus kann in diesem Fall auch als unabhängiger, konstruktiver Beweis des Quanten-Lovász-Local-Lemmas betrachtet werden. Um die Grenze zu klassischen Computern zu erforschen, entwickeln wir einen klassischen Algorithmus, der das sehr allgemeine Problem Quantenschaltkreise zu simulieren unter gewissen Annahmen effizient lösen kann. Wäre es in voller Allgemeinheit lösbar, würden Quantencomputer keinen Vorteil bieten. Unser Algorithmus kann Quantenschaltkreise simulieren, die in ihrer Struktur jener des Quantenalgorithmus von Shor zur Faktorisierung ganzer Zahlen, der als exponentiell schneller als der schnellste bekannte klassische Faktorisierungsalgorithmus gilt, sehr ähnlich sind. Weiters treffen wir die Annahme, dass die erzeugte Wahrscheinlichkeitsverteilung annähernd dünn-besetzt ist. Unser Ergebnis impliziert daher, dass die von Algorithmen dieser Struktur erzeugte Wahrscheinlichkeitsverteilung notwendigerweise dicht-besetzt sein muss, um einen exponentiellen Geschwindigkeitsvorteil erzielen zu können.