Etudes calculatoires de l'intrication et de la contextualité quantiques dans la perspective de leur vérification formelle Bien que les ordinateurs quantiques actuels se limitent à l'utilisation de quelques qubits, les fondations de la programmation quantique se sont développées au cours des 20 dernières années. Ces fondations ont été théorisées dès les années 80 mais la complexité de leur mise en œuvre a rendu ces pistes inaccessibles jusqu'à très récemment. Dans ce contexte, l'objectif de cette thèse est de contribuer à l'adaptation des méthodes de spécification formelle et de vérification déductive des programmes classiques aux programmes quantiques. Je présente donc mes contributions à l'étude des propriétés quantiques dans le but de les formaliser. J'étudie en particulier l'intrication quantique et la contextualité quantique. Ces propriétés permettent de classifier les états et les protocoles quantiques, et en particulier de les différencier des états et protocoles classiques. Mon étude de l'intrication est fondée plus spécifiquement sur l'évolution de l'intrication au cours de deux algorithmes quantiques : l'algorithme de Grover et la transformée de Fourier quantique. Pour quantifier l'intrication le long de ces algorithmes, j'utilise des polynômes de Mermin, qui ont l'avantage de pouvoir être implémentables dans des ordinateurs quantiques réels. Mon étude de la contextualité s'appuie, elle, sur des géométries finies représentant des expériences, qui sont dites contextuelles quand aucune théorie classique non-contextuelle ne peut en prédire les résultats. Ces géométries sont associées à des espaces polaires symplectiques binaires dont nous explorons la structure, avec comme objectif d'utiliser cette structure pour obtenir des intuitions sur les protocoles quantiques en utilisant la contextualité. L'étude de ces propriétés a conduit à des conjectures intéressantes que nous avons commencé à formaliser dans des environnements de preuve tels que Coq et Why3, mais qui sont laissées en perspective car ces travaux n'ont pas encore abouti.
Etudes calculatoires de l'intrication et de la contextualité quantiques dans la perspective de leur vérification formelle Bien que les ordinateurs quantiques actuels se limitent à l'utilisation de quelques qubits, les fondations de la programmation quantique se sont développées au cours des 20 dernières années. Ces fondations ont été théorisées dès les années 80 mais la complexité de leur mise en œuvre a rendu ces pistes inaccessibles jusqu'à très récemment. Dans ce contexte, l'objectif de cette thèse est de contribuer à l'adaptation des méthodes de spécification formelle et de vérification déductive des programmes classiques aux programmes quantiques. Je présente donc mes contributions à l'étude des propriétés quantiques dans le but de les formaliser. J'étudie en particulier l'intrication quantique et la contextualité quantique. Ces propriétés permettent de classifier les états et les protocoles quantiques, et en particulier de les différencier des états et protocoles classiques. Mon étude de l'intrication est fondée plus spécifiquement sur l'évolution de l'intrication au cours de deux algorithmes quantiques : l'algorithme de Grover et la transformée de Fourier quantique. Pour quantifier l'intrication le long de ces algorithmes, j'utilise des polynômes de Mermin, qui ont l'avantage de pouvoir être implémentables dans des ordinateurs quantiques réels. Mon étude de la contextualité s'appuie, elle, sur des géométries finies représentant des expériences, qui sont dites contextuelles quand aucune théorie classique non-contextuelle ne peut en prédire les résultats. Ces géométries sont associées à des espaces polaires symplectiques binaires dont nous explorons la structure, avec comme objectif d'utiliser cette structure pour obtenir des intuitions sur les protocoles quantiques en utilisant la contextualité. L'étude de ces propriétés a conduit à des conjectures intéressantes que nous avons commencé à formaliser dans des environnements de preuve tels que Coq et Why3, mais qui sont laissées en perspective car ces travaux n'ont pas encore abouti.
Contextualité quantique, géométries finies & informatique quantique Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.
Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.
Caractérisation et détection de phénomènes d’intrication hybride et de contextualité L’intrication et la contextualité font partie des propriétés les plus profondes et les plus déroutantes de la mécanique quantique. L’intrication se rapporte aux états : c’est un phénomène par lequel la connaissance de l’ensemble des sous-parties d’un système ne suffit pas à le caractériser dans son intégralité. La contextualité concerne les observables : il s’agit de leur propension à donner des résultats différents en fonction des autres observables avec lesquels ils sont mesurés. A la faveur de la « seconde révolution quantique », qui vit l’attitude des physiciens envers ces deux propriétés passer d’un questionnement sur leur raison d’être à l’étude des avantages qu’il est possible d’en tirer, elles se retrouvèrent toutes deux au coeur de nombreux travaux de recherche. Dans cette thèse, on présente des protocoles pour détecter et caractériser l’intrication et la contextualité dans des montages expérimentaux particuliers. Ce travail se conçoit donc comme un chaînon entre l’étude théorique générale et la réalisation expérimentale. L’intrication est étudiée dans le cadre des variables hybrides photoniques, une approche récente qui combine les avantages des variables discrètes et continues pour coder de l’information. Les applications concernent la communication quantique et le calcul quantique. Nous étudions dans un premier chapitre le formalisme des matrices de moments, que nous adaptons au cas hybride, et nous l’appliquons à plusieurs états hybrides intriqués.De multiples améliorations de la détection sont implémentées, notamment à l’aide de fonctions PnCPs. Dans un second chapitre, nous définissons un témoin d’intrication, implémentable et adapté à un montage particulier. Ce témoin reste efficace en cas de pertes expérimentales typiques et se fonde sur des mesures d’observables hybrides. Enfin, nous étudions la contextualité dans une dernière partie. Nous passons en revue l’histoire du concept, depuis les questionnements philosophiques qui l’engendrèrent jusqu’aux premières preuves mathématiques de l’inscription de cette propriété dans le formalisme de la physique quantique. Nous présentons ensuite les quatre théories majeures portant sur la contextualité. Nous utilisons leurs différentes approches pour comprendre et analyser les échappatoires qui apparaissent dès lors que l’on essaie de mettre en évidence expérimentalement la présence de contextualité. Nous donnons finalement un protocole pour une expérience classique de contextualité, celle qui est dite « du carré de Peres-Mermin ».
Études algorithmiques des configurations quantiques contextuelles La thèse contribue à l'étude de la contextualité quantique en utilisant des approches algébriques et géométriques qui facilitent l'analyse de ces configurations et mettent en évidence les distinctions fondamentales entre les configurations classiques et les configurations quantiques. Ce travail se concentre sur la génération de configurations d'observables quantiques, l'analyse de leurs propriétés contextuelles et développe des méthodes efficaces pour construire et évaluer des configurations quantiques afin de déterminer si elles présentent des propriétés contextuelles. L'objectif de cette approche algorithmique est de s'aider de la puissance de calcul pour explorer les structures géométriques riches liées à la contextualité quantique, puis d'en dégager des propriétés qui permettent de mieux comprendre et d'établir de meilleurs cadres théoriques pour comprendre et quantifier ce phénomène.
La recherche en informatique quantique a pris de l’ampleur dans les deux dernières décennies, notamment grâce aux financements massifs des gouvernements et de l’industrie dans les technologies quantiques. L’ordinateur quantique promet de résoudre des problèmes qui jusqu’à présent restaient insurmontables à cause du temps déraisonnable qu’il faudrait pour les résoudre sur les ordinateurs classiques les plus puissants. L’idée de l’ordinateur quantique consiste à utiliser des propriétés quantiques de la matière, telles que l’intrication et la superposition quantique des états, pour effectuer des calculs d’une nouvelle manière. L’informatique quantique requiert un nouveau type d’ordinateur où les bits d’information classique, généralement représentés par la présence ou non de courant à l’entrée d’un transistor, sont remplacés par des bits quantiques aussi appelés qubits, et qui sont représentés par l’état d’un système quantique. De plus, il est nécessaire de développer de nouveaux algorithmes capables d’être implémentés sur un ordinateur quantique et capables de tirer parti de l’avantage quantique. Cette thèse porte sur ces deux composantes complémentaires : la construction de portes logiques, un bloc fondamental de tout ordinateur, et la création de meilleurs algorithmes pour résoudre des problèmes pertinents sur ces machines. Parmi les plateformes les plus avancées pour l’ordinateur quantique, on trouve les circuits supraconducteurs, qui sont la plateforme sur laquelle ont misé Google, IBM, Alice&Bob, Nord Quantique et bien d’autres compagnies. Malgré les avancées des dernières décennies, de nombreux défis restent à être relevés pour que les machines existantes soient en mesure de résoudre des problèmes pertinents et surpassent les ordinateurs classiques. L’un des défis auquel cette thèse s’attaque est la réalisation de portes logiques à deux qubits rapides et à haute fidélité. La rapidité est cruciale pour pouvoir réaliser le plus d’opérations possible avant que les qubits ne perdent leur cohérence quantique, et une haute fidélité est requise pour minimiser les erreurs de calcul et permettre d’implémenter de la correction d’erreurs quantiques. De plus, certains qubits supraconducteurs sont connus pour être affectés par une interaction indésirable, l’interaction ZZ qui, même si relativement faible, affecte la fidélité des portes logiques quantiques, empêchant d’atteindre des fidélités supérieures à 99.9% nécessaires à la correction d’erreurs. En parallèle avec l’amélioration des composantes de l’ordinateur quantique, il est important de développer des applications pour ce nouveau type de machine. Parmi les approches étudiées, les algorithmes quantiques variationnels (VQA) sont ceux qui sont les plus susceptibles d’être déployés sur les ordinateurs quantiques de petites tailles existants. Ce sont des algorithmes hybrides qui nécessitent à la fois de la puissance de calcul classique et quantique. Ces algorithmes semblent prometteurs pour résoudre de nombreux problèmes concrets d’intérêt industriel, comme obtenir les propriétés de molécules ou trouver les solutions de problèmes d’optimisation combinatoire. En effet, ces problèmes peuvent être formulés sous forme d’un Hamiltonien et résolus en déterminant son état fondamental. Dans ce but, les VQAs utilisent un circuit quantique paramétré appelé ansatz, dont les paramètres sont optimisés pour s’approcher de l’état fondamental. Un premier défi consiste à trouver un ansatz qui permette, pour un problème donné, de converger le plus efficacement possible vers la solution. Un deuxième défi est de trouver un circuit fait de portes logiques facilement implémentables sur les plateformes physiques actuelles. Les travaux effectués dans cette thèse apportent des contributions à ces deux défis. Dans la première partie de la thèse, nous introduisons le dispositif que nous avons conçu et qui permet de réaliser des portes d’intrication paramétrique entre deux qubits supraconducteurs. Cette approche a permis à nos collaborateurs du groupe d’Andrew Houck de l’Université de Princeton de réaliser expérimentalement une opération de type √iSWAP en 15 ns avec une fidélité de 98.8%, et ce dans un dispositif où l’interaction ZZ est supprimée. Dans la seconde partie de la thèse, nous avons développé un ansatz pour les VQAs permettant de résoudre le modèle de Fermi Hubbard. Ce nouvel ansatz utilise les avantages de deux ansätze préexistants, et permet d’obtenir l’énergie et l’état fondamental du FHM avec une précision de plusieurs ordres de grandeur supérieure aux ansätze standards, et ce en réduisant significativement le nombre de portes d’intrication CNOT qui sont généralement imparfaites et longues à implémenter.
Algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles : circuits quantiques et applications physiques Les simulations classiques actuelles des phénomènes physiques présentent de nombreuses limitations, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes complexes tels que les fluides turbulents, les plasmas ou les matériaux quantiques fortement corrélés. Ces simulations rencontrent souvent des difficultés liées à des coûts de calculs élevés, une mise à l'échelle limitée à travers plusieurs dimensions ou échelles temporelles, ainsi qu'à la complexité de capturer des dynamiques intrinsèquement non-linéaires ou chaotiques. Même avec l'accès à des ressources de calcul haute performance (HPC), la résolution précise des dynamiques à fine échelle ou des évolutions sur de longues périodes reste un défi majeur. Le développement de nouvelles méthodes numériques est donc essentiel, tant pour la recherche académique que pour les applications industrielles. Les ordinateurs quantiques émergent comme de nouveaux outils numériques pour l'étude de tels systèmes et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les modélisent. Grâce aux propriétés de superposition et d'intrication des qubits, les calculs numériques peuvent être réalisés de manière inédite, offrant des avantages théoriques prometteurs pour certains problèmes. Dans ce contexte, cette thèse contribue au développement et à la compréhension des algorithmes quantiques, allant de la conception de circuits quantiques à la résolution numérique d'équations différentielles partielles et ordinaires. Dans une première partie, des circuits quantiques efficaces sont présentés pour l'implémentation de routines couramment utilisées dans les algorithmes quantiques (opérations multi-contrôlées, préparation d'états quantiques, opérations diagonales), ainsi que pour une nouvelle routine : la transformée de Laplace quantique. Ces routines limitaient l'efficacité des algorithmes quantiques en raison d'implémentations génériques dont la complexité croissait de manière exponentielle avec le nombre de qubits. Désormais, ces tâches peuvent être réalisées à l'aide de circuits quantiques adaptés qui exploitent la structure des problèmes physiques. Dans une seconde partie, des schémas numériques quantiques sont introduits pour résoudre des équations de transport anisotropes et des équations différentielles ordinaires hamiltoniennes non linéaires. Ces schémas se composent de trois étapes (initialisation, évolution et mesure) et reposent sur des approximations en différences finies d'ordre élevé et des formules de Trotterisation. Des protocoles efficaces pour mesurer des grandeurs d'intérêt sont présentés, et une nouvelle analyse numérique, basée sur la norme vectorielle plutôt que sur la norme d'opérateur générique, est introduite. Cette approche permet d'atteindre une précision donnée tout en réduisant le nombre de pas de temps par un facteur qui croît de manière exponentielle avec le nombre de qubits. De plus, une étude de différentes transformations de Madelung non linéaires est présentée afin de résoudre certaines équations fluides sur ordinateur quantique. Les différents résultats de cette thèse sont illustrés par des simulations classiques des algorithmes quantiques ainsi que par des simulations sur des processeurs quantiques actuels. Ce travail pose les bases de la simulation pratique de systèmes physiques classiques, aussi bien sur les dispositifs quantiques actuels de type NISQ (noisy intermediate-scale quantum) que sur les futurs ordinateurs quantiques tolérants aux erreurs.