Die Renormierungsgruppe

Norbert Straumann

Cornelia Hille

Die funktionale Renormierungsgruppe (fRG) wird in der kondensierten Materie schon seit langem für qualitative Untersuchungen korrelierter Elektronensysteme angewandt. In dieser Arbeit wird diese Methode durch die Implementierung einer effizienten Parametrisierung der Zwei-Teilchen-Wechselwirkung und der multiloop Erweiterung, welche die übliche Hierarchietrunkierung in fRG umgeht und die Parquet Näherung erfüllt, verbessert. Diese Weiterentwicklung führt zu endlichen Suszeptibilitäten für alle untersuchten Temperaturen, sodass, im Einklang mit dem Mermin-Wagner Theorem, keine spontane Symmetriebrechung bei endlichen Temperaturen auftritt. Außerdem wird eine detaillierte Analyse der Selbstenergie und Suszeptibilitäten im 2D Hubbard Modell durchgeführt. Diese zeigt, dass zuverlässige quantitative Ergebnisse berechnet werden können. Allerdings muss für den exakten Vergleich zwischen fRG und Parquet eine neue Selbstenergie-Flussgleichung eingeführt werden, falls die Impulsabhängigkeit der effektiven Wechselwirkung durch Truncated Unity parametrisiert wurde. Um dies zu erklären, konzentriert sich diese Arbeit auf die Selbstenergie, welche Wechselwirkungseffekte auf dem Einteilchenpropagator beschreibt. Durch diagrammatische Argumente wird gezeigt, wie die herkömmliche Flussgleichung bei endlicher Anzahl von Formfaktoren in der Truncated Unity Impulsparametrisierung genäherte Diagramme erzeugt. Die exakte Schwinger-Dyson Gleichung dient als Vorbild für die neue Flussgleichung, welche dieses Problem behebt und zu einer sehr guten Übereinstimmung zwischen den direkten und nachträglich berechneten Ergebnissen des fRG Flusses als auch zwischen der fRG und der selbstkonsistenten Parquet Methode führt. Der Vergleich zwischen fRG Ergebnissen und der numerisch exakten determinant Quantum Monte Carlo Methode zeigt ferner eine sehr gute Übereinstimmung bis zu mittleren Wechselwirkungsstärken. Des Weiteren wird gezeigt, dass der Schwinger-Dyson inspirierte Fluss eine impulsabhängige Spektrallücke (Pseudogap) im halbgefüllten 2D Hubbard Modell hervorrufen kann, während diese in der herkömmlichen Flussgleichung nicht beobachtet wird. Die diagrammatische Analyse des flussabhängigen Auftretens zeigt außerdem, dass auch in fRG der Grund für diese bedeutende in Hochtemperatur-Supraleitern auftretende Eigenschaft in langreichweitigen antiferromagnetischen Fluktuationen liegt. Die hier eingeführten Fortschritte der fRG legen den Grundstein für weiterführende qualitative Analysen und quantitative Rechnungen im 2D Hubbard Model als auch in weiteren allgemeineren Systemen.

Wilhelm Brenig

Fabian Güttge

Die Numerische-Renormierungsgruppe (NRG) hat sich zu einem Standardwerkzeug zur Simulation von Quantenstortstellensystemen bei tiefen Temperaturen entwickelt. Fur solche Simulationen sind drei Schritte notwendig: das Bad wird logarithmisch diskretisiert, auf eine Wilson Kette abgebildet und diese wird iterativ diagonalisiert. Fur die NRG existieren zahlreiche Erweiterungen, von denen zwei fur diese Arbeit relevant sind: zum einen die Behandlung bosonischer Systeme und zum anderen die Untersuchung von zeitabhangingen Prozessen. Wir stellen fest, dass die bosonische NRG falsche kritische Exponenten fur den Phasenubergang des Spin-Bose-Modells (SBM) liefert und dass bei Nicht-Gleichgewichtsrechnungen Diskrepanzen zwischen den Ergebnissen eines kontinuierlichen und eines diskretisierten Bades bestehen. Durch die iterative Diagonalisierung der Wilson-Kette wird auf jeder Iterationsstufe eine Restkette vernachlassigt. Bei bosonischen Systemen fuhrt dies zu einer iterationsabhangigen Renormierung der kritischen Kopplung. Anhand des Spin-Bose-Modells im sub-ohmischen Regime zeigen wir, dass dieser Effekt zu falschen kritischen Exponenten fuhrt. Mit Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG) Rechnungen zeigen wir, dass man, unter Berucksichtigung der Restkette, die korrekten kritischen Exponenten bestimmen kann. Dies setzt eine optimierte bosonische Basis voraus, die wir wahrend der DMRG variationell bestimmen. Anhand von Nicht-Gleichgewichtsberechnungen fur das Resonant-Level-Model (RLM) zeigen wir, dass die logarithmische Baddiskretisierung zu unphysikalischen Ergebnissen der Storstellenbesetzung fuhrt. Die Ursache hierfur fuhren wir auf interne Reflektionen einer Ladungswelle in der Wilson-Kette zuruck. Um diese zu vermeiden, schlagen wir einen optimierten aus zwei aneinandergehangten Wilson-Ketten Kettenaufbau vor. Da es bei diesen Systemen keine klare Trennung der Energieskalen mehr gibt, ist die NRG nicht fur die Berechnung solcher Systeme geeignet. Daher entwickeln wir eine neue Hybrid-Methode, bei der die NRG einen effektiven Niederenergie-Hamiltonoperator erzeugt, der anschliesend mit der zeitabhangigen Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TD-DMRG) simuliert wird. Durch dieses Schema erreicht man Zeitskalen, die sonst mit der TD-DMRG unerreichbar bleiben. Die neue Methode wird am RLM getestet. Als erste Anwendung der neuen Methode wird diese auf das wechselwirkende Resonant-Level-Modell (IRLM) angewendet. Bei diesem Modell beobachten wir durch die Wechselwirkung hervorgerufene Oszillationen und neue Zeitskalen, die keine thermodynamische Entsprechung haben. Die Ergebnisse der neuen Hybrid-Methode reproduzieren analytische Vorhersagen basierend auf einer 1/U Entwicklung. Die neue Hybrid-Methode liefert nicht nur in den Grenzwerten U gegen 0 und U gegen unendlich korrekte Ergebnisse, sondern ist im vollstandigen Parameterregime anwendbar.%%%%Since its proposal in 1975 the numerical renormalization group (NRG) has developed to a widely used standard tool to simulate quantum impurity system (QISs) at low temperatures. The…

Wilhelm Brenig

Norbert Olah