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Vieweg+Teubner eBooks

Viel-Teilchen-Modellsysteme

Wolfgang Nolting

Published Jan 1, 1997• 0 citations
Publisher

Abstract

In diesem Abschnitt sollen einige häufig diskutierte Modellsysteme eingeführt werden, an denen wir später die Elemente der abstrakten Theorie demonstrieren und testen wollen. Bei der Formulierung der Modell-Hamilton-Operatoren werden wir bereits das Transformieren von der ersten in die zweite Quantisierung üben können. Die ausgewählten Beispiele stammen sämtlich aus dem Bereich der Theoretischen Festkörperphysik und sollen mit ein paar einführenden Bemerkungen vorbereitet werden.

DOI
10.1007/978-3-663-12155-8_2

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Wechselwirkende Teilchensysteme

Wolfgang Nolting

Wir wollen in diesem Abschnitt den im letzten Kapitel diskutierten abstrakten Formalismus der Green-Funktionen auf einige realistische Probleme der Viel-Teilchen-Theorie anwenden, wobei wir insbesondere die Modellsysteme aus Kapitel 2 zugrunde legen werden. Wir wollen dabei zum einen erkennen, welche Informationen durch passend gewählte Green-Funktionen zugänglich sind, und zum anderen, wie solche Green-Funktionen in praktischen Fällen berechnet werden können. Die in der Regel unumgänglichen Approximationen sollen kritisch erläutert werden.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1997•0 citations

Zentralpotential

Wolfgang Nolting

Nach den eher abstrakten Überlegungen des vorigen Kapitels zur Observablen Drehimpuls soll nun wieder ein Abschnitt folgen, in dem wir anhand von konkreten und wichtigen Beispielen praktische Lösungsmethoden erarbeiten wollen. Das theoretisch-quantenmechanische Grundproblem liegt stets in der Lösung der Schrödinger-Gleichung, d. h. in dem Eigenwertproblem des Hamilton-Operators. Die Schrödinger-Gleichung ist im allgemeinen eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung und damit fast nie streng lösbar. Für eindimensionale Problemstellungen geht sie dagegen in eine gewöhnliche Differentialgleichung über, die mathematisch wesentlich einfacher zu behandeln ist und in Kapitel 4 in der Tat für einige einfache Modellsysteme exakt gelöst werden konnte. Eine bisweilen erfolgreiche Lösungsmethode zielt deshalb darauf ab, komplizierte mehrdimensionale Schrödinger-Gleichungen durch geschickte Wahl der Variablen in mehrere unabhängige, gewöhnliche Differentialgleichungen zu zerlegen. Man nennt dieses Verfahren Separation der Variablen, das wir im übrigen schon an vielen Stellen dieses Grundkurs: Theoretische Physik angewendet haben. Natürlich lassen sich nicht alle Probleme separieren. Es gelingt allerdings insbesondere bei Teilchenbewegungen in einem Zentralpotential.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1997•0 citations

Identische Teilchen

Theo Mayer-Kuckuk

In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefinierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärfe-relation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts- und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und fuhrt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.

Teubner-Studienbücher. Physik•Jan 1, 1997•1 citation

Elemente der Theorie I

J. Reinhold

Wie auch andere naturwissenschaftliche Teilgebiete läßt sich die Quantenmechanik aus einer kleinen Anzahl von Axiomen oder Postulaten aufbauen. Diese Postulate können nicht „abgeleitet“ werden. Sie werden allein durch die Tatsache gerechtfertigt, daß sämtliche aus ihnen „mathematisch sauber“ abgeleiteten Folgerungen mit der Erfahrung übereinstimmen, d.h. keinen Widerspruch ergeben. Wir geben eine mögliche Formulierung für die Postulate der Quantenmechanik an; in der Literatur findet man eine Reihe von Modifikationen. Zunächst führen wir den Hilbert-Raum ein, den Zustandsraum der quantenmechanischen Zustände gebundener Systeme, sowie lineare Operatoren, die auf diesem Raum definiert sind. Dann befassen wir uns mit dem Meßproblem für einzelne bzw. mehrere Observable.

Teubner-Studienbücher. Chemie•Jan 1, 2004•1 citation

Elemente der Theorie I

AuszugWie auch andere naturwissenschaftliche Teilgebiete läßt sich die Quantenmechanik aus einer kleinen Anzahl von Axiomen oder Postulaten aufbauen. Diese Postulate können nicht „abgeleitet“ werden. Sie werden allein durch die Tatsache gerechtfertigt, daß sämtliche aus ihnen „mathematisch sauber“ abgeleiteten Folgerungen mit der Erfahrung übereinstimmen, d.h. keinen Widerspruch ergeben. Wir geben eine mögliche Formulierung für die Postulate der Quantenmechanik an; in der Literatur findet man eine Reihe von Modifikationen. Zunächst führen wir den Hilbert-Raum ein, den Zustandsraum der quantenmechanischen Zustände gebundener Systeme, sowie lineare Operatoren, die auf diesem Raum definiert sind. Dann befassen wir uns mit dem Meßproblem für einzelne bzw. mehrere Observable.

Vieweg+Teubner eBooks•Aug 7, 2008•0 citations

Die zweite Quantisierung

Wolfgang Nolting

ZusammenfassungDie physikalische Welt besteht aus wechselwirkenden Viel-Teilchen-Systemen. Deren exakte Beschreibung erfordert die Lösung von entsprechenden Viel-Teilchen-Schrödinger-Gleichungen, was allerdings in der Regel unmöglich ist. Die Aufgabe der Theoretischen Physik besteht deshalb darin, Konzepte zu entwickeln, mit deren Hilfe ein Viel-Teilchen-Problem physikalisch vernünftig approximativ gelöst werden kann.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1997•0 citations
In diesem Abschnitt sollen einige häufig diskutierte Modellsysteme eingeführt werden, an denen wir später die Elemente der abstrakten Theorie demonstrieren und testen wollen. Bei der Formulierung der Modell-Hamilton-Operatoren werden wir bereits das Transformieren von der ersten in die zweite Quantisierung üben können. Die ausgewählten Beispiele stammen sämtlich aus dem Bereich der Theoretischen Festkörperphysik und sollen mit ein paar einführenden Bemerkungen vorbereitet werden.
Wir wollen in diesem Abschnitt den im letzten Kapitel diskutierten abstrakten Formalismus der Green-Funktionen auf einige realistische Probleme der Viel-Teilchen-Theorie anwenden, wobei wir insbesondere die Modellsysteme aus Kapitel 2 zugrunde legen werden. Wir wollen dabei zum einen erkennen, welche Informationen durch passend gewählte Green-Funktionen zugänglich sind, und zum anderen, wie solche Green-Funktionen in praktischen Fällen berechnet werden können. Die in der Regel unumgänglichen Approximationen sollen kritisch erläutert werden.
Nach den eher abstrakten Überlegungen des vorigen Kapitels zur Observablen Drehimpuls soll nun wieder ein Abschnitt folgen, in dem wir anhand von konkreten und wichtigen Beispielen praktische Lösungsmethoden erarbeiten wollen. Das theoretisch-quantenmechanische Grundproblem liegt stets in der Lösung der Schrödinger-Gleichung, d. h. in dem Eigenwertproblem des Hamilton-Operators. Die Schrödinger-Gleichung ist im allgemeinen eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung und damit fast nie streng lösbar. Für eindimensionale Problemstellungen geht sie dagegen in eine gewöhnliche Differentialgleichung über, die mathematisch wesentlich einfacher zu behandeln ist und in Kapitel 4 in der Tat für einige einfache Modellsysteme exakt gelöst werden konnte. Eine bisweilen erfolgreiche Lösungsmethode zielt deshalb darauf ab, komplizierte mehrdimensionale Schrödinger-Gleichungen durch geschickte Wahl der Variablen in mehrere unabhängige, gewöhnliche Differentialgleichungen zu zerlegen. Man nennt dieses Verfahren Separation der Variablen, das wir im übrigen schon an vielen Stellen dieses Grundkurs: Theoretische Physik angewendet haben. Natürlich lassen sich nicht alle Probleme separieren. Es gelingt allerdings insbesondere bei Teilchenbewegungen in einem Zentralpotential.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefinierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärfe-relation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts- und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und fuhrt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
Wie auch andere naturwissenschaftliche Teilgebiete läßt sich die Quantenmechanik aus einer kleinen Anzahl von Axiomen oder Postulaten aufbauen. Diese Postulate können nicht „abgeleitet“ werden. Sie werden allein durch die Tatsache gerechtfertigt, daß sämtliche aus ihnen „mathematisch sauber“ abgeleiteten Folgerungen mit der Erfahrung übereinstimmen, d.h. keinen Widerspruch ergeben. Wir geben eine mögliche Formulierung für die Postulate der Quantenmechanik an; in der Literatur findet man eine Reihe von Modifikationen. Zunächst führen wir den Hilbert-Raum ein, den Zustandsraum der quantenmechanischen Zustände gebundener Systeme, sowie lineare Operatoren, die auf diesem Raum definiert sind. Dann befassen wir uns mit dem Meßproblem für einzelne bzw. mehrere Observable.
AuszugWie auch andere naturwissenschaftliche Teilgebiete läßt sich die Quantenmechanik aus einer kleinen Anzahl von Axiomen oder Postulaten aufbauen. Diese Postulate können nicht „abgeleitet“ werden. Sie werden allein durch die Tatsache gerechtfertigt, daß sämtliche aus ihnen „mathematisch sauber“ abgeleiteten Folgerungen mit der Erfahrung übereinstimmen, d.h. keinen Widerspruch ergeben. Wir geben eine mögliche Formulierung für die Postulate der Quantenmechanik an; in der Literatur findet man eine Reihe von Modifikationen. Zunächst führen wir den Hilbert-Raum ein, den Zustandsraum der quantenmechanischen Zustände gebundener Systeme, sowie lineare Operatoren, die auf diesem Raum definiert sind. Dann befassen wir uns mit dem Meßproblem für einzelne bzw. mehrere Observable.