Die Kapitel 2 und 4 dieses Buches befassen sich mit der statistischen bzw. algebraischen Codierungstheorie. Bei den Codes, die der letzteren angehören, hat man um Übertragungsfehler erkennen oder auch korrigieren zu können, die Bildmenge des zugrunde gelegten Codes in einer bestimmten Weise strukturiert. Es zeigte sich, daß als eine solche Struktur ein Teilraum des (arithmetischen) Vektorraums Bn über B = {0,1} 1) sehr geeignet ist. Diese Strukturierung der Bildmenge L des Linearcodes wurde im Kapitel 4 von Anfang an vorausgesetzt; natürlich kann man auch — und zwar dann in direkter Fortsetzung der Betrachtungen von Abschnitt 1.2 — zunächst auf eine Strukturierung der Bildmenge verzichten, d.h. eine allgemeinere Theorie verfolgen.
Die Kapitel 2 und 4 dieses Buches befassen sich mit der statistischen bzw. algebraischen Codierungstheorie. Bei den Codes, die der letzteren angehören, hat man um Übertragungsfehler erkennen oder auch korrigieren zu können, die Bildmenge des zugrunde gelegten Codes in einer bestimmten Weise strukturiert. Es zeigte sich, daß als eine solche Struktur ein Teilraum des (arithmetischen) Vektorraums Bn über B = {0,1} 1) sehr geeignet ist. Diese Strukturierung der Bildmenge L des Linearcodes wurde im Kapitel 4 von Anfang an vorausgesetzt; natürlich kann man auch — und zwar dann in direkter Fortsetzung der Betrachtungen von Abschnitt 1.2 — zunächst auf eine Strukturierung der Bildmenge verzichten, d.h. eine allgemeinere Theorie verfolgen.
In den vorausgehenden Kapiteln 2 – 5 habe ich demonstriert, auf welch vielfältige Art und Weise die RT verstanden (und allzu häufig auch mißverstanden) wurde. Dabei kam es mir darauf an zu zeigen, daß die jeweiligen Deutungen von gruppenübergreifenden Zeitströmungen (Kap. 2 und 3) bzw. von philosophischen Denkvoraussetzungen (Kap. 4 und 5) bestimmt waren. Danach hat sich vielleicht beim Leser der Eindruck eingestellt, daß eben jede Gruppierung eine zu ihrem Philosophem passende Deutung der RT vorgelegt hat, die stimmig ist, solange man sie in dem Denkrahmen ihrer eigenen philosophischen Prämissen betrachtet (Kap. 4), aber angreifbar, ja haltlos wird, sobald man diesen verläßt und sich auf den Standpunkt eines anderen Philosophems stellt (Kap. 5, insb. 5.3.). Man könnte verleitet sein, aus diesem Befund eine Art ‘Interpretations-Relativismus’ abzuleiten, demzufolge jede philosophische Interpretation einer physikalischen Theorie nur ihren eigenen Standards verpflichtet ist und eine Bewertung dieser Deutung nur anhand dieser eigenen jeweils ausdrücklich zugelassenen Maßstäbe zulässig ist. Doch diese Position wäre völlig verfehlt angesichts des im Laufe von Kapitel 4 häufigen Befundes, daß einige Interpretationen völlig am Gehalt der physikalischen Theorie vorbeiliefen und offenbar grundlegenden Mißverständnissen ausgesetzt waren. Hingegen muß auch der Fehler vermieden werden, bei der Bewertung einer Deutung der Theorie nur die Maßstäbe einer anderen Philosophengruppe unterzulegen, da dies keine der beteiligten Parteien zufriedenstellen würde.
Zusammenfassung Über die Struktur von verschränkten ZuständenIn der vorliegenden Arbeit werden mehrfach zusammengesetzte quantenmechanische Systeme auf ihre Separabilität hin untersucht.Nach einer kurzen Einleitung wird auf die "beste separable Approximation" (im weiterem Verlauf BSA [1]) eingegangen.Bei der BSA handelt es sich um eine optimale Zerlegung von quantenmechanischen Zuständen in sogenannte separable und verschränkte Anteile.Die Existenz solch einer BSA-Zerlegung wird dabei durch das BSA-Theorem [1] bewiesen.Auch die Eindeutigkeit solch einer BSA-Zerlegung wird gezeigt.Ebenfalls wird die analytische Beschreibung der Menge aller separablen Dichtematrizen präsentiert, welche die Eigenschaft besitzen, daß ihre Differenz zu einem gegebenen quantenmechanischen Zustand positiv definit ist.Aufbauend auf diese Untersuchungen wird die BSA-Zerlegung von C 2 C 2 -Zuständen betrachtet.Dabei wird eine Ungleichung geliefert, die die Aussage darüber macht, wann die BSA-Zerlegung unter gegebenen Voraussetzungen keinen maximal verschränkten Zustand als Rest enthält.Als natürliche Fortsetzungen der bisherigen BSA-Untersuchungen ergab sich eine Verallgemeinerung dieser Theorie auf PPT-Zustände, d.h.Zustände, welche nach einer sogenannten partiellen Transposition auch weiterhin Zustände bleiben.Diese verallgemeinerte Theorie wurde PPT-BSA-Theorie genannt und lieferte die Möglichkeit der Konstruktion von Witness-Operatoren bzw.Bellschen Ungleichungen für jeden verschränkten Zustand.Ebenfalls ergab sich aus den Untersuchungen ein neues Verschränktheitsmaß.Die mathematischen Methoden, die bis zur PPT-BSA-Theorie entwickelt wurden, erwiesen sich besonders bei der Untersuchung der Separabilität von quantenmechanischen C 2 C N -und C 2 C 2 C N -Zuständen als erforderlich.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefinierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärfe-relation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts- und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und fuhrt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefmierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärferelation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts-und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und führt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
Der Begriff Quantenlogik geht auf Von Neumann und Birkhoff zurück, welche darunter den Verband der abgeschlossenen Unterräume eines separablen Hilbertraumes verstanden haben. In Verallgemeinerung davon werden verschiedene Klassen von Halbordnungen als Quantenlogiken bezeichnet.Ist eine Quantenlogik nicht von vornherein bekannt, so kann man versuchen, mit Hilfe von Messungen, welche zu sog. numerischen Ereignissen führen, diese zu charakterisieren. Insbesondere ist von Interesse, ob man es dann mit einem klassischen oder quantenmechanischen Phänomen zu tun hat.Sei S eine Menge von Zuständen eines physikalischen Systems und p(s) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, wenn sich das System im Zustand sausS befindet. Dann definiert p(s) eine Funktion von S nach [0, 1], welche als numerisches Ereignis, genauer, als S-Wahrscheinlichkeit, bezeichnet wird. Ordnet man eine Menge P von S-Wahrscheinlichkeiten bezüglich der Ordnung von reellen Funktionen, schließt die konstanten Funktionen 0 und 1 mit ein und verlangt, dass mit jedem pausP auch 1-p zu P gehört, so erhält man eine halbgeordnete Menge, welche als Quantenlogik interpretiert werden kann. Nach einer Einführung in benötigte physikalische Grundlagen werden verschiedene Klassen von solchen Quantenlogiken hinsichtlich ihrer Struktur untersucht, wobei insbesondere der Frage nachgegangen wird, wann diese Boolesche Algebren bilden, was charakteristisch für das Vorliegen eines klassischen physikalischen Systems ist. Ferner werden Zusammenhänge zwischen verschiedenen Klassen von numerischen Ereignissen studiert, algebraische Repräsentationen angegeben und auf verschiedene Weisen die für die Erkennung eines klassischen Systems so wesentliche Eigenschaft charakterisiert, dass zwei S-Wahrscheinlichkeiten miteinander kommutieren. Darüber hinaus werden Familien von aus Korrelationswahrscheinlichkeiten zusammengesetzten Ungleichungen behandelt, welche die aus der Physik bekannten Bellschen-Ungleichungen verallgemeinern.
Alle bisher durchgeführten quantenmechanischen Experimente stimmen mit der Annahme überein, dass die Gesetze der Quantenmechanik auf jedes denkbare System anwendbar sind. Arbeitshypothese der vorliegenden Arbeit ist die Möglichkeit, diese Gesetze auf den Zeitbegriff auszudehnen, und damit auch auf die Art und Weise, in der zwei oder mehr Ereignisse sich gegenseitig kausal beeinflussen können. Dies hätte weitreichende Konsequenzen, da unser Verständnis der Welt auf der Erforschung kausaler Beziehungen zwischen physikalischen Phänomenen beruht. Ziel dieser Arbeit war es daher, die Folgen der Anwendung der Quantenmechanik auf die kausalen Beziehungen zwischen Ereignissen und auf den thermodynamischen Zeitpfeil zu untersuchen. Der erste Teil dieser Arbeit befasst sich mit drei Studien, die unter den Begriff der ``unbestimmten Kausalität'' fallen, also der Vorstellung, dass die kausale Struktur zwischen Ereignissen in quantenmechanische Unbestimmtheit gelangen kann. (Es wird erwartet, dass ein solches Szenario in Systemen auftritt, für die sowohl die Quantenmechanik als auch die Allgemeine Relativitätstheorie relevant sind und in denen die Metrik und folglich die kausale Struktur ``fluktuieren'' kann). In quantenoptischen Experimenten können solche unbestimmten Kausalstrukturen durch Überlagerung von Trajektorien realisiert werden, entlang derer zwei Ereignisse in alternativen Ordnungen auftreten. In diesem Sinne bildet die erste Arbeit in der vorliegenden Dissertation den ersten experimentellen Nachweis der unbestimmten Kausalität eines Prozesses durch die Messung eines `kausalen Zeugen', d.h. eines mathematischen Objekts welches ein bestimmtes Ergebnis erzeugen soll, wenn ein Prozess nicht mit einer definierten kausalen Ordnung übereinstimmt. Anknüpfend an diese erste Studie bezieht sich die zweite Arbeit auf den experimentellen Nachweis einer unbestimmten Kausalität außerhalb des Quantenformalismus. Dies wird erreicht, indem die Unvereinbarkeit der experimentellen Ergebnisse mit einer Klasse verallgemeinerter probabilistischer Theorien gezeigt wird, in denen die Lokalität und definierte zeitliche Ordnungen vorausgesetzt werden. Die als Drittes vorgestellte Arbeit erweitert nunmehr mit der Untersuchung einer Vielzahl von Quantenüberlagerungen von Trajektorien den Beobachtungsbereich über das Konzept der unbestimmten Kausalität hinaus. Es zeigt sich, dass Trajektorien für die Quantensteuerung der Ordnung verschiedener verrauschter Kommunikationskanäle anwendbar sind. Dies bildet jedoch nicht die einzige Konfiguration, in der diese letzteren angeordnet werden können. So wurden in dieser dritten Arbeit verschiedene Möglichkeiten für die Überlagerung zweier Trajektorien durch ein Paar verrauschter Kanäle experimentell verglichen. Es wurde gezeigt, dass alle diese Möglichkeiten die Übertragung von Informationen durch die Kanäle selbst dann ermöglichen, wenn standardmäßige Quantenkommunikationsprotokolle (bei denen sich ein System entlang einer wohldefinierten Trajektorie bewegt) versagen. Der zweite Teil dieser Dissertation umfasst zwei Arbeiten, die sich auf das Gebiet der Quanten- Thermodynamik beziehen. Das Bindeglied zwischen diesem und dem vorherigen Teil der Arbeit findet sich im Konzept des thermodynamischen Zeitpfeils und seiner Richtungsabhängigkeit. Tatsächlich erlaubt es der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, eine positive (negative) Entropieänderung in einem thermodynamischen Prozess mit der zeitlichen ``Vorwärts-'' (``Zeitumkehrung'') Richtung zu assoziieren. So wird in der vierten Arbeit dieser Dissertation vorgeschlagen, dass die Quantenmechanik sogar Quantenüberlagerungen zwischen thermodynamischen Prozessen erlaubt, welche zwei entgegengesetzte Entropievariationen ergeben. Damit wird die Existenz von Prozessen mit einem unbestimmten Zeitpfeil ermöglicht. Im Detail konzentriert sich diese Arbeit auf die Frage, ob solche Überlagerungen beobachtbare Konsequenzen haben und wie eine wohldefinierte Zeitachse entsteht, wenn geeignete Messungen der Entropieproduktion durchgeführt werden. In dieser Hinsicht zeigt sich dass, wenn für die Entropieproduktion große Werte (im Absolutbetrag) gemessen werden, dies zu einer effektiven Projektion der Quantenüberlagerung der thermodynamischen Zeitpfeile auf eine wohldefinierte zeitliche Richtung führt. Geht es hingegen um kleinen Entropieproduktionswerte, so spielen Interferenzeffekte eine wichtige Rolle für die Definition der Art des thermodynamischen Prozesses. Sie können beispielsweise zur Beobachtung von Arbeitswahrscheinlichkeitsverteilungen eines Prozesses führen, der stärker oder leichter umkehrbar ist als die einzelnen Prozesse, welche die Überlagerung bilden, oder auch jede klassische Mischung daraus. Die letzte Studie dieser Dissertation schließlich knüpft an die in der vorhergehenden Arbeit verwendeten Methoden an. Bei all den genannten Arbeiten geht es um die Anwendung sogenannter `thermodynamischer Fluktuationssätze'. Mit Hilfe thermodynamischer Fluktuationen wird es möglich, die Differenz der freien Energie zwischen zwei Gleichgewichtszuständen mit der Arbeit an einem System in Beziehung zu setzen, welches aus einem Gleichgewicht getrieben wird. Im Kontext der Quantenmechanik bildet die Definition von Arbeit ein nicht-triviales Konzept. Daher wurde in dieser letzten Arbeit ein einfaches interferometrisches Schema aufgestellt, welches unter Ausnutzung der Fluktuationstheoreme eine direkte Schätzung der Arbeitsverteilung und der durchschnittlichen Arbeit, die während eines isothermischen thermodynamischen Prozesses dissipiert wird, erlaubt. Die Untersuchung unbestimmter Kausalstrukturen und des Zeitpfeils führt zur Erschließung neuer Aufgabenstellungen in der Quanteninformation und der Quantenthermodynamik. Sie ist auch als methodisches Werkzeug für die Entwicklung zukünftiger Quantentheorien der Schwerkraft geeignet. Die theoretische Formulierung und experimentelle Realisierung dahingehender Ansätze, wie sie in der vorliegenden Arbeit unternommen werden, kann zur Grundlage für ein tieferes Verständnis der Rolle der Zeit in den grundlegenden physikalischen Theorien werden. In meinen Augen ist sie von zentraler Bedeutung für künftige konzeptionelle Wendepunkte in der Wissenschaft.