In dieser Dissertation wird die effektive numerische Beschreibung nichtlinearer dynamischer Systeme untersucht.\nSysteme dieser Art tauchen praktisch überall auf, wo zeitabhängige Größen quantitativ untersucht werden, d.h. in fast allen Bereichen der Physik, aber auch in der Biologie, Ökonomie oder Mathematik.\nZiel ist die Bestimmung reduzierter Modelle, deren Phasenraum eine signifikant reduzierte Dimensionalität aufweist. Dies wird erreicht durch Benutzung von Konzepten aus der Dichtematrix-Renormierung.\nIn dieser Arbeit werden drei neue Anwendungen vorgeschlagen. Zuerst wird eine Dichtematrix-Renormierungsmethode zur Berechnung einer Schur-Zerlegung vorgestellt. Verglichen mit bereits existierenden Arbeiten liegt der Vorteil dieses Ansatzes in der Möglichkeit, auch für nicht-normale Operatoren orthonormale Basen von sukzessive invarianten Unterräumen zu bestimmen.\nDer Algorithmus wird dann angewandt auf Gittermodelle stochastischer Systeme, wobei als Beispiele ein Reaktions-Diffusions- und ein Oberflächenablagerungs-Modell dienen.\nAls Nächstes wird ein Dichtematrix-Renormierungsansatz für die orthogonale Zerlegung (proper orthogonal decomposition) entwickelt. Diese Zerlegung erlaubt die Bestimmung relevanter linearer Unterräume auch für nichtlineare Systeme.\nDurch die Verwendung der Dichtematrix-Renormierung werden alle Berechnungen nur für kleine Untersysteme durchgeführt. Dabei werden diskretisierte partielle Differentialgleichungen, d.h. die Diffusionsgleichung, die Burgers-Gleichung und eine nichtlineare Diffusionsgleichung als numerische Beispiele betrachtet.\nSchließlich wird das vorige Konzept auf höherdimensionale Probleme in Form eines Variationsverfahrens erweitert. Dies Verfahren wird dann an den zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen erprobt.
In dieser Dissertation wird die effektive numerische Beschreibung nichtlinearer dynamischer Systeme untersucht.\nSysteme dieser Art tauchen praktisch überall auf, wo zeitabhängige Größen quantitativ untersucht werden, d.h. in fast allen Bereichen der Physik, aber auch in der Biologie, Ökonomie oder Mathematik.\nZiel ist die Bestimmung reduzierter Modelle, deren Phasenraum eine signifikant reduzierte Dimensionalität aufweist. Dies wird erreicht durch Benutzung von Konzepten aus der Dichtematrix-Renormierung.\nIn dieser Arbeit werden drei neue Anwendungen vorgeschlagen. Zuerst wird eine Dichtematrix-Renormierungsmethode zur Berechnung einer Schur-Zerlegung vorgestellt. Verglichen mit bereits existierenden Arbeiten liegt der Vorteil dieses Ansatzes in der Möglichkeit, auch für nicht-normale Operatoren orthonormale Basen von sukzessive invarianten Unterräumen zu bestimmen.\nDer Algorithmus wird dann angewandt auf Gittermodelle stochastischer Systeme, wobei als Beispiele ein Reaktions-Diffusions- und ein Oberflächenablagerungs-Modell dienen.\nAls Nächstes wird ein Dichtematrix-Renormierungsansatz für die orthogonale Zerlegung (proper orthogonal decomposition) entwickelt. Diese Zerlegung erlaubt die Bestimmung relevanter linearer Unterräume auch für nichtlineare Systeme.\nDurch die Verwendung der Dichtematrix-Renormierung werden alle Berechnungen nur für kleine Untersysteme durchgeführt. Dabei werden diskretisierte partielle Differentialgleichungen, d.h. die Diffusionsgleichung, die Burgers-Gleichung und eine nichtlineare Diffusionsgleichung als numerische Beispiele betrachtet.\nSchließlich wird das vorige Konzept auf höherdimensionale Probleme in Form eines Variationsverfahrens erweitert. Dies Verfahren wird dann an den zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen erprobt.
In dieser Arbeit wird die Thermodynamik eindimensionaler Quantensysteme untersucht, indem das eindimensionale quantenmechanische Modell auf ein zweidimensionales klassisches System mittels einer Trotter-Suzuki Zerlegung abgebildet wird. Neben der häufig angewandten Schachbrettzerlegung wird eine neue Trotter-Suzuki Abbildung vorgestellt, die zu einem klassischen Modell mit alternierenden Reihen führt und die Definition einer einspaltigen Quantentransfermatrix erlaubt. Innerhalb des Transfermatrix-Zugangs kann der thermodynamische Limes exakt durchgeführt werden. Um die Transfermatrix insbesondere für tiefe Temperaturen zu untersuchen, wird eine Variante der Dichtematrix-Renormierungsgruppe, die sog. TMRG, verwendet. Mit dieser Methode wird das t-J Modell untersucht, wobei besonderer Wert auf die Berechnung von Korrelationslängen gelegt wird, um den Übergang vom Hochtemperaturbereich in den quantenkritischen Bereich zu studieren. Zusätzlich wird das reichhaltige Phasendiagramm untersucht. Die numerischen Resultate werden detailliert mit analytischen Ergebnissen aus konformer Feldtheorie verglichen. Ferner wird ein für das Übergangsmetalloxid YVO_3 relevantes Spin-Orbital Modell untersucht. Es wird eine Dimerisierung bei endlicher Temperatur gefunden, die durch den zugehörigen Entropiegewinn getrieben wird. Dieser Mechanismus scheint die bisher unverstandene Stabilität der C-Phase in YVO_3 zu erklären. Im letzten Teil wird eine neue Gitter-Pfadintegraldarstellung vorgestellt, die es erlaubt, dynamische Korrelationsfunktionen zu reellen Zeiten ohne analytische Fortsetzung zu berechnen. Erste Resultate für die Spin-Autokorrelationsfunktion des XXZ-Modells bei unendlicher Temperatur werden vorgestellt.
Die Dichtematrix-Renormierung ist eine neue numerische Methode, die es erlaubt, die Grundzustandseigenschaften (sowohl die Energien als auch die Eigenfunktionen) von eindimensionalen Quantenspinsystemen großer Länge (einhundert Plätze und mehr) mit herausragender Genauigkeit (bis zu zehn Dezimalstellen) zu berechnen. Dabei verwendet man die reduzierte Dichtematrix eines Teils des Systems zur Konstruktion eines eingeschränkten Hilbert-Raumes. Die Methode wurde bisher hauptsächlich auf echte Quantensysteme, d.h. Systeme, die durch hermitesche Zeitentwicklungsoperatoren beschrieben werden, angewandt. In der vorliegenden Arbeit wurden mit ihrer Hilfe nichthermitesche Probleme untersucht und die Anwendbarkeit der Methode gezeigt. Es konnten erstmalig die verallgemeinertern Korrelationsfunktionen einer nichthermitschen Erweiterung der antiferromagnetischen Heisenberg-Kette für große Kettenlängen und daraus die kritischen Exponenten bestimmt werden. Darüber hinaus wurde die Dichtematrix-Renormierung auf Hüpfmodelle mit stochastischen Zeitentwicklungsoperatoren angewandt und speziell der Zusammenhang des Eigenwertspektrums der reduzierten Dichtematrix mit der Struktur des Grundzustandes diskutiert. Ein weiterer Aspekt, auf den eingegangen wird, ist der Ursprung des Eigenwertspektrums der Dichtematrix, das für die Genauigkeit des Verfahrens entscheidend ist.
Numerische Simulationen sind ein unverzichtbares Werkzeug der modernen Physik geworden, insbesondere im Kontext stark korrelierter Quantensysteme, die häufig nicht analytisch behandelt werden können. Viele Physiker betrachten die numerische Physik mittlerweile als eigene Fachrichtung neben der experimentellen und der theoretischen Physik. In den Veröffentlichungen, aus denen diese kumulative Dissertation besteht, werden stark korrelierte Quantensysteme studiert. Dafür werden eine Vielzahl moderner numerischer Methoden verwendet, unter anderem exakte Diagonalisierung, Matrix-Produktzustände, Quanten-Monte-Carlo und neuronale Quantenzustände. In dieser Dissertation werden drei Klassen von stark korrelierten Quantensystemen betrachtet: 1) Vom Hubbard-Modell abgeleitete frustrierte Quantenmagnete, 2) Toric Codes und 3) Z2 Gittereichtheorien. Seit der Entdeckung der Hochtemperatursupraleitung in Cupraten in den 1980er-Jahren sind die Niedertemperaturphasen von Cupraten von zentralem Interesse für experimentelle und theoretische Studien. Modelle wie das Hubbard-Modell wurden eingeführt, um die effektive zweidimensionale Physik in CuO2-Schichten zu modellieren. Das Verschwinden der antiferromagnetischen Ordnung als Konsequenz von Störstellen und deren Zusammenhang mit supraleitenden Phasen ist bedeutsam, um den Bindungsmechanismus von Elektronen in supraleitenden Phasen zu entschlüsseln. Dieser Bindungsmechanismus ist bis heute Gegenstand aktueller Forschung. Mikroskopische Studien des t-J-Modells, eines Grenzfalls des Hubbard-Modells bei starken Interaktionen, legen Szenarien nahe, in denen Elektronen in zwei Partons fraktionalisieren: Ein Spinon (trägt den Spin) und ein Holon (trägt die Ladung). Mit Hilfe von Matrix-Produktzuständen wird in dieser Dissertation für einen paradigmatischen dotierten, frustrierten Quantenmagneten - das Majumdar-Ghosh-Modell - gezeigt, dass die Existenz eines gebundenen Parton-Zustands eng mit einer Feshbach-Resonanz verknüpft ist. Frustrierte Quantenmagnete werden zudem als Plattform vorgeschlagen, um Systeme weniger Teilchen zu untersuchen. Der Toric Code ist ein Grundpfeiler der modernen Physik der kondensierten Materie und ein grundlegendes Modell für die Felder Topologie und Quantum Error Correction. Der Grundzustand des Toric Codes ist eine Z2 Quantenspinflüssigkeit und ist eines der einfachsten Beispiele für eine topologische Phase. Es wurde ein C++-Softwarepaket (ParaToric) entwickelt, in dem ein Continuous-Time-Quanten-Monte-Carlo-Verfahrem implementiert wird, um den Toric Code in einem parallel angelegten Feld zu simulieren. Der Algorithmus von Wu, Deng und Prokof’ev wurde um weitere Zustandsaktualisierungen erweitert, die Simulationen in bislang unzulänglichen Parameterbereichen ermöglichen. ParaToric erlaubt bislang unerreichte Systemgrößen und bildet die Grundlage für Publikationen mit den bisher größten Systemen auf dreieckigen, quadratischen, hexagonalen und kubischen Gittern. Es werden Schnittstellen für C, C++ und Python bereitgestellt, die eine nahtlose Integration von ParaToric in Projekte Dritter ermöglichen. In dieser Dissertation werden neue geometrische Ordnungsparameter für Z2-Gittereichtheorien auf Basis von Perkolationstheorie eingeführt und getestet. Diese Ordnungsparameter können direkt aus experimentellen Messungen von Quantensimulatoren berechnet werden und sind konkurrierenden Ordnungsparametern in vielen Bereichen überlegen. Die Anwendung auf den Toric Code offenbart, dass selbst beim absoluten Nullpunkt Deconfined Phasen existieren, die nicht topologisch sind. Des Weiteren wird eine neue Netzwerkarchitektur für neuronale Quantenzustände eingeführt, die ungefähre Symmetrien in das Netzwerk kodiert. Diese Netzwerkarchitektur wird verwendet, um die Phasendiagramme nicht-stoquastischer Varianten des Toric Codes zu berechnen. Zu guter Letzt werden symmetriegeschützte topologische Phasen vorgeschlagen, die auch bei einer endlichen Temperatur existieren.
Diese Dissertation untersucht Quantensysteme in kondensierter Phase, welche mit ihrer Umgebung wechselwirken und durch ultrakurze Laserpulse angeregt werden. Die Zeitskalen der verschiedenen beteiligten Prozessen lassen sich bei solchen Problemen nicht separieren, weshalb die Standardmethoden zur Behandlung offener Quantensysteme nicht angewandt werden können. Die Methode des Surrogate Hamiltonian stellt ein Beispiel neuer Herangehensweisen an dissipative Quantendynamik dar. Die Weiterentwicklung der Methode und ihre Anwendung auf Phänomene, die zur Zeit experimentell untersucht werden, stehen im Mittelpunkt dieser Arbeit. Im ersten Teil der Arbeit werden die einzelnen dissipativen Prozesse klassifiziert und diskutiert. Insbesondere wird ein Modell der Dephasierung in die Methode des Surrogate Hamiltonian eingeführt. Dies ist wichtig für zukünftige Anwendungen der Methode, z.b. auf kohärente Kontrolle oder Quantencomputing. Diesbezüglich hat der Surrogate Hamiltonian einen großen Vorteil gegenüber anderen zur Verfügung stehenden Methoden dadurch, daß er auf dem Spin-Bad, d.h. auf einer vollständig quantenmechanischen Beschreibung der Umgebung, beruht. Im nächsten Schritt wird der Surrogate Hamiltonian auf ein Standardproblem für Ladungstransfer in kondensierter Phase angewandt, zwei nichtadiabatisch gekoppelte harmonische Oszillatoren, die in ein Bad eingebettet sind. Dieses Modell stellt eine große Vereinfachung von z.B. einem Molekül in Lösung dar, es dient hier jedoch als Testbeispiel für die theoretische Beschreibung eines prototypischen Ladungstransferereignisses. Alle qualitativen Merkmale eines solchen Experimentes können wiedergegeben und Defizite früherer Behandlungen identifiziert werden. Ultraschnelle Experimente beobachten Reaktionsdynamik auf der Zeitskala von Femtosekunden. Dies kann besonders gut durch den Surrogate Hamiltonian als einer Methode, die auf einer zeitabhängigen Beschreibung beruht, erfaßt werden. Die Kombination der numerischen Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung mit der Wignerfunktion, die die Visualisierung eines Quantenzustands im Phasenraum ermöglicht, gestattet es, dem Ladungstransferzyklus intuitiv Schritt für Schritt zu folgen. Der Nutzen des Surrogate Hamiltonian wird weiterhin durch die Verbindung mit der Methode der Filterdiagonalisierung erhöht. Dies gestattet es, aus mit dem Surrogate Hamiltonian nur für relative kurze Zeite konvergierte Erwartungswerten Ergebnisse in der Frequenzdomäne zu erhalten. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der theoretischen Beschreibung der laserinduzierten Desorption kleiner Moleküle von Metalloxidoberflächen. Dieses Problem stellt ein Beispiel dar, in dem alle Aspekte mit derselben methodischen Genauigkeit beschrieben werden, d.h. ab initio Potentialflächen werden mit einem mikroskopischen Modell für die Anregungs- und Relaxationsprozesse verbunden. Das Modell für die Wechselwirkung zwischen angeregtem Adsorbat-Substrat-System und Elektron-Loch-Paaren des Substrats beruht auf einer vereinfachten Darstellung der Elektron-Loch-Paare als ein Bad aus Dipolen und auf einer Dipol-Dipol-Wechselwirkung zwischen System und Bad. Alle Parameter können aus Rechnungen zur elektronischen Struktur abgeschätzt werden. Desorptionswahrscheinlichkeiten und Desorptionsgeschwindigkeiten werden unabhängig voneinander im experimentell gefundenen Bereich erhalten. Damit erlaubt der Surrogate Hamiltonian erstmalig eine vollständige Beschreibung der Photodesorptionsdynamik auf ab initio-Basis.
Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Entwicklung und Anwendung feldtheoretischer Methoden zur Untersuchung stark korrelierter Vielteilchensysteme. In diesen stark korrelierten Systemen treten aufgrund des kollektiven Verhaltens der einzelnen Freiheitsgrade neue physikalische Effekte auf. Das theoretische Verstaändnis dieser Systeme erfordert häufig computergestützte Rechenverfahren zur Lösung von interagierenden Vielteilchenmodellen frei von jedweden Approximationen. Im ersten Teil der Arbeit verwenden wir klassische Monte-Carlo-Simulationen in Kombination mit einem Renormalisierungsgruppenansatz, um die Existenz der “scratched”-XY-Universalitätsklasse eindeutig zu beweisen. Diese Universalitätsklasse beschreibt den kontinuierlichen Phasenübergang aus einer kritischen suprafluiden Phase in Systemen, welche eine zweidimensionale hydrodynamische Beschreibung erlauben, durch einen Mechanismus grundlegend verschieden von dem Berezinskii-Kosterlitz-Thouless Scenario, welches von topologischen Defekten getrieben wird. Dazu untersuchen wir den suprafluiden Phasenübergang bei endlicher Temperatur in einem modifizierten, zweidimensionalen, klassischen XY-Modell mit eindimensionalen Störstellen deren Stärken nach einem Potenzgesetz verteilt sind. Wenn der Exponent abnimmt, nimmt die Be- deutung der Störstellen zu und der Mechanismus, welcher den Phasenübergang treibt, wechselt von der Proliferation von Vortex–Anti-Vortex Paaren zu der “scratched”-XY-Kritikalität, welche durch einen nicht universellen Sprung des suprafluiden Responsekoeffizienten gekennzeichnet ist. Die Existenz der “scratched”-XY-Kritikalität bei endlicher Temperatur und ihre Beschreibung durch eine asymptotisch exakte Semi-Renormalisierungsgruppentheorie, welche zuvor für den Suprafluid-Isolator Phasenübergang in eindimensionalen Quantensystemen mit starken Störstellen entwickelt wurde, wird numerisch in einem speziell dafür entworfenen Modell bewiesen, welches minimale Korrekturen durch endliche Systemgrößen aufweist. Im zweiten Teil der Dissertation wird ein neuer analytischer sowie rechnerischer Ansatz zur Untersuchung stark korrelierter Vielteilchensysteme entwickelt. Anstatt die Lösung von Vielteilchenmodellen ausgehend von einem funktionalem Integral aufzubauen, wie z.B. in Pfadintegral-Quantum-Monte-Carlo-Simulationen und diagrammatischen Monte-Carlo-Berechnungen, schlagen wir die Verwendung funktionaler Integro-Differentialgleichungen vor, welche ausgehend von der Dyson-Schwinger-Gleichung hergeleitet werden. Diese funktionale Integro-Differentialgleichung wird ohne jedwede Approximation mit einem Homotopie-Ansatz gelöst, insbesondere wird dabei die “homotopy analysis method” eingeführt. In diesem Ansatz gibt es die Möglichkeit, die funktionalen Ableitungen exakt zu behandeln und damit leistungsfähige Reihenentwicklungen durchzuführen, welche sich grundlegend von herkömmlichen Reihenentwicklungen in der Strörungstheorie unterscheiden, d.h., die resultierende Homotopieserie überwindet die üblichen Paradigmen störungstheoretischer Ansätze in der Quantenfeldtheorie. Auf diese Weise können wir eine vollständige Lösung der Dyson-Schwinger-Gleichung für das φ4 Modell auf einem zwei dimensionalem Gitter in seinem stark korrelierten Bereich nahe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung erzielen. Um zu diesem Ergebnis ohne jedwede Vereinfachung zu gelangen, entwickeln wir die Expansion der “homotopy analysis method” in Form von Baumdiagrammen, welches das Speicherproblem von Korrelationsfunktionen höherer Ordnung, wie z.B. der Vier-Punkt-Vertexfunktion, löst. In Analogie zu diagrammatischen Monte-Carlo Algorithmen führen wir einen Monte-Carlo-Algorithmus ein, um alle möglichen Baumdiagramme aufzusummieren, sodass die Homotopieserie auch zu höheren Ordungen ausgewertet werden kann.
Das Ziel dieser Arbeit ist einen Überblick über die Entwicklung der Simulation von quanten Vielteilchenproblemen zu geben. Wir behandeln die Algorithmen die auf der Density Matrix Renormalization Methode basieren. Sie ist eine der schnellsten und präzisesten Simulationsmethoden. Allerdings war ursprünglich die Methode ausschließlich zur Simulation eindimensionaler Probleme gedacht. Diese Arbeit behandelt den klassischen Ansatz sowie die Versuche diese eindimensional Methode auf höherdimensionale Probleme umzulegen. Im speziellen wird auf die Möglichkeit der generalisierung auf Probleme mit baumartiger Geometrie eingegangen und auch auf andere Tensornetzwerk basierende Methoden eingegangen.