Laserlicht - ein neues Beispiel für eine Phasenumwandlung?

Ramona Wolf

Abgesehen davon, dass Subfaktoren ein interessantes mathematisches Gebiet für sich darstellen, haben sie auch die Aufmerksamkeit von Physikern erregt, da vermutet wird, dass es einen Zusammenhang zwischen Subfaktoren und konformen Feldtheorien (CFT) gibt. Obwohl inzwischen eine überzeugende Menge an Hinweisen für die Gültigkeit dieser Vermutung erbracht wurde, existieren immer noch einige Lücken: Es gibt eine Reihe außergewöhnlicher Subfaktoren, für die keine entsprechende CFT bekannt ist. Daher ist es notwendig, neue Techniken für die Konstruktion einer CFT aus einem Subfaktor zu entwickeln. Hier ist es sinnvoll, die zugrunde liegende mathematische Struktur genauer zu untersuchen: Aus den sogenannten ,,even parts'' eines Subfaktors ergeben sich zwei unitäre Fusionskategorien (UFCs). Ein vielversprechender Ansatz ist, aus diesen Kategorien Quantenspinsysteme zu konstruieren und zu untersuchen, um eine Verbindung zu CFTs zu finden. Das einfachste Beispiel, das neue Techniken zur Konstruktion einer CFT erfordert, ist der Haagerup Subfaktor, da er der kleinste Subfaktor mit einem Index größer als vier ist. In dieser Arbeit untersuchen wir mithilfe von ein- und zweidimensionalen Gittermodellen die Frage, ob eine CFT existiert, die zum Haagerup Subfaktor gehört. Die erste Aufgabe hierbei besteht darin, die F-Symbole der Kategorie zu berechnen, da diese bei allen Modellen, die in dieser Arbeit untersucht werden, einen entscheidenden Bestandteil der Konstruktion darstellen. Wir betrachten die folgenden Modelle: 1. Das sogenannte ,,Golden Chain''-Modell, bei dem es sich um eine eindimensionale Spinkette handelt, deren Grundzustand Informationen (wie zum Beispiel den Wert der zentralen Ladung) über die hypothetische CFT enthält. 2. Quantenspinketten (wie die Golden Chain) mit Defekten. Die Konstruktion der Vertices, die die Kette mit Defekten bilden, liefert Einblicke in eine mögliche Konstruktion einer unitären modularen Tensorkategorie (UMTC) über die sogenannte Annulare Kategorie. 3. Das Levin-Wen Modell, welches ein zweidimensionales Gittermodell mit exakt lösbarem Hamiltonian ist, das eine topologische Quantenfeldtheorie liefert. Am interessantesten für uns ist, dass die Anregungen des Systems eine UMTC ergeben. Wir stellen fest, dass die Untersuchung der UFCs selbst keine Hinweise auf eine Haagerup CFT liefert, und schließen daraus, dass es notwendig ist, diese Untersuchung auf die entsprechende UMTC auszudehnen, die zum Beispiel über die Anregungen des Levin-Wen Modells konstruiert werden kann.

K. Gürs

Thorsten Bogner

In dieser Dissertation wird die effektive numerische Beschreibung nichtlinearer dynamischer Systeme untersucht.\nSysteme dieser Art tauchen praktisch überall auf, wo zeitabhängige Größen quantitativ untersucht werden, d.h. in fast allen Bereichen der Physik, aber auch in der Biologie, Ökonomie oder Mathematik.\nZiel ist die Bestimmung reduzierter Modelle, deren Phasenraum eine signifikant reduzierte Dimensionalität aufweist. Dies wird erreicht durch Benutzung von Konzepten aus der Dichtematrix-Renormierung.\nIn dieser Arbeit werden drei neue Anwendungen vorgeschlagen. Zuerst wird eine Dichtematrix-Renormierungsmethode zur Berechnung einer Schur-Zerlegung vorgestellt. Verglichen mit bereits existierenden Arbeiten liegt der Vorteil dieses Ansatzes in der Möglichkeit, auch für nicht-normale Operatoren orthonormale Basen von sukzessive invarianten Unterräumen zu bestimmen.\nDer Algorithmus wird dann angewandt auf Gittermodelle stochastischer Systeme, wobei als Beispiele ein Reaktions-Diffusions- und ein Oberflächenablagerungs-Modell dienen.\nAls Nächstes wird ein Dichtematrix-Renormierungsansatz für die orthogonale Zerlegung (proper orthogonal decomposition) entwickelt. Diese Zerlegung erlaubt die Bestimmung relevanter linearer Unterräume auch für nichtlineare Systeme.\nDurch die Verwendung der Dichtematrix-Renormierung werden alle Berechnungen nur für kleine Untersysteme durchgeführt. Dabei werden diskretisierte partielle Differentialgleichungen, d.h. die Diffusionsgleichung, die Burgers-Gleichung und eine nichtlineare Diffusionsgleichung als numerische Beispiele betrachtet.\nSchließlich wird das vorige Konzept auf höherdimensionale Probleme in Form eines Variationsverfahrens erweitert. Dies Verfahren wird dann an den zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen erprobt.

W. Bothe, Heinz Maier‐Leibnitz

Rainer Scharf

Mit gequetschtem Licht lassen sich schwankende optische Phasen noch genauer verfolgen.

Irena Bojic

Das Phänomen der Verschränkung hat eine grundlegende Bedeutung in der Quantenphysik. Mathematisch is Verschränkung definiert durch die Inseparabilität von Quantenzuständen, die verwendet werden um Quantenobjekte zu beschreiben. Zustände, die nicht separabel sind, werden verschränkt genannt. Diese können räumlich getrennte Objekte oder verschiedene Eigenschaften desselben Objektes sein, welche nur durch einen gemeinsamen mathematischen Zustandvektor beschrieben werden können. Für die einzelnen Objekte gibt es keine separable Beschreibung. Physikalisch äußert sich Verschränkung zum Beispiel in nichtlokalen Eigenschaften, die auch experimentell nachgewiesen werden können. Klassische, lokale Konzepte, wie z.B. die Bell-Ungleichungen, werden durch Voraussagen der Quantenmechanik und aufgrund von Verschränkung verletzt, was man auch experimentell nachweisen kann. Man kann zeigen, dass klassische Konzepte der Lokalität und Realität hinderlich sind für ein besseres Verständnis der Natur. Verschiedene Anwendungen der Verschränkungstheorie haben breite Forschungsfelder eröffnet, wie zum Beispiel Quanteninformations-Theorie und -Verarbeitung und Quantenkryptographie. Die (spezielle) Relativitätstheorie ist eine klassische Theorie, die die Transformationseigenschaften zwischen Inertialsystemen beschreibt, in welchen die Gesetze der Physik unverändert bleiben. Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Verbindung von Verschränkung und Relativitätstheorie, beziehungsweise, bietet eine Einleitung in beide Felder und die neueren Forschungsgegenstände der relativistischen Verschränkungstheorie. Frühere Arbeiten auf diesem Gebiet haben gezeigt, dass Verschränkung im Allgemeinen nicht Beobachter-unabhängig oder Lorentz-invariant ist, wenn verschiedene Partitionen des Hilbertraumes betrachtet werden. Dies wurde anhand von zwei verschränkten Spin-1/2 oder zwei verschränkten Spin-1 Teilchen für verschiedene Quantenzustände gezeigt. Weiters präsentiert diese Diplomarbeit auch ein neues Beispiel für drei verschränkte Spin-1 Teilchen. Ihre relativistischen Transformationseigenschaften werden im letzten Kapitel untersucht. Es wird ebenfalls die Detektion von Vielkörperverschränkung für verschiedene inertiale Beobachter diskutiert.