Le travail de cette thèse se situe dans le cadre de l’étude des modèles intégrables quantiques unidimensionnels sur réseau. Il est consacré au développement d’une nouvelle méthode de séparation de variables quantiques pour ces modèles. Cette approche vise à caractériser le spectre de la matrice de transfert qui contient l’ensemble des quantités conservées responsables de l’intégrabilité de tels modèles en construisant une base dite séparée de l’espace de Hilbert du système, permettant de réduire son problème spectral à N variables couplées, N grand voire infini, en N problèmes spectraux indépendants à une variable. Les fonctions d’ondes des états propres sont alors des produits de N fonctions d’onde à une variable. Une avancée récente a été la construction de telles bases à partir de la matrice de transfert elle-même, et la caractérisation du spectre via des équations de fusion découlant de la théorie des représentations de l’algèbre quantique de symétrie sous-jacente. Nous avons obtenu cette construction pour des modèles intégrables super-symétriques gl(m|n). Pour le cas gl(1|2) avec certaines conditions aux bords quasi-périodiques, cela nous a permis de caractériser complètement le spectre en termes de solutions d’un système discret d’équations cubiques aux différences finies, ainsi que de façon équivalente par une équation fonctionnelle appelée courbe spectrale quantique. Nous avons ensuite calculé des produits scalaires entre états séparés dans les modèles intégrables de plus haut rang, ce qui détermine la mesure associée aux bases séparées. Pour le modèle gl(3), cette mesure est pseudo-orthogonale et nous l’avons caractérisée complètement. Nous avons aussi proposé une famille de quantités conservées construisant une base et sa duale, toutes deux séparées et orthogonales l’une de l’autre, simplifiant ainsi les produits scalaires entre états séparées. Cela ouvre la voie au calcul des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de ces systèmes.
Le travail de cette thèse se situe dans le cadre de l’étude des modèles intégrables quantiques unidimensionnels sur réseau. Il est consacré au développement d’une nouvelle méthode de séparation de variables quantiques pour ces modèles. Cette approche vise à caractériser le spectre de la matrice de transfert qui contient l’ensemble des quantités conservées responsables de l’intégrabilité de tels modèles en construisant une base dite séparée de l’espace de Hilbert du système, permettant de réduire son problème spectral à N variables couplées, N grand voire infini, en N problèmes spectraux indépendants à une variable. Les fonctions d’ondes des états propres sont alors des produits de N fonctions d’onde à une variable. Une avancée récente a été la construction de telles bases à partir de la matrice de transfert elle-même, et la caractérisation du spectre via des équations de fusion découlant de la théorie des représentations de l’algèbre quantique de symétrie sous-jacente. Nous avons obtenu cette construction pour des modèles intégrables super-symétriques gl(m|n). Pour le cas gl(1|2) avec certaines conditions aux bords quasi-périodiques, cela nous a permis de caractériser complètement le spectre en termes de solutions d’un système discret d’équations cubiques aux différences finies, ainsi que de façon équivalente par une équation fonctionnelle appelée courbe spectrale quantique. Nous avons ensuite calculé des produits scalaires entre états séparés dans les modèles intégrables de plus haut rang, ce qui détermine la mesure associée aux bases séparées. Pour le modèle gl(3), cette mesure est pseudo-orthogonale et nous l’avons caractérisée complètement. Nous avons aussi proposé une famille de quantités conservées construisant une base et sa duale, toutes deux séparées et orthogonales l’une de l’autre, simplifiant ainsi les produits scalaires entre états séparées. Cela ouvre la voie au calcul des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de ces systèmes.
Séparation de variables quantiques pour les modèles intégrables de plus haut rangs et supersymétriques Le travail de cette thèse se situe dans le cadre de l’étude des modèles intégrables quantiques unidimensionnels sur réseau. Il est consacré au développement d’une nouvelle méthode de séparation de variables quantiques pour ces modèles. Cette approche vise à caractériser le spectre de la matrice de transfert qui contient l’ensemble des quantités conservées responsables de l’intégrabilité de tels modèles en construisant une base dite séparée de l’espace de Hilbert du système, permettant de réduire son problème spectral à N variables couplées, N grand voire infini, en N problèmes spectraux indépendants à une variable. Les fonctions d’ondes des états propres sont alors des produits de N fonctions d’onde à une variable. Une avancée récente a été la construction de telles bases à partir de la matrice de transfert elle-même, et la caractérisation du spectre via des équations de fusion découlant de la théorie des représentations de l’algèbre quantique de symétrie sous-jacente. Nous avons obtenu cette construction pour des modèles intégrables super-symétriques gl(m|n). Pour le cas gl(1|2) avec certaines conditions aux bords quasi-périodiques, cela nous a permis de caractériser complètement le spectre en termes de solutions d’un système discret d’équations cubiques aux différences finies, ainsi que de façon équivalente par une équation fonctionnelle appelée courbe spectrale quantique. Nous avons ensuite calculé des produits scalaires entre états séparés dans les modèles intégrables de plus haut rang, ce qui détermine la mesure associée aux bases séparées. Pour le modèle gl(3), cette mesure est pseudo-orthogonale et nous l’avons caractérisée complètement. Nous avons aussi proposé une famille de quantités conservées construisant une base et sa duale, toutes deux séparées et orthogonales l’une de l’autre, simplifiant ainsi les produits scalaires entre états séparées. Cela ouvre la voie au calcul des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de ces systèmes.
Séparation des variables et nouveaux systèmes intégrables quantiques avec bords Les principaux outils pour la compréhension du comportement macroscopique desystèmes quantiques à partir de leur description microscopique sont la déterminationdu spectre du Hamiltonien associé et le calcul des fonctions de corrélation. Cettethèse se place dans le cadre du développement d’un tel programme de recherche afind’étudier des systèmes intégrables quantiques avec des conditions aux bordsintégrables générales, le but à long terme étant la description exacte d’une physiquequantique hors équilibre.Plus spécifiquement, nous avons analysé la classe des systèmes intégrablesquantiques sur réseau associés aux représentations cycliques de l’algèbre de réflexionà 6-vertex, avec comme exemples les modèles de sine Gordon et de Potts chiral avecconditions aux bords intégrables.Une large partie du travail a été consacrée au développement de la méthode deséparation quantique des variables pour résoudre le problème spectral de la matricede transfert de ces modèles avec conditions de bords intégrables les plus générales,en étendant l’idée des transformations de jauge de Baxter à ces algèbres de réflexion.Nous avons caractérisé complètement le spectre de la matrice de transfert (valeurspropres et vecteurs propres) en termes des solutions d’un système discret d’équationspolynomiales et d’une façon équivalente en termes des solutions, dans une certaineclasse de fonctions, d’une équation de type Baxter fonctionnelle. Cela permet de fairele lien dans certains cas particuliers avec la méthode de l’anstaz de Bethe algébriquequi ne permet pas d’étudier ces modèles en toute généralité.Nous avons ensuite construit des familles de nouveaux Hamiltoniens locaux avecconditions aux bords intégrables qui commutent avec la matrice de transfert. Pour cefaire nous avons défini une hiérarchie de nouvelles équations de réflexion mélangeantdifférentes représentations de l’algèbre quantique à 6-vertex et utilisant entre autres,la matrice R fondamentale cyclique.
Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.
Les facteurs de forme et les fonctions de corrélation déterminent les quantités dynamiques mesurables associées aux modèles de théorie des champs et de mécanique statistique. Dans le cas de modèles intégrables en dimension 2, au-delà des propriétés du spectre ou de la fonction de partition, un des grands défis actuels concerne le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation.Le but de cette thèse est de développer une approche permettant de résoudre ce problème dans le cadre de la méthode de séparation des variables quantique de Skyanin. Cette méthode généralise au cas quantique et pour des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté la méthode de Hamilton-Jacobi en mécanique analytique. Le Hamiltonien est exprimé avec des opérateurs séparés, son spectre et ses états propres caractérisés par un système d'équations de Baxter résultant des structures algébriques de Yang-Baxter, caractéristiques de l'intégrabilité de ces modèles.Cette thèse a permis, pour les modèles de sine-Gordon (théorie des champs quantique) et de Potts chiral (modèle de physique statistique), le calcul des produits scalaires entre états propres du Hamiltonien, la résolution du problème inverse, i. e. l'expression des opérateurs du modèle en termes des variables séparées, ainsi que le calcul en termes de déterminants des facteurs de forme, i. e. des éléments de matrice des opérateurs locaux du modèle dans la base propre du Hamiltonien, ce qui constitue un pas important vers le calcul des fonctions de corrélation de ces modèles.
Les principaux outils pour la compréhension du comportement macroscopique desystèmes quantiques à partir de leur description microscopique sont la déterminationdu spectre du Hamiltonien associé et le calcul des fonctions de corrélation. Cettethèse se place dans le cadre du développement d’un tel programme de recherche afind’étudier des systèmes intégrables quantiques avec des conditions aux bordsintégrables générales, le but à long terme étant la description exacte d’une physiquequantique hors équilibre.Plus spécifiquement, nous avons analysé la classe des systèmes intégrablesquantiques sur réseau associés aux représentations cycliques de l’algèbre de réflexionà 6-vertex, avec comme exemples les modèles de sine Gordon et de Potts chiral avecconditions aux bords intégrables.Une large partie du travail a été consacrée au développement de la méthode deséparation quantique des variables pour résoudre le problème spectral de la matricede transfert de ces modèles avec conditions de bords intégrables les plus générales,en étendant l’idée des transformations de jauge de Baxter à ces algèbres de réflexion.Nous avons caractérisé complètement le spectre de la matrice de transfert (valeurspropres et vecteurs propres) en termes des solutions d’un système discret d’équationspolynomiales et d’une façon équivalente en termes des solutions, dans une certaineclasse de fonctions, d’une équation de type Baxter fonctionnelle. Cela permet de fairele lien dans certains cas particuliers avec la méthode de l’anstaz de Bethe algébriquequi ne permet pas d’étudier ces modèles en toute généralité.Nous avons ensuite construit des familles de nouveaux Hamiltoniens locaux avecconditions aux bords intégrables qui commutent avec la matrice de transfert. Pour cefaire nous avons défini une hiérarchie de nouvelles équations de réflexion mélangeantdifférentes représentations de l’algèbre quantique à 6-vertex et utilisant entre autres,la matrice R fondamentale cyclique.
Le but de cette thèse est de développer une approche au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques sur réseau dans le cadre de la version quantique de la méthode de séparation des variables (SoV). SoV est une méthode puissante applicable à une large classe de modèles quantiques intégrables avec des conditions aux limites variées. Cependant, le calcul des fonctions de corrélation reste dans ce cadre un problème encore largement ouvert. Nous considérons ici plus précisément deux modèles simples solubles par SoV : les chaînes de Heisenberg XXX et XXZ de spins 1/2, avec des conditions aux limites anti-périodiques, ou plus généralement des conditions aux limites quasi-périodiques avec un twist non diagonal. Nous rappelons leurs solutions par SoV, qui présentent des similitudes mais aussi des différences cruciales. Puis nous étudions les produits scalaires d'états séparés, une classe d'états qui contient notamment tous les états propres du modèle. Nous expliquons comment obtenir, pour ces produits scalaires, des représentations sous forme de déterminant utilisables pour l'étude du modèle. Nous expliquons également comment généraliser ces représentations dans le cas des facteurs de forme, c'est-à-dire des éléments matriciels des opérateurs locaux dans la base des états propres. Ces facteurs de forme sont d'un intérêt particulier pour le calcul des corrélations puisque toutes les fonctions de corrélation peuvent être obtenues sous forme de somme sur des facteurs de forme. Enfin, nous considérons des blocs élémentaires plus généraux pour les fonctions de corrélation, et expliquons comment retrouver, dans la limite thermodynamique du modèle, les représentations sous forme d'intégrales multiples précédemment obtenues à partir de l'étude des modèles périodiques par Ansatz de Bethe algébrique.