Cette thèse présente une étude détaillée sur les transitions de phase, se concentrant principalement sur le modèle q-Potts. Elle utilise une combinaison de méthodologies numériques et analytiques pour explorer un large spectre de sujets en mécanique statistique, incluant la dynamique associée aux transitions de phase du premier ordre, les impacts de la topologie du réseau sur les processus d’équilibrage, et l’évolution des systèmes désordonnés corrélés à longue portée critique sous le flot du groupe de renormalisation. La première partie de l’étude aborde la dynamique vers l'équilibre au travers d'une transition de phase de premier ordre, en exploitant la limite de grand q du modèle Potts en dimension d = {2, 3} après un refroidissement instantané. En utilisant l’algorithme de Monte Carlo de "heat bath", l'existence d'états quasi stable, le phénomène de "freezing" du système et le mécanisme de "coarsening" ultérieur sont minutieusement explorés. De plus, le rôle de la topologie du réseau dans la dynamique du système, et notamment son effet sur les tendances à la congélation, est analysé. La deuxième partie de la thèse examine le modèle (q ≤ 4)-Potts critique en deux dimensions avec du désordre corrélé à longue distance via des calculs de Monte Carlo et en tenant compte de différentes distributions de désordre. Un des principaux résultats est l'obtention et l’exploration d’un diagramme de phase avec la description d'un point fixe du flux du groupe de renormalisation du modèle pour q ∈ [1, 4]. Ce diagramme de phase est obtenu en mesurant la dimension fractale des amas FK du modèle de q-Potts au point auto-dual pour différentes valeurs de l’exposant de la loi de puissance a et intensités de désordre r. Les dernières sections de l’étude étendent l’analyse pour englober des calculs perturbatifs dans le cadre du groupe de renormalisation, générant de nouvelles valeurs pour les exposants critiques à longue portée. L’application de la méthode du groupe de renormalisation valide les études numériques, confirmant notamment l’existence d’un nouveau point fixe attractif "à longue portée". Un des résultats principaux est le calcul de l’exposant thermique νLR pour les modèles Potts et Ising, et les déterminations des conditions sous lesquelles la conjecture de Weinrib-Halperin peut être violée pour les distributions de désordre non-Gaussiennes au point fixe. En résumé, cette recherche contribue à une compréhension plus profonde des comportements du modèle q-Potts avec ou sans désordre. Ces conclusions ouvrent de nouvelles voies pour explorer les transitions de phase et les phénomènes critiques en mécanique statistique.
Cette thèse présente une étude détaillée sur les transitions de phase, se concentrant principalement sur le modèle q-Potts. Elle utilise une combinaison de méthodologies numériques et analytiques pour explorer un large spectre de sujets en mécanique statistique, incluant la dynamique associée aux transitions de phase du premier ordre, les impacts de la topologie du réseau sur les processus d’équilibrage, et l’évolution des systèmes désordonnés corrélés à longue portée critique sous le flot du groupe de renormalisation. La première partie de l’étude aborde la dynamique vers l'équilibre au travers d'une transition de phase de premier ordre, en exploitant la limite de grand q du modèle Potts en dimension d = {2, 3} après un refroidissement instantané. En utilisant l’algorithme de Monte Carlo de "heat bath", l'existence d'états quasi stable, le phénomène de "freezing" du système et le mécanisme de "coarsening" ultérieur sont minutieusement explorés. De plus, le rôle de la topologie du réseau dans la dynamique du système, et notamment son effet sur les tendances à la congélation, est analysé. La deuxième partie de la thèse examine le modèle (q ≤ 4)-Potts critique en deux dimensions avec du désordre corrélé à longue distance via des calculs de Monte Carlo et en tenant compte de différentes distributions de désordre. Un des principaux résultats est l'obtention et l’exploration d’un diagramme de phase avec la description d'un point fixe du flux du groupe de renormalisation du modèle pour q ∈ [1, 4]. Ce diagramme de phase est obtenu en mesurant la dimension fractale des amas FK du modèle de q-Potts au point auto-dual pour différentes valeurs de l’exposant de la loi de puissance a et intensités de désordre r. Les dernières sections de l’étude étendent l’analyse pour englober des calculs perturbatifs dans le cadre du groupe de renormalisation, générant de nouvelles valeurs pour les exposants critiques à longue portée. L’application de la méthode du groupe de renormalisation valide les études numériques, confirmant notamment l’existence d’un nouveau point fixe attractif "à longue portée". Un des résultats principaux est le calcul de l’exposant thermique νLR pour les modèles Potts et Ising, et les déterminations des conditions sous lesquelles la conjecture de Weinrib-Halperin peut être violée pour les distributions de désordre non-Gaussiennes au point fixe. En résumé, cette recherche contribue à une compréhension plus profonde des comportements du modèle q-Potts avec ou sans désordre. Ces conclusions ouvrent de nouvelles voies pour explorer les transitions de phase et les phénomènes critiques en mécanique statistique.
Transitions de phases : dynamique et désordre Cette thèse présente une étude détaillée sur les transitions de phase, se concentrant principalement sur le modèle q-Potts. Elle utilise une combinaison de méthodologies numériques et analytiques pour explorer un large spectre de sujets en mécanique statistique, incluant la dynamique associée aux transitions de phase du premier ordre, les impacts de la topologie du réseau sur les processus d’équilibrage, et l’évolution des systèmes désordonnés corrélés à longue portée critique sous le flot du groupe de renormalisation. La première partie de l’étude aborde la dynamique vers l'équilibre au travers d'une transition de phase de premier ordre, en exploitant la limite de grand q du modèle Potts en dimension d = {2, 3} après un refroidissement instantané. En utilisant l’algorithme de Monte Carlo de "heat bath", l'existence d'états quasi stable, le phénomène de "freezing" du système et le mécanisme de "coarsening" ultérieur sont minutieusement explorés. De plus, le rôle de la topologie du réseau dans la dynamique du système, et notamment son effet sur les tendances à la congélation, est analysé. La deuxième partie de la thèse examine le modèle (q ≤ 4)-Potts critique en deux dimensions avec du désordre corrélé à longue distance via des calculs de Monte Carlo et en tenant compte de différentes distributions de désordre. Un des principaux résultats est l'obtention et l’exploration d’un diagramme de phase avec la description d'un point fixe du flux du groupe de renormalisation du modèle pour q ∈ [1, 4]. Ce diagramme de phase est obtenu en mesurant la dimension fractale des amas FK du modèle de q-Potts au point auto-dual pour différentes valeurs de l’exposant de la loi de puissance a et intensités de désordre r. Les dernières sections de l’étude étendent l’analyse pour englober des calculs perturbatifs dans le cadre du groupe de renormalisation, générant de nouvelles valeurs pour les exposants critiques à longue portée. L’application de la méthode du groupe de renormalisation valide les études numériques, confirmant notamment l’existence d’un nouveau point fixe attractif "à longue portée". Un des résultats principaux est le calcul de l’exposant thermique νLR pour les modèles Potts et Ising, et les déterminations des conditions sous lesquelles la conjecture de Weinrib-Halperin peut être violée pour les distributions de désordre non-Gaussiennes au point fixe. En résumé, cette recherche contribue à une compréhension plus profonde des comportements du modèle q-Potts avec ou sans désordre. Ces conclusions ouvrent de nouvelles voies pour explorer les transitions de phase et les phénomènes critiques en mécanique statistique.
Parmi les méthodes de la théorie du groupe de renormalisation, les développements en epsilon sont basés sur des calculs dans l'espace réciproque et permettent de calculer les exposants critiques associés aux transitions magnétiques du second ordre pour des valeurs non entières de la dimension d'espace. Une interprétation physique naturelle consiste à se demander comment se comporte un système de spins en interaction dans un espace de dimension fractale. Or les structures fractales sont construites par itération d'une cellule génératrice dont les détails sont donc présents à plusieurs échelles ; la question qui se pose alors est de savoir ce qui se passe lorsque l'invariance par translation est remplacée par une invariance d'échelle géométrique. La convergence vers la limite thermodynamique se produit en même temps que le processus d'itération construit la structure. De ce fait, des simulations Monte Carlo fiables de ces transitions de phase n'ont pu être menées à bien que récemment, puisqu'elles nécessitent la simulation de très grandes tailles, lesquelles varient comme des séries géométriques avec l'étape d'itération. C'est en utilisant des algorithmes non locaux dits “d'amas” (Wolff, Swendsen-Wang), capables de réduire le ralentissement critique de manière significative, et des méthodes d'histogrammes pour traiter les données des simulations Monte-Carlo que j'ai tout d'abord réalisé ces études. Il s'avère que le calcul précis des exposants critiques est rendu encore plus difficile par le fait que l'analyse en tailles finies du modèle d'Ising souffre de corrections d'échelle qui peuvent affecter fortement le comportement de certaines grandeurs thermodynamiques, en particulier lorsque la dimension fractale tend vers 1. J'ai montré que ces corrections d'échelle sont en partie liées à la très forte inhomogénéité du réseau sous-jacent (due à l'existence de trous sur plusieurs ordres de grandeurs) et à la concomitance de la construction du fractal avec la convergence vers la limite thermodynamique. Les résultats que j'ai obtenus pour les exposants critiques, ou leurs bornes, sont toujours compatibles avec la relation d'hyperscaling dans laquelle on substitue la dimension de Hausdorff à la dimension d'espace. Le comportement critique en dimension non entière se décrit dans le cadre de l'universalité faible. Cela se manifeste par un désaccord net entre les exposants que j'ai obtenus par les méthodes Monte Carlo et les développements en epsilon. Les exposants critiques ne dépendent pas seulement de la dimension d'espace, des propriétés de symétrie du paramètre d'ordre et de la portée des interactions, mais aussi des propriétés géométriques de la structure fractale : Très récemment des calculs précis d'exposants critiques m'ont permis de montrer que des classes d'universalité différentes sont en général nécessaires pour décrire le comportement du modèle d'Ising sur des fractals de même dimension et de lacunarités différentes. Un tel résultat généralise le concept d'universalité faible proposé par Masuo Suzuki. L'hypothèse d'homogénéité qui sous-tend les lois d'échelle permettant de décrire un comportement critique se dérive par renormalisation. La procédure de renormalisation dans l'espace direct est naturelle dans les fractals, puisqu'elle suit exactement le processus inverse de construction de la structure. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons mené à bien l'étude du modèle d'Ising par une méthode de renormalisation Monte-Carlo sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 ; il s'avère que l'exposant associé à l'une des directions propres peut être calculé avec une très bonne précision et est en accord avec les résultats de l'analyse en tailles finies. En revanche, la convergence est très lente dans l'autre direction, ce qui est lié aux corrections d'échelle mises en évidence lors de cette analyse. La cinétique stochastique associée à la formation des amas construits par l'algorithme de Wolff sous tend la compréhension du phénomène de ralentissement critique. J'ai montré que les distributions des tailles des amas de Wolff ont une propriété d'homogénéité qui fait intervenir l'un des exposants associé à une des directions propres du processus de renormalisation. Par ailleurs, les distributions des tensions de surface des amas vérifient une propriété analogue dans laquelle intervient un nouvel exposant critique. L'étude des fonctions d'autocorrélation m'a permis de calculer précisément les exposants dynamiques de Wolff lorsque la température critique est connue, et d'éclaircir l'évolution du ralentissement critique avec la dimension et la connectivité. Dans le cas de systèmes invariants par translation, l'ordre de la transition ferromagnétique du modèle de Potts est lié au nombre d'états de spin ; le passage du premier au second ordre est attendu pour des dimensions non entières. Par ailleurs, la présence de désordre peut, dans certaines conditions, induire une transition du second ordre à partir d'un système qui en présente une du premier. L'étude du comportement critique du modèle de Potts sur des fractals est donc particulièrement intéressante, puisque deux des paramètres qui le déterminent (dimensionnalité et désordre structurel) sont liés. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons montré que la transition associée au modèle de Potts à trois états sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 est du second ordre. Les difficultés attendues lorsqu'on augmente le nombre d'états de spins se font déjà nettement sentir : Les corrections d'échelle empêchent de calculer la température critique avec une très bonne précision. Nous n'avons donc pu donner que des bornes pour certains exposants ; nous avons cependant clairement mis en évidence la différence entre les classes d'universalité de Potts à 2 et 3 états. L'étude de la percolation en dimension non entière est liée à la fois à celle du modèle de Potts et aux algorithmes d'amas. Elle est basée sur l'étude des moments de la distribution de taille des amas, ce qui nécessite la localisation de pics en fonction de la probabilité d'occupation. J'ai pu montrer que les corrections d'échelle n'affectent pratiquement pas le comportement des pics avec la taille des structures, et proposé de les interpréter en termes de "seuil effectif".
D ans cette présente thèse de doctorat et dans le but de découvrir le comportement magnétique des matériaux en fonction de di érents paramètres extérieurs, nous avons proposé quelques modèles de spin sur réseaux pour l’étude. Pour ce fait, nous avons donné en détails, dans le premier chapitre, l’origine du magnétisme dans les di érents matériaux et leur comportement en fonction du changement des paramètres. Dans le second chapitre, nous avons mis l’accent sur un phénomène extraordinaire qui se manifeste au niveau des matériaux qui est la transition de phase. Cette dernière n’est qu’un changement d’état subi à cause des modifications au niveau des paramètres. Nous avons cité les di érentes classifications des transitions de phase notamment la théorie d’Ehrenfest et celle de Landau. Nous avons donné un peu d’intérêt à la deuxième classification avec plus de détails. Nous avons présenté aussi les phénomènes tricritiques qui mènent au calcul des di érents exposants critiques. Nous avons expliqué aussi la notion des classes d’universalité auxquelles appartiennent les di érents systèmes étudiés. Dans le troisième chapitre, nous avons présenté notre travail de fond. Nous avons défini le modèle à étudier à savoir le modèle de Blume-Emery-Gri ths. nous avons donné un aperçu sur les méthodes qu’on a utilisé à citer la méthode de Monte-Carlo et la méthode (finite size scaling) TMFSS basée sur la matrice de transfert. Ces méthodes ont montré leurs preuves dans plusieurs études antérieures. Le diagramme de phase obtenu, riche avec ses caractéristiques, exhibe une ligne de transition de second ordre. Nous avons justifié la présence des di érentes phases par étude numérique de l’évolution thermique de l’aimantation du système, du moment quadrupolaire et du moment octupolaire. Les résultats sont en accord avec ceux des états fondamentaux. En utilisant la méthode de la matrice de transfert, nous avons étudié le comportement critique du système. Nous avons calculé l’exposant critique pour quelques valeurs des constantes d’interaction. Le quatrième chapitre a été consacré à l’étude des états fondamentaux de deux modèles importants. Le premier est le modèle de Blume-Emery-Gri ths à spin-1. Les interactions sont antiferromagnétiques avec le premier plus proche voisin. Nous avons considéré un système triangulaire avec sa particularité de frustration. Nous avons fait une étude analytique qui nous a donné les énergies des di érentes configurations. Une étude numérique nous a montré les phases les plus stables qu’on a représenté sur un diagramme de phase. Le deuxième modèle était le modele de Blume-Capel à spin-3/2 sur un réseau carré. Nous avons suivi les mêmes étapes d’étude. Comme perspective, il serait intéressant de compléter les deux derniers travaux par des études numériques. Nous prévoyons utiliser les deux méthodes exactes à savoir la méthode de Monte-Carlo et celle de la matrice de transfert. Nous essayerons de calculer les di érents exposants critiques et de déterminer leur classe d’universalité.
Émergence du chaos dans la dynamique des systèmes à plusieurs corps classiques et quantiques S.Cette thèse étudie l'émergence du chaos dans la dynamique des systèmes à plusieurs corps, tant classiques que quantiques, à travers trois études interconnectées, aboutissant à plusieurs résultats novateurs. La recherche explore initialement les corrélations dans les circuits symplectiques duaux, fournissant une analyse approfondie des flux hamiltoniens et des systèmes symplectiques. Une contribution significative est l'introduction du modèle Ising-Swap au sein des circuits symplectiques classiques duaux, qui révèle des corrélations dynamiques en utilisant des portes symplectiques et duaux-symplectiques. Une méthode générale est proposée, permettant le calcul exact des fonctions de corrélation dynamique à deux points, qui ne s'annulent que le long des bords des cônes de lumière. Ces résultats sont validés par des simulations de Monte Carlo, montrant une excellente concordance avec les prédictions théoriques pour divers observables.L'étude suivante aborde le chaos et les conceptions unitaires, commençant par un examen des conceptions unitaires, des k-conceptions et de la mesure de Haar, et progressant vers la distribution de Porter-Thomas. Cette recherche fait progresser la compréhension des distributions universelles des chevauchements issus de la dynamique unitaire en utilisant des modèles tels que les circuits en brique et le modèle de phase aléatoire. Notamment, l'étude parvient à la diagonalisation des matrices de Toeplitz généralisées et analyse leur spectre, ce qui permet un calcul exact du potentiel de cadre, essentiel pour comprendre l'universalité de notre théorie.La dernière partie de la thèse se concentre sur la dynamique universelle hors équilibre des systèmes quantiques critiques, en utilisant la théorie des champs conformes (CFT) pour étudier les champs et les fonctions de corrélation. L'étude traite de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques perturbés par le bruit couplé à l'énergie. Les résultats clés incluent des analyses détaillées des corrélations à deux points, des distributions de l'entropie d'intrication et des fluctuations de la densité d'énergie, qui sont montrées être directement liées à un ensemble d'équations différentielles stochastiques (SDE). Il est démontré que l'on peut étudier ces SDE et prouver analytiquement l'existence de distributions stationnaires non triviales avec des queues de −3/2. La validation de ces résultats avec un modèle de fermions libres souligne l'universalité et la robustesse du cadre théorique présenté.Dans l'ensemble, cette thèse intègre des modèles théoriques et des cadres mathématiques pour améliorer la compréhension du chaos dans les systèmes classiques et quantiques. En reliant les résultats des circuits symplectiques, des conceptions unitaires et de la dynamique hors équilibre, elle offre un récit complet qui met en lumière les caractéristiques universelles du comportement chaotique dans la dynamique des systèmes à plusieurs corps.
L'approche du groupe de renormalisation tensoriel à la renormalisation des modèles sur réseau Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
Étude numérique des systèmes à N corps contraints Cette thèse présente une étude numérique de trois modèles de physique à N corps soumis à des contraintes directes ou indirectes. La présence de contraintes dans un système complexe à plusieurs corps requiert des algorithmes numériques non triviaux pour les étudier. Les deux premiers modèles comportent une forme directe de contrainte locale et sont le modèle de Dimères Quantiques (QDM) de Rokhsar-Kivelson et un modèle de mécanique statistique classique de boucles sans croisement avec des interactions attractives, tous les deux étudiés sur un réseau carré. L'étude de tels modèles contraints a connu un regain d'intérêt récemment avec leur réalisations directes sur des simulateurs quantiques de réseaux d'atomes de Rydberg. Les simulations du modèle classique utilisent l'algorithme Monte Carlo de boucles dirigées (Directed loop algorithm) tandis que le QDM nécessite un nouveau schéma de Monte Carlo quantique basé sur le cadre des expansions en séries stochastiques appelé Sweeping Cluster Algorithm (SCA). Nous présentons une modification du SCA pour rendre les simulations ergodiques à température finie. Notre étude numérique montre l'existence d'une phase critique dans les deux modèles séparée par une transition de phase à température finie vers une phase ordonnée de dimères ou de boucles qui brise spontanément certaines symétries du réseau. Nous montrons que dans le cas où les interactions sont attractives, cette transition de phase est de type Kosterlitz-Thouless et peut être comprise en construisant une théorie des champs de hauteurs. Le diagramme de phase à température finie du QDM présente quant à lui une ré-entrance inhabituelle dans la phase critique. La partie finale de cette thèse traite du rôle des symétries non-abéliennes dans les processus de thermalisation des systèmes quantiques. Nous étudions les états propres de haute énergies d'une chaîne de spins désordonnée avec une symétrie SU(3). Le modèle n'a pas directement de contraintes mais nous effectuons une diagonalisation exacte dans une base contrainte de tableaux de Young en utilisant la symétrie SU(3) complète de ce modèle. En examinant les sondes couramment utilisées pour la thermalisation (statistiques spectrales, distribution des observables locales et entropie d'intrication), nous montrons que le modèle présente un régime non ergodique sur une grande plage de tailles de système pour un désordre fort, contrastant avec la thermalisation rapide observée à faible désordre.