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Um Ensaio à Matemática da Mecânica Quântica

S. N. A. MARTINS FILHO

Published Jan 5, 2023• 0 citations
Publisher

Abstract

Resumo: A incapacidade da Mecânica Clássica explicar alguns fenômenos experimentais que estavam sendo realizados no final do século XIX e início do século XX, fez com que se iniciasse o desenvolvimento de uma nova teoria física. Cientistas estavam percebendo que a nível atômico e subatômico, a Física conhecida até então, estava falhando. Novas ideias, postulados e interpretações começaram a aparecer para explicar tais fenômenos. Com o passar dos anos, então, surgiu o que hoje conhecemos como Mecânica Quântica. Aparentemente, uma teoria separada da Mecânica Clássica. Mais posteriormente, compreendida como uma extensão desta última. O presente trabalho é uma introdução aos principais conceitos e fórmulas matemáticas usadas nessa área da Física, considerando apenas os casos unidimensionais. As ideias apresentadas, em sua maioria, terão mais embasamento matemático do que empírico. Tentou-se, também, apresentar uma descrição detalhada nas contas e equações, evidenciando-se praticamente todos os passos realizados. A Mecânica Quântica é uma área significativamente grande da Física, possui expressivo refinamento matemático e várias formas de abordagem. De forma que há uma limitação de tópicos a serem apresentados dentro do artigo. Contudo, se espera que, com essa introdução, o leitor consiga adquirir uma noção física e matemática o suficiente para saber como se deve pensar e quais ferramentas utilizar, quando se estuda partículas muito pequenas. Palavras-chave: mecânica quântica; física quântica; física matemática; Abstract: The inability of Classical Mechanics to explain some phenomena that occurred in scientific experiments that were being carried out in the late 19th and early 20th centuries, led to the development of a new physical theory. Scientists were realizing that at the atomic and subatomic level, hitherto known physics was failing. Thus, new ideas, postulates and interpretations began to be made in order to explain such empirical results. Then over the years, what we now know as Quantum Mechanics emerged; apparently a separate theory from classical mechanics. Later, it was understood as an extension of the latter. The present work is an introduction to the main concepts and mathematical formulas used in this area of Physics, considering only the one-dimensional cases. The ideas presented here, for the most part, will have more mathematical than empirical basis. It was also tried to present a detailed description of the calculations and equations, showing practically all the steps performed. Quantum Mechanics is a significantly large area of Physics, has expressively mathematical refinement and several approaches. Thus there is a limitation of topics to be presented within the article. However, it is hoped that, with this introduction, the reader will be able to acquire enough physical and mathematical notions to know how to think and what tools to use when studying very small particles. Keywords: quantum mechanics; quantum physics; mathematical physics;

DOI
10.5281/zenodo.7507995

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Sobre uma fundamentação não reflexiva da mecânica quântica

Newton C. A. da Costa, Décio Krause, Jonas R. Becker Arenhart +1 more

Este é um artigo de caráter expositivo, no qual discutimos uma variedade de tópicos relacionados aos fundamentos da física quântica, com destaque para os conceitos de identidade e de individualidade das entidades básicas tratadas por essa teoria (ou grupo de teorias). Consideramos que, se se deseja fundamentar a contraparte formal de uma possível visão das entidades quânticas como objetos destituídos de individualidade, há basicamente duas alternativas possíveis: (a) manter-nos no escopo da lógica e da matemática tradicionais, digamos em uma teoria de conjuntos como Zermelo-Fraenkel, e, nesse caso, podemos ou assumir certas condições de simetria que de certo modo nos permitem falar da não individualidade, ou restringir-nos a certas classes nas quais apenas uma relação mais fraca de indistinguibilidade está definida; (b) elaborar uma teoria matemática nova, na qual certa forma de não individualidade está ab initio incorporada para algumas das entidades. Discutimos a primeira hipótese apresentando "modelos internos" de ZFU e ZFC, onde a identidade é restrita de alguma forma, e comentamos vantagens e desvantagens dessa abordagem. Motivada pela segunda hipótese, é então desenvolvida, em seus traços principais, o que poderia ser uma mecânica quântica fundamentada em uma das possíveis teorias de conjuntos distintas das clássicas, a teoria de quase conjuntos. Como a lógica subjacente à teoria de quase conjuntos é uma lógica não reflexiva, a mecânica correspondente é denominada de mecânica quântica não reflexiva.

Scientiae Studia•Jan 1, 2012•3 citations

Explorando a Física Quântica

Alisson Nunes Bonatto, Gustavo Costenaro Velho, Jaqueline Morgan

A Fisica Quântica ou Mecânica Quântica e o ramo da Fisica que estuda os fenomenos subatomicos, ou seja, os fenomenos que ocorrem em escalas de nivel menor que a escala atomica e surgiu da necessidade de complementar a Mecânica Classica que ja nao podia explicar completamente alguns fenomenos, como por exemplo, o movimento dos eletrons na eletrosfera dos atomos e os diferentes comportamentos observados na luz. A Fisica Quântica constitui uma area avancada da Fisica, chamada Fisica Moderna, que geralmente nao e abordada no Ensino Medio ficando restrita a estudantes de Ensino Superior, porem desperta grande interesse daqueles que gostariam de compreender esta area que tanto contribuiu para a evolucao da Fisica. O fato de nao ser um topico abordado no Ensino Medio, juntamente com divulgacoes equivocadas dos conceitos envolvidos acaba por fazer com que parte das pessoas acredite que a Fisica Quântica esteja ligada, por exemplo, a saude e a espiritualidade. Com o objetivo de poder explica-la de forma clara e sucinta esta pesquisa busca a compreensao de alguns dos conceitos que fundamentam a Fisica Quântica bem como esclarecer, na forma de divulgacao cientifica, sua importância na evolucao do estudo da Fisica, sem aprofundamento de conteudos, ou seja, sem o uso de equacao fisicas e matematicas. Neste trabalho a principal metodologia empregada foi a Pesquisa Bibliografica realizada em livros didaticos de Fisica, livros de divulgacao cientifica e sites da internet.

Mostra IFTec em Resumos•Jan 1, 2016•0 citations

Física quântica e misticismo no ensino de ciências

Tennile Rany Rocha, Thiago Milograno de Carvalho, Cínthia Maria Felício

A Física Quântica surgiu em 1900 na tentativa de explicar uma série de fenômenos que a Física Clássica não era capaz. Sua consolidação se deu na década de 1920 enquanto área de conhecimento na tentativa de explicar o funcionamento das coisas ao nível das dimensões dos átomos e partículas subatômicas. Com intuito de fazer um contraponto entre os pontos de vista científico e filosófico-religioso, da mecânica, coloca-se em evidência as interpretações de viés acadêmico e espiritual de modo a explicitar aos leigos, através de uma linguagem acessível, os fatos científicos e as versões desses fatos. Como objetivo específico, adotou-se a análise e aplicabilidade da mecânica quântica nos mais diversos contextos ao longo da história, assim como a deturpação das ideias e da utilização dos termos científicos. Percebe-se que com os resultados desta pesquisa que a tentativa de se fazer uma ligação entre a mecânica e a espiritualidade não tem validade científica. Com o estudo das revisões bibliográficas, conclui-se que o conhecimento científico é fundamental para o desenvolvimento do senso crítico, e consequentemente para o crescimento humano em diversos aspectos e perspectivas de conhecer e interpretar o mundo não apenas em seus aspectos físicos, mas também em filosofia, sociologia e demais campos que propõe uma maior reflexão. Através dos conceitos estruturantes desta área, poderemos entender melhor alguns aspectos do que trata a Física Quântica, sendo uma proposta interessante para percebermos evolução histórica dos conceitos e concepções que podem ser encontradas nas mais diversas épocas, desde a antiguidade até os tempos modernos.

Research Society and Development•Dec 18, 2020•2 citations

Postulados da mecânica quântica

Rogério Custódio, André Severo Pereira Gomes, Lucimara Ramos Martins

A compreensão da natureza das propriedades de átomos, moléculas e sistemas mais complexos está diretamente relacionada com a distribuição e o comportamento das partículas microscópicas que os constitui. Diversas evidências experimentais sugeriram que a estrutura de átomos e moléculas não poderiam ser explicadas por princípios baseados na mecânica clássica. Experimentos, tais como: a radiação do corpo negro, capacidade calorífica e espectros atômicos e moleculares, sugeriam que os processos de absorção ou emissão de energia só poderiam ser explicados admitindo-se que a energia envolvida nesses processos seria quantizada e não contínua, como prevê a mecânica clássica. A nova mecânica criada para conciliar os aspectos observados com a hipótese de quantizações de determinadas propriedades microscópicas foi denominada de Mecânica Quântica. Duas versões dessa nova mecânica foram formuladas pelos físicos Erwin Schrödinger e Werner Heisemberg, em trabalhos e métodos matemáticos diferentes, porém equivalentes. A teoria especifica quais são as leis que as partículas de qualquer sistema microscópico obedecem. Observa-se que há uma relação com a teoria de Newton para o movimento de sistemas macroscópicos (princípio da correspondência), sendo a teoria de Newton um caso particular (no limite macroscópico) das equações de Schrödinger, assim como a teoria da relatividade de Einstein é uma generalização que inclui a teoria de Newton como um caso especial, no limite de baixas velocidades. O modelo de Schrödinger está fundamentado em alguns postulados que são descritos a seguir.

Revista Chemkeys•Sep 17, 2018•7 citations

Compreensão de modelos atômicos, formulação da mecânica quântica e suas aplicabilidades contemporâneas

Jaks Anchieta Sena, Deocleciano Faustino Silva, Francisco Pio de Souza Antas +2 more

O presente trabalho tem por objetivo mostrar, por meio de uma revisao bibliografica, a devida importância que o estudo da estrutura do atomo e a mecânica quântica possuem. Nao so por ser esta uma teoria que explica de forma compreensiva os eventos que ocorrem em nivel subatomico e sistematiza toda a Quimica, mas tambem pelo avanco em tecnologias, proporcionado nos ultimos anos, diante da aplicacao pratica dessas teorias. Nessa revisao que funde a evolucao de varios conceitos teoricos fundamentais a compreensao do atomo, formulacao da quântica e sua aplicacao pratica, se constitui como importante ferramenta que facilita a compreensao mais ampla do mundo atual, cujo desenvolvimento vem sendo influenciado principalmente por duas areas do conhecimento bastante abrangentes, a Quimica e a Fisica.

VII CONNEPI - Congresso Norte Nordeste de Pesquisa e Inovação•Aug 30, 2012•0 citations

Crise Epistemológica da Teoria Quântica

João Renato Amorim Feitosa

Podemos facilmente constatar que o desenvolvimento das principais teorias do conhecimento do período moderno da filosofia ocidental guardou uma estreita relação com o status quo do desenvolvimento da matemática e das ciências de uma maneira geral. Essa característica é sobretudo evidente no projeto kantiano de fornecer as bases filosóficas para explicar a possibilidade da geometria (euclidiana) e da física newtoniana, as quais Kant fundamentou sob princípios os quais considerou condições sine qua non do conhecimento humano. Contudo, a física que se desenvolveu na primeira metade do século XX apresentou situações em que os próprios físicos tiveram que se questionar acerca dos problemas epistemológicos envolvidos na descrição, interpretação, e em última instância, na comunicação dos fenômenos observados, de modo que alguns conceitos caros à epistemologia tradicional se mostraram ora inválidos, ora ineficientes para explicar a possibilidade de conhecimento objetivo diante desse novo conjunto de fenômenos. Portanto, gostaríamos de apresentar de maneira breve de que modo ocorre essa contraposição entre epistemologia tradicional e teoria quântica, bem como o modo como os físicos Niels Bohr e Werner Heisenberg lidaram com a nova situação que se apresentava.

Revista de Filosofia Moderna e Contemporânea•Apr 30, 2022•0 citations
Resumo: A incapacidade da Mecânica Clássica explicar alguns fenômenos experimentais que estavam sendo realizados no final do século XIX e início do século XX, fez com que se iniciasse o desenvolvimento de uma nova teoria física. Cientistas estavam percebendo que a nível atômico e subatômico, a Física conhecida até então, estava falhando. Novas ideias, postulados e interpretações começaram a aparecer para explicar tais fenômenos. Com o passar dos anos, então, surgiu o que hoje conhecemos como Mecânica Quântica. Aparentemente, uma teoria separada da Mecânica Clássica. Mais posteriormente, compreendida como uma extensão desta última. O presente trabalho é uma introdução aos principais conceitos e fórmulas matemáticas usadas nessa área da Física, considerando apenas os casos unidimensionais. As ideias apresentadas, em sua maioria, terão mais embasamento matemático do que empírico. Tentou-se, também, apresentar uma descrição detalhada nas contas e equações, evidenciando-se praticamente todos os passos realizados. A Mecânica Quântica é uma área significativamente grande da Física, possui expressivo refinamento matemático e várias formas de abordagem. De forma que há uma limitação de tópicos a serem apresentados dentro do artigo. Contudo, se espera que, com essa introdução, o leitor consiga adquirir uma noção física e matemática o suficiente para saber como se deve pensar e quais ferramentas utilizar, quando se estuda partículas muito pequenas. Palavras-chave: mecânica quântica; física quântica; física matemática; Abstract: The inability of Classical Mechanics to explain some phenomena that occurred in scientific experiments that were being carried out in the late 19th and early 20th centuries, led to the development of a new physical theory. Scientists were realizing that at the atomic and subatomic level, hitherto known physics was failing. Thus, new ideas, postulates and interpretations began to be made in order to explain such empirical results. Then over the years, what we now know as Quantum Mechanics emerged; apparently a separate theory from classical mechanics. Later, it was understood as an extension of the latter. The present work is an introduction to the main concepts and mathematical formulas used in this area of Physics, considering only the one-dimensional cases. The ideas presented here, for the most part, will have more mathematical than empirical basis. It was also tried to present a detailed description of the calculations and equations, showing practically all the steps performed. Quantum Mechanics is a significantly large area of Physics, has expressively mathematical refinement and several approaches. Thus there is a limitation of topics to be presented within the article. However, it is hoped that, with this introduction, the reader will be able to acquire enough physical and mathematical notions to know how to think and what tools to use when studying very small particles. Keywords: quantum mechanics; quantum physics; mathematical physics;
Este é um artigo de caráter expositivo, no qual discutimos uma variedade de tópicos relacionados aos fundamentos da física quântica, com destaque para os conceitos de identidade e de individualidade das entidades básicas tratadas por essa teoria (ou grupo de teorias). Consideramos que, se se deseja fundamentar a contraparte formal de uma possível visão das entidades quânticas como objetos destituídos de individualidade, há basicamente duas alternativas possíveis: (a) manter-nos no escopo da lógica e da matemática tradicionais, digamos em uma teoria de conjuntos como Zermelo-Fraenkel, e, nesse caso, podemos ou assumir certas condições de simetria que de certo modo nos permitem falar da não individualidade, ou restringir-nos a certas classes nas quais apenas uma relação mais fraca de indistinguibilidade está definida; (b) elaborar uma teoria matemática nova, na qual certa forma de não individualidade está ab initio incorporada para algumas das entidades. Discutimos a primeira hipótese apresentando "modelos internos" de ZFU e ZFC, onde a identidade é restrita de alguma forma, e comentamos vantagens e desvantagens dessa abordagem. Motivada pela segunda hipótese, é então desenvolvida, em seus traços principais, o que poderia ser uma mecânica quântica fundamentada em uma das possíveis teorias de conjuntos distintas das clássicas, a teoria de quase conjuntos. Como a lógica subjacente à teoria de quase conjuntos é uma lógica não reflexiva, a mecânica correspondente é denominada de mecânica quântica não reflexiva.
A Fisica Quântica ou Mecânica Quântica e o ramo da Fisica que estuda os fenomenos subatomicos, ou seja, os fenomenos que ocorrem em escalas de nivel menor que a escala atomica e surgiu da necessidade de complementar a Mecânica Classica que ja nao podia explicar completamente alguns fenomenos, como por exemplo, o movimento dos eletrons na eletrosfera dos atomos e os diferentes comportamentos observados na luz. A Fisica Quântica constitui uma area avancada da Fisica, chamada Fisica Moderna, que geralmente nao e abordada no Ensino Medio ficando restrita a estudantes de Ensino Superior, porem desperta grande interesse daqueles que gostariam de compreender esta area que tanto contribuiu para a evolucao da Fisica. O fato de nao ser um topico abordado no Ensino Medio, juntamente com divulgacoes equivocadas dos conceitos envolvidos acaba por fazer com que parte das pessoas acredite que a Fisica Quântica esteja ligada, por exemplo, a saude e a espiritualidade. Com o objetivo de poder explica-la de forma clara e sucinta esta pesquisa busca a compreensao de alguns dos conceitos que fundamentam a Fisica Quântica bem como esclarecer, na forma de divulgacao cientifica, sua importância na evolucao do estudo da Fisica, sem aprofundamento de conteudos, ou seja, sem o uso de equacao fisicas e matematicas. Neste trabalho a principal metodologia empregada foi a Pesquisa Bibliografica realizada em livros didaticos de Fisica, livros de divulgacao cientifica e sites da internet.
A Física Quântica surgiu em 1900 na tentativa de explicar uma série de fenômenos que a Física Clássica não era capaz. Sua consolidação se deu na década de 1920 enquanto área de conhecimento na tentativa de explicar o funcionamento das coisas ao nível das dimensões dos átomos e partículas subatômicas. Com intuito de fazer um contraponto entre os pontos de vista científico e filosófico-religioso, da mecânica, coloca-se em evidência as interpretações de viés acadêmico e espiritual de modo a explicitar aos leigos, através de uma linguagem acessível, os fatos científicos e as versões desses fatos. Como objetivo específico, adotou-se a análise e aplicabilidade da mecânica quântica nos mais diversos contextos ao longo da história, assim como a deturpação das ideias e da utilização dos termos científicos. Percebe-se que com os resultados desta pesquisa que a tentativa de se fazer uma ligação entre a mecânica e a espiritualidade não tem validade científica. Com o estudo das revisões bibliográficas, conclui-se que o conhecimento científico é fundamental para o desenvolvimento do senso crítico, e consequentemente para o crescimento humano em diversos aspectos e perspectivas de conhecer e interpretar o mundo não apenas em seus aspectos físicos, mas também em filosofia, sociologia e demais campos que propõe uma maior reflexão. Através dos conceitos estruturantes desta área, poderemos entender melhor alguns aspectos do que trata a Física Quântica, sendo uma proposta interessante para percebermos evolução histórica dos conceitos e concepções que podem ser encontradas nas mais diversas épocas, desde a antiguidade até os tempos modernos.
A compreensão da natureza das propriedades de átomos, moléculas e sistemas mais complexos está diretamente relacionada com a distribuição e o comportamento das partículas microscópicas que os constitui. Diversas evidências experimentais sugeriram que a estrutura de átomos e moléculas não poderiam ser explicadas por princípios baseados na mecânica clássica. Experimentos, tais como: a radiação do corpo negro, capacidade calorífica e espectros atômicos e moleculares, sugeriam que os processos de absorção ou emissão de energia só poderiam ser explicados admitindo-se que a energia envolvida nesses processos seria quantizada e não contínua, como prevê a mecânica clássica. A nova mecânica criada para conciliar os aspectos observados com a hipótese de quantizações de determinadas propriedades microscópicas foi denominada de Mecânica Quântica. Duas versões dessa nova mecânica foram formuladas pelos físicos Erwin Schrödinger e Werner Heisemberg, em trabalhos e métodos matemáticos diferentes, porém equivalentes. A teoria especifica quais são as leis que as partículas de qualquer sistema microscópico obedecem. Observa-se que há uma relação com a teoria de Newton para o movimento de sistemas macroscópicos (princípio da correspondência), sendo a teoria de Newton um caso particular (no limite macroscópico) das equações de Schrödinger, assim como a teoria da relatividade de Einstein é uma generalização que inclui a teoria de Newton como um caso especial, no limite de baixas velocidades. O modelo de Schrödinger está fundamentado em alguns postulados que são descritos a seguir.
O presente trabalho tem por objetivo mostrar, por meio de uma revisao bibliografica, a devida importância que o estudo da estrutura do atomo e a mecânica quântica possuem. Nao so por ser esta uma teoria que explica de forma compreensiva os eventos que ocorrem em nivel subatomico e sistematiza toda a Quimica, mas tambem pelo avanco em tecnologias, proporcionado nos ultimos anos, diante da aplicacao pratica dessas teorias. Nessa revisao que funde a evolucao de varios conceitos teoricos fundamentais a compreensao do atomo, formulacao da quântica e sua aplicacao pratica, se constitui como importante ferramenta que facilita a compreensao mais ampla do mundo atual, cujo desenvolvimento vem sendo influenciado principalmente por duas areas do conhecimento bastante abrangentes, a Quimica e a Fisica.
Podemos facilmente constatar que o desenvolvimento das principais teorias do conhecimento do período moderno da filosofia ocidental guardou uma estreita relação com o status quo do desenvolvimento da matemática e das ciências de uma maneira geral. Essa característica é sobretudo evidente no projeto kantiano de fornecer as bases filosóficas para explicar a possibilidade da geometria (euclidiana) e da física newtoniana, as quais Kant fundamentou sob princípios os quais considerou condições sine qua non do conhecimento humano. Contudo, a física que se desenvolveu na primeira metade do século XX apresentou situações em que os próprios físicos tiveram que se questionar acerca dos problemas epistemológicos envolvidos na descrição, interpretação, e em última instância, na comunicação dos fenômenos observados, de modo que alguns conceitos caros à epistemologia tradicional se mostraram ora inválidos, ora ineficientes para explicar a possibilidade de conhecimento objetivo diante desse novo conjunto de fenômenos. Portanto, gostaríamos de apresentar de maneira breve de que modo ocorre essa contraposição entre epistemologia tradicional e teoria quântica, bem como o modo como os físicos Niels Bohr e Werner Heisenberg lidaram com a nova situação que se apresentava.