Das Modell des harmonischen Oszillators begegnet uns in vielen Bereichen der Physik, in denen es um schwingungsfähige Systeme geht. Im Rahmen der Quantentheorie seien vor allem Molekül- und Gitterschwingungen genannt. Unter Molekülschwingungen verstehen wir die Oszillationen der die Moleküle bildenden Atome. Gitterschwingungen in kristallinen Festkörpern sind gequantelte, kollektive Schwingungen der Atome. Die Schwingungsquanten werden in der Teilchensprache als Phononen bezeichnet. In der Quantenfeldtheorie wird gezeigt, dass auch das elektromagnetische Feld als Superposition ebener Wellen quantisiert ist. Die zugehörigen Quanten sind die Photonen.
Das Modell des harmonischen Oszillators begegnet uns in vielen Bereichen der Physik, in denen es um schwingungsfähige Systeme geht. Im Rahmen der Quantentheorie seien vor allem Molekül- und Gitterschwingungen genannt. Unter Molekülschwingungen verstehen wir die Oszillationen der die Moleküle bildenden Atome. Gitterschwingungen in kristallinen Festkörpern sind gequantelte, kollektive Schwingungen der Atome. Die Schwingungsquanten werden in der Teilchensprache als Phononen bezeichnet. In der Quantenfeldtheorie wird gezeigt, dass auch das elektromagnetische Feld als Superposition ebener Wellen quantisiert ist. Die zugehörigen Quanten sind die Photonen.
Der Artikel beginnt mit der mathematischen Darstellung von Schwingungen und zeigt, wie Kreisbewegungen als Basiszeit dienen können. Der harmonische Oszillator wird klassisch und quantenmechanisch hergeleitet, einschließlich Nullpunktsenergie und quantisierter Amplituden. Mechanische Wellen werden als gekoppelte Oszillatoren modelliert, und die Wellengleichung wird aus Newtons zweitem Axiom abgeleitet. Die Maxwell‑Gleichungen werden zur elektromagnetischen Wellengleichung reduziert. Die relativistische Feldgleichung wird in homogener und inhomogener Form dargestellt, wobei die inhomogene Gleichung die Energie‑Impuls‑Relation und die Masse eines Quants reproduziert. Der Text bietet eine umfassende, intuitive und mathematisch saubere Darstellung der Übergänge von klassischer Physik zur Quantenfeldtheorie.
Im Teil I haben wir im Rahmen der Quantentheorie Operationen kennengelernt, die der klassischen Physik fremd sind. Wir haben uns zwar von einer klassischen Wellentheorie leiten lassen, aber bei der Behandlung des harmonischen Oszillators zeigte sich, daß dies nicht das Wesentliche ist. Im Teil II soll daher eine Formulierung eingeführt werden, die den Grundstrukturen der Quantentheorie speziell angepaßt ist. Diese Formulierung, die auf Dirac zurückgeht, ist auch in ihrer Notation so allgemein gewählt, daß sie auf Teilchen und Felder sowie auf nichtklassische Freiheitsgrade (Spin) anwendbar ist.
ZusammenfassungIn den Teilen I und II haben wir die Quantentheorie von Systemen mit endlich vielen Freiheitsgraden kennengelernt. Dabei kamen auch elektromagnetische Felder, also Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden, vor. Diese wurden jedoch als gegebene klassische Felder behandelt, deren Freiheitsgrade überhaupt nicht in die Theorie eingebracht wurden. Deshalb konnte auch die spontane Emission von Licht bei einem quantenmechanischen Übergang eines Atoms nicht beschrieben werden; hierbei werden ja Freiheitsgrade des elektromagnetischen Feldes angeregt. Schon bei klassischer Behandlung existieren Felder auch ohne Ankopplung an andere Systeme, sie sind selbst Träger von Energie, Impuls und Drehimpuls. Wenn nun ein mechanisches System an die Felder gekoppelt und den Regeln der Quantentheorie unterworfen wird, so muß z. B. bei Änderung des Drehimpulses des Feldes auch das Feld quantisiert werden, um nicht in Widerspruch zum gequantelten Drehimpuls des mechanischen Systems zu geraten. Eine Quantentheorie ist daher erst dann eine unter Umständen brauchbare Theorie, wenn sie die Felder in die quantentheoretische Beschreibung konsistent einbezieht.
Die phänomenologischen Eigenschaften der Stoffe werden seit Jahrtausenden beobachtet und erforscht. Ihr mikroskopischer Aufbau dagegen wird erst seit vergleichsweise kurzer Zeit systematisch untersucht. Erst auf der Grundlage der Quantentheorie wurde es möglich, die Bindungseigenschaften und die spektroskopischen Eigenschaften der Atome, Moleküle und Festkörper zu verstehen. In den einführenden Abschnitten werden Aspekte der historischen Entwicklung angegeben, die zur Formulierung der (zeitunabhängigen) Schrödinger-Gleichung geführt haben. Dabei wird auf prinzipielle Unterschiede zwischen klassischer Physik und Quantenphysik hingewiesen. Die Bedeutung von Eigenwertgleichungen wird hervorgehoben. Wir behandeln einfache Systeme, für die die Schrödinger-Gleichung geschlossen lösbar ist: das Elektron im Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden, den harmonischen Oszillator und den starren Rotator. Die Lösung der Drehimpulseigenwertprobleme ist Voraussetzung für die nachfolgende Behandlung der Atome.
Die Quantentheorie und die Theorie der quantenmechanischen Messung ermoglichen es, Aussagen uber quantenphysikalische Systeme (Atome, Kerne, Elementarteilchen) zu machen, die an diesen Systemen experimentell nachgepruft werden konnen.Beispiele fur solche Aussagen sind z.B. ,,das Elektron hat den Impuls p" oder ,,der Atomkern hat einen Drehimpuls J".Wie fur die Aussagen aller Wissensgebiete wird man zunachst auch fur diese Aussagen erwarten, daR sie den Regeln der Logik gehorchen.Tatsachlich ist das aber nicht der Fall.Es hat sich namlich gezeigt, daB von den Regeln der Aussagenlogik, die zuerst von den Stoikern aufgestellt wurden, spater im Mittelalter und in der modernen mathematischen Logik wieder aufgegriffen wurden, nur noch ein Teil fur Aussagen uber Quantenphanomene richtig bleibtl).2)3 9, 4).Einige dieser Regeln verlieren ihre Gultigkeit.Derjenige Teil der logischen Regeln, der auch noch in der Quantenphysik gilt, wird gewohnlich als Quantenlogik bezeichnet.Es handelt sich also bei der Quantenlogik nicht um eine ,,neue" Logik, die im Bereich des Atomaren gilt, sondern um eine restriktive Logik, die weniger enthalt als die uns bekannte klassische Aussagenlogik.Der heutige Physiker ist im allgemeinen leicht geneigt zu glauben, daR irgendeine Disziplin, die in der Philosophie vergangener Jahrhunderte fur wahr gehalten wurde, durch die moderne Physik widerlegt sei.Das kommt einerseits daher, daR viele Physiker empiristisch denken, d. h. in diesem Falle, daB sie geneigt sind zu glauben, man konne alle auf die Erfahrung bezogenen Behauptungen auch durch Erfahrungen -z.B. der Atomphysikwiderlegen. Anderseits sprechen fur eine solche Einstellung die schlechten Erfahrungen, die die Physik mit Begriffen und Satzen gemacht hat, die in der philosophischen Tradition uberliefert wurden.Die Verknupfung von Raum und Zeit in der Relativitatstheorie oder das Versagen des Kausalgesetzes in der Quantentheorie gehoren zu diesem Problemkreis.Man wird deshalb versucht sein, auch eine Restriktion der Aussagenlogik in der modernen Atomphysik einfach als eine neue Erfahrung hinzunehmen.Dies ist jedoch nicht ohne weiteres moglich.Die groRte Schwierigkeit, die sich einer solchen Einstellung entgegenstellt, ist die Tatsache, daB die klassische Aussagenlogik wahr ist.Und zwar ist die Aussagenlogik keineswegs in einem empirischen Sinne wahr, sondern sie ist wahr durch das unmittelbare Einleuchten (die Evidenz) ihrer Satze, deren Gultigkeit somit auf keinen bestimmten Gegenstandsbereich eingeschrankt ist.Wie das im Einzelnen 2x1 verstehen ist, sol1 im ersten Teil auseinandergesetzt werden.Nehmen wir zunachst einmal die Evidenz der klassischen Logik als gegeben an, so entsteht die Frage, wie es moglich sein kann, daR fur die Aussagen der Quantenphysik nur eine restriktive Logik, die Quantenlogik, gilt.
Die phänomenologischen Eigenschaften der Stoffe werden seit Jahrtausenden beobachtet und erforscht. Ihr mikroskopischer Aufbau dagegen wird erst seit vergleichsweise kurzer Zeit systematisch untersucht. Erst auf der Grundlage der Quantentheorie wurde es möglich, die Bindungseigenschaften und die spektroskopischen Eigenschaften der Atome, Moleküle und Festkörper zu verstehen. In den einführenden Abschnitten werden Aspekte der historischen Entwicklung angegeben, die zur Formulierung der (zeitunabhängigen) SchrödingerGleichung geführt haben. Dabei wird auf prinzipielle Unterschiede zwischen klassischer Physik und Quantenphysik hingewiesen. Die Bedeutung von Eigenwertgleichungen wird hervorgehoben. Wir behandeln einfache Systeme, für die die Schrödinger-Gleichung geschlossen lösbar ist: das Elektron im Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden, den harmonischen Oszillator und den starren Rotator. Die Lösung der Drehimpulseigenwertprobleme ist Voraussetzung für die nachfolgende Behandlung der Atome.