Στην παρούσα εργασία εισάγουμε μια νέα μέθοδο, η οποία είναι ο συνδυασμός της μεθόδου Διαγραμματική Monte Carlo (DMC) με μεθόδους Επιπέδου Ιστογράμματος, τη μέθοδο Επιπέδου Ιστογράμματος Διαγραμματική Monte Carlo" (FHDMC). Εφαρμόζοντας την FHDMC και άλλες εκδοχές της DMC σε συγκεκριμένο επιλύσιμο πρόβλημα, συγκεκριμένα το πρόβλημα του πολαρονίου Froehlich και για συγκεκριμένης μορφής διαγραμμάτων Feynman, υπολογίζουμε τη συνάρτηση Green φανταστικού χρόνου. Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων προκύπτει η υπεροχή της FHDMC ως προς την ποιότητα των αποτελεσμάτων και τον ευθύ τρόπο εφαρμογής της. Εφαρμόζουμε την FHDMC και άλλες εκδοχές της DMC για τον υπολογισμό της συνάρτησης Green φανταστικού χρόνου G(τ) σε επιλύσιμο πρόβλημα, που είναι το μοντέλο t-J στη γραμμική προσέγγιση των κυμάτων spin με περιορισμό των υπολογισμών στο χώρο των διαγραμμάτων Feynman που προσδιορίζονται με την μη τεμνόμενων διαγραμμάτων προσέγγιση (NCA, Non Crossing Approximation). Αντιστρέφουμε τα παραπάνω αποτελέσματα της G(τ) με την μέθοδο αναλυτικής συνέχισης ``Στοχαστική Αναλυτική Διαδικασία" (SAI) και προσδιορίζουμε τη φασματική συνάρτηση A(ω) για κάθε περίπτωση. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα της αντιστροφής με την ακριβή λύση για τη φασματική συνάρτηση, προκύπτει η σαφής υπεροχή της FHDMC έναντι των άλλων μεθόδων. Τέλος εφαρμόζουμε την FHDMC για υπολογισμούς της φασματικής συνάρτησης A(ω), της σχέσης διασποράς και του φασματικού βάρους του οιονεί σωματιδίου, χωρίς προσέγγιση για την κίνηση μιας οπής για το μοντέλο t-J και της παραλλαγής του t-J1-J2 στη γραμμική προσέγγιση των κυμάτων spin, όπου εμφανίζεται και το πρόβλημα του φερμιονικού πρόσημου. Διαπιστώνεται η υπεροχή της FHDMC για την αντιμετώπιση του προβλήματος του φερμιονικού πρόσημου, και αξιολογείται σε κάθε περίπτωση η ακρίβεια της προσέγγισης NCA.
Στην παρούσα εργασία εισάγουμε μια νέα μέθοδο, η οποία είναι ο συνδυασμός της μεθόδου Διαγραμματική Monte Carlo (DMC) με μεθόδους Επιπέδου Ιστογράμματος, τη μέθοδο Επιπέδου Ιστογράμματος Διαγραμματική Monte Carlo" (FHDMC). Εφαρμόζοντας την FHDMC και άλλες εκδοχές της DMC σε συγκεκριμένο επιλύσιμο πρόβλημα, συγκεκριμένα το πρόβλημα του πολαρονίου Froehlich και για συγκεκριμένης μορφής διαγραμμάτων Feynman, υπολογίζουμε τη συνάρτηση Green φανταστικού χρόνου. Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων προκύπτει η υπεροχή της FHDMC ως προς την ποιότητα των αποτελεσμάτων και τον ευθύ τρόπο εφαρμογής της. Εφαρμόζουμε την FHDMC και άλλες εκδοχές της DMC για τον υπολογισμό της συνάρτησης Green φανταστικού χρόνου G(τ) σε επιλύσιμο πρόβλημα, που είναι το μοντέλο t-J στη γραμμική προσέγγιση των κυμάτων spin με περιορισμό των υπολογισμών στο χώρο των διαγραμμάτων Feynman που προσδιορίζονται με την μη τεμνόμενων διαγραμμάτων προσέγγιση (NCA, Non Crossing Approximation). Αντιστρέφουμε τα παραπάνω αποτελέσματα της G(τ) με την μέθοδο αναλυτικής συνέχισης ``Στοχαστική Αναλυτική Διαδικασία" (SAI) και προσδιορίζουμε τη φασματική συνάρτηση A(ω) για κάθε περίπτωση. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα της αντιστροφής με την ακριβή λύση για τη φασματική συνάρτηση, προκύπτει η σαφής υπεροχή της FHDMC έναντι των άλλων μεθόδων. Τέλος εφαρμόζουμε την FHDMC για υπολογισμούς της φασματικής συνάρτησης A(ω), της σχέσης διασποράς και του φασματικού βάρους του οιονεί σωματιδίου, χωρίς προσέγγιση για την κίνηση μιας οπής για το μοντέλο t-J και της παραλλαγής του t-J1-J2 στη γραμμική προσέγγιση των κυμάτων spin, όπου εμφανίζεται και το πρόβλημα του φερμιονικού πρόσημου. Διαπιστώνεται η υπεροχή της FHDMC για την αντιμετώπιση του προβλήματος του φερμιονικού πρόσημου, και αξιολογείται σε κάθε περίπτωση η ακρίβεια της προσέγγισης NCA.
Στην συγκεκριμένη εργασία ασχολούμαστε με την μελέτη θερμικά σύμπλεκτων (entangled) καταστάσεων πολλών κβαντικών bit (qubit) σε διάφορα μοντέλα Heisenberg με την μέθοδο Monte Carlo (MC). \nΑρχικά χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Suzuki-Trotter μετατρέπουμε την κβαντική μονοδιάστατη αλυσίδα των spin (μοντέλα Ising, Heisenberg με και χωρίς μαγνητικό πεδίο στις διευθύνσεις x,y,z) σε κλασικό δισδιάστατο πλέγμα. Εξετάζουμε την συμπεριφορά του συγκεκριμένου μετασχηματισμού για το αντισιδηρομαγνητικό Heisenberg ΧΧΧ μοντέλο, για το σιδηρομαγνητικό Heisenberg μοντέλο (ΧΧΧ και ΧΥΖ) χωρίς και με μαγνητικό πεδίο στις διευθύνσεις x,y,z για διάφορα μήκη της αλυσίδας, διαφορετικές διαστάσεις Trotter και διαφορετικό αριθμό Monte Carlo βημάτων (MCΒήματα). Μελετάμε την συμπεριφορά της θερμοχωρητικότητας, της ενέργειας, της μαγνητικής επιδεκτικότητας και της μαγνήτισης στις διευθύνσεις x,y,z. Επιβεβαιώνουμε την σωστή συμπεριφορά τους με βάση τα αναλυτικά αποτελέσματα. \nΤέλος γνωρίζοντας, ότι η κλασική συσχέτιση είναι το κάτω όριο της ποσότητας Localizable Entanglement, και ότι η ποσότητα Entanglement of Assistance είναι το πάνω όριο, εκτιμούμε για τα ίδια μοντέλα τη συμπεριφορά των ορίων και προσπαθούμε να εκτιμήσουμε το μήκος σύμπλεξης (Entanglement Length) για διάφορες θερμοκρασίες.
Στην εργασία αυτή, μελετάμε, τόσο με αναλυτικό όσο και με υπολογιστικό τρόπο, γραμμικά και μη γραμμικά οπτικά φαινόμενα σε συστήματα ημιαγώγιμων κβαντικών πηγαδιών GaAs/AlGaAs δύο ενεργειακών υποζωνών, όπου επάγονται διαϋποζωνικές μεταβάσεις, υπό την επίδραση ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Στο πρώτο κεφάλαιο, γίνεται μια θεωρητική περιγραφή των ημιαγώγιμων ετεροεπαφών. Ακολουθούν βασικά στοιχεία της στατιστικής και κβαντικής μηχανικής. Στο δεύτερο κεφάλαιο, εξάγονται οι γενικευμένες εξισώσεις Bloch για τις διαϋποζωνικές μεταβάσεις σε ημιαγώγιμα κβαντικά πηγάδια, στις οποίες ενυπάρχουν όροι που υπεισάγουν τις μη αμελητέες, λόγω εμπλουτισμού, αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρονίων. Οι εξισώσεις αυτές αποτελούν τη βάση της μελέτης που ακολουθεί. Στα δύο επόμενα κεφάλαια, μελετούμε την αλληλεπίδραση μιας δομής διπλών συζευγμένων ημιαγώγιμων κβαντικών πηγαδιών με ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μεταβλητής γωνιακής συχνότητας, καταλήγουμε σε αναλυτικές εκφράσεις για τη οπτική επιδεκτικότητα πρώτης, τρίτης και πέμπτης τάξεως και αναλύουμε τα φάσματα διαφόρων οπτικών φαινομένων, ως προς τη γωνιακή συχνότητα του εξωτερικού πεδίου, για διάφορες τιμές της επιφανειακής ηλεκτρονιακής πυκνότητας της κβαντικής δομής. Επιπλέον, προσδιορίζουμε τις περιοχές όπου λαμβάνουν τιμή οι διάφορες παράμετροι, ούτος ώστε στο σύστημά μας να αναδυθεί η οπτική διστάθεια. Στα τρία τελευταία κεφάλαια, θεωρούμε ότι η ημιαγώγιμη κβαντική δομή αλληλεπιδρά ταυτόχρονα με ένα ισχυρό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (πεδίο άντλησης) καθορισμένης γωνιακής συχνότητας και ένα ασθενές (πεδίο ανίχνευσης) μεταβλητής συχνότητας και μελετούμε τα φάσματα γραμμικών και μη γραμμικών φαινομένων του πεδίου ανίχνευσης (μίξη τεσσάρων κυμάτων, απορρόφηση, διασπορά, μη γραμμικό οπτικό φαινόμενο Kerr), σε στάσιμη κατάσταση, καθώς και τη χρονική εξέλιξη αυτών. Περιγράφουμε τα φαινόμενα τόσο με αναλυτικές εκφράσεις που εξάγουμε, όσο και με την αριθμητική επίλυση των μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων του πίνακα πυκνότητας που διέπουν τη δυναμική. Στη μελέτη των φαινομένων αυτών, εξετάζεται η επίδραση της επιφανειακής ηλεκτρονιακής πυκνότητας της κβαντικής δομής στις οπτικές ιδιότητες των κβαντικών πηγαδιών.
Η παρούσα διπλωματική εργασία αφορά την ανάπτυξη βιβλιοθήκης συναρτήσεων για κβαντικό υπολογισμό και τη δημιουργία γραφικού περιβάλλοντος το οποίο χρησιμοποιεί τη συγκεκριμένη βιβλιοθήκη. Αρχικά μελετήθηκαν: πρώτον, οι βασικές έννοιες που διέπουν τους κβαντικούς υπολογιστές και δεύτερον, η χρήση και οι δυνατότητες της γλώσσας python. Εν συνέχεια, ύστερα από εμβάθυνση στα ανωτέρω πεδία πραγματοποιήθηκε η συγγραφή της κβαντικής βιβλιοθήκης καθώς και η δημιουργία του γραφικού περιβάλλοντος που χρησιμοποιεί τη κβαντική αυτή βιβλιοθήκη. Επίσης δημιουργήθηκε και μία γραφική διεπαφή για την παρουσίαση των γραφικών παραστάσεων που παρουσιάζουν τα αποτελέσματα του κβαντικού υπολογισμού. Η ανάπτυξη του προγράμματος πραγματοποιήθηκε σε γλώσσα Python.
Στην παρούσα διατριβή μελετάται αριθμητικά η κρίσιμη συμπεριφορά πολύπλοκων κλασικών συστημάτων spin τύπου Ising με αταξία. Αναπτύσσεται μια αριθμητική μεθοδολογία η οποία συνδυάζει σύγχρονες μεθόδους εντροπικής δειγματοληψίας (αλγόριθμος Wang-Landau) με την τεχνική του ελάχιστου κρίσιμου ενεργειακού υπόχωρου και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα εφαρμογής της μεθόδου σε μια σειρά συστημάτων. Αρχικά διερευνάται η κρίσιμη συμπεριφορά του τρισδιάστατου μοντέλου Ising τυχαίου πεδίου δίτιμης κατανομής. Μέσω μιας συστηματικής μελέτης σε χαμηλές θερμοκρασίες προσδιορίζεται με ακρίβεια το διάγραμμα φάσης του μοντέλου, η κρίσιμη τιμή του μέτρου τυχαιότητας και ο κρίσιμος εκθέτης του μήκους συσχέτισης, ενώ ταυτόχρονα δίδεται μια οριστική απάντηση στο ανοικτό ζήτημα της τάξεως της αλλαγής φάσης για υψηλές τιμές του μέτρου τυχαιότητας. Μελετώντας την κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος του φράγματος της ελεύθερης ενέργειας και της λανθάνουσας θερμότητας, δείχνεται ότι τα χαρακτηριστικά της αλλαγής φάσης πρώτης τάξεως που εμφανίζει το μοντέλο, είναι φαινόμενα που εξαφανίζονται στο θερμοδυναμικό όριο, σε αντίθεση με την πρόβλεψη της θεωρίας μέσου πεδίου για την ύπαρξη τρικρίσιμου σημείου και αλλαγή φάσης πρώτης τάξεως. Επίσης, για το ίδιο μοντέλο, μελετάται η κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος της ειδικής θερμότητας και αναδεικνύεται η ιδιότητα της έλλειψης αυτοαθροιστικότητας καθώς και η πιθανή απουσία ύπαρξης κλάσης οικουμενικότητας του μοντέλου. Επιβεβαιώνονται οι θεωρητικές προβλέψεις για ισχυρές δειγματικές διακυμάνσεις της μαγνητικής επιδεκτικότητας και παρουσιάζονται ισχυρά στοιχεία υπερ του σεναρίου κλιμάκωσης δύο εκθετών. Τέλος, στο τελευταίο μέρος της διατριβής μελετάται η επίδραση τυχαιότητας στο μέτρο της ενέργειας ανταλλαγής στο απλό μοντέλο Ising και στο υπεραντισιδηρομαγνητικό μοντέλο Ising με ανταγωνιστικές αλληλεπιδράσεις πρώτων και δευτέρων γειτόνων σε τετραγωνικό και τριγωνικό πλέγμα. Τα αριθμητικά δεδομένα και η λεπτομερής ανάλυση που παρουσιάζεται υποδεικνύουν ότι το μεν μοντέλο Ising τυχαίου δεσμού περιγράφεται αρκετά ικανοποιητικά από το σενάριο των λογαριθμικών διορθώσεων, τα δε υπεραντισιδηρομαγνητικά μοντέλα τυχαίου δεσμού, τόσο στο τετραγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει συνεχή αλλαγή φάσης, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει ασθενή αλλαγή φάση πρώτης τάξεως - ικανοποιούν τη γενικευμένη διατύπωση της ασθενούς οικουμενικότητας για τα τυχαία συστήματα. Η ειδική θερμότητα των τελευταίων παρουσιάζει μια ισχυρά συγκλίνουσα συμπεριφορά η οποία και αποδίδεται στην παρουσία των ανταγωνιστικών αλληλεπιδράσεων. Επιπλέον, τα αποτελέσματα για τα υπεραντισιδηρομαγνητικά πρότυπα τόσο στο τετραγωνικό, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα είναι σε καλή συμφωνία με τα γενικά θεωρητικά επιχειρήματα που έχουν διατυπωθεί για την επίδραση της τυχαιότητας σε αλλαγές φάσης δευτέρας (κριτήριο Harris) και πρώτης τάξεως (θεώρημα Aizenman - Wehr), αντίστοιχα.
Η σύγχρονη κβαντική επιστήμη και τεχνολογία υπόσχονται στο εγγύς μέλλον την ανάπτυξη συσκευών ικανών να φέρουν επανάσταση σε τομείς όπως η πληροφορική, οι επικοινωνίες, οι αισθητήρες και η αποθήκευση ενέργειας, αξιοποιώντας τις αρχές της κβαντομηχανικής. Στην καρδιά αυτών των εξωτικών εφαρμογών βρίσκεται το πρόβλημα της αποτελεσματικής προετοιμασίας των κβαντικών καταστάσεων. Αυτή η διατριβή αξιοποιεί προηγμένες μεθόδους από τον κβαντικό βέλτιστο έλεγχο για να αντιμετωπίσει βασικές προκλήσεις στην προετοιμασία κβαντικών καταστάσεων, δίνοντας έμφαση στην αναδυόμενη εφαρμογή της κβαντικής αποθήκευσης ενέργειας, προχωρώντας από απλούστερα συστήματα σε συστήματα υψηλότερης πολυπλοκότητας. Ξεκινάμε λύνοντας το πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου ελάχιστου χρόνου για τη δημιουργία μιας ομοιόμορφης υπέρθεσης σε ένα κβαντικό σύστημα δύο επιπέδων, μια κατάσταση που χρησιμοποιείται εκτενώς στον αλγόριθμο κβαντικής αναζήτησης του Grover, χρησιμοποιώντας μόνο ένα εγκάρσιο πεδίο ελέγχου περιορισμένου πλάτους. Εξάγουμε αυστηρά βέλτιστες ακολουθίες παλμών τύπου bang-bang για όλους τους λόγους μέγιστου πλάτους ελέγχου και σταθεράς αποσυντονισμού του κβαντικού ψηφίου. Στη συνέχεια, αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα της αποτελεσματικής μεταφοράς πληθυσμού σε ένα ατομικό σύστημα τριών επιπέδων τύπου Λ με απώλειες, το οποίο είναι σημαντικό για την κβαντική ανίχνευση. Απεικονίζουμε αυτό το πρόβλημα στο απλούστερο πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου ενός κλασικού αρμονικού ταλαντωτή, το οποίο μπορεί να λυθεί αναλυτικά, και στη συνέχεια επιβεβαιώνουμε αριθμητικά ότι αυτή η λύση μπορεί να επιτύχει σχεδόν βέλτιστη μεταφορά πληθυσμού στο αρχικό κβαντικό σύστημα, προσεγγίζοντας τη βέλτιστη απόδοση για μεγαλύτερες χρονικές διάρκειες. Ακολούθως, στρέφουμε την προσοχή μας στο πρόβλημα της ταχείας φόρτισης κβαντικών μπαταριών, συσκευών που εκμεταλλεύονται τις αρχές της κβαντομηχανικής για την αποθήκευση ενέργειας, αποτελούμενες από συζευγμένα σπιν με αλληλεπίδραση Ising μεταξύ των πλησιέστερων γειτόνων. Μελετάμε δύο κβαντικές μπαταρίες, ένα ζεύγος σπιν και μια αλυσίδα τριών σπιν, στο συνηθισμένο πειραματικό πλαίσιο του πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού με σταθερό διαμήκες πεδίο και εγκάρσιο πεδίο ελέγχου με χρονικά εξαρτώμενο πλάτος και φάση. Και για τα δύο συστήματα αναδεικνύουμε τον κρίσιμο ρόλο που παίζει ο λόγος της σύζευξης Ising προς το σταθερό διαμήκες πεδίο στον προσδιορισμό της αρχικής θεμελιώδους κατάστασης και της βέλτιστης διαδικασίας φόρτισης. Για ένα εγκάρσιο πεδίο ελέγχου με φέρουσα συχνότητα που επιλέγεται για να φέρει σε συντονισμό την αρχική κατάσταση με την κατάσταση-στόχο της υψηλότερης ενέργειας, όπου όλα τα σπιν βρίσκονται στην άνω κατάσταση, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Στην περίπτωση ασθενούς σύζευξης, όπου η αρχική θεμελιώδης κατάσταση είναι αυτή με όλα τα σπιν κάτω, το βέλτιστο πλάτος ελέγχου είναι σταθερά ίσο με τη μέγιστη επιτρεπτή τιμή καθ' όλη τη διάρκεια και η φάση διαμορφώνεται κατάλληλα με τον χρόνο, ενώ η διάρκεια πλήρους φόρτισης τείνει προς το μηδέν καθώς αυξάνεται το άνω όριο του πλάτους. Στην περίπτωση ισχυρής σύζευξης, όπου η αρχική θεμελιώδης κατάσταση είναι μια κατάσταση Bell για το ζεύγος σπιν και η κατάσταση Dicke |W> μίας διέγερσης για την αλυσίδα με τα τρία σπιν, το βέλτιστο πλάτος ελέγχου μπορεί να περιέχει ιδιάζοντα διαστήματα κατά τα οποία μηδενίζεται, οπότε και η φάση του πεδίου σε αυτά δεν παίζει ρόλο. Σε αυτήν την περίπτωση, ο χρόνος πλήρους φόρτισης φαίνεται να τείνει σε μια μη μηδενική τιμή καθώς αυξάνεται το άνω όριο του πλάτους ελέγχου. Συνολικά, τα αποτελέσματα που προέκυψαν από αυτή τη διατριβή ενοποιούν τις θεωρητικές γνώσεις από τον βέλτιστο έλεγχο με σημαντικές εφαρμογές στις κβαντικές τεχνολογίες.
Η κατασκευή ενός ολοκληρωμένου κβαντικού υπολογιστή αποτελεί μια πρόκληση για τη σύγχρονη επιστήμη. Ο κβαντικός υπολογιστής μας δίνει την ελπίδα πως κάποια στιγμή στο κοντινό μέλλον, θα είμαστε σε θέση να λύνουμε προβλήματα ταχύτερα και πιο αποδοτικά από ότι κάνει ένας κλασσικός υπολογιστής σήμερα. Για παράδειγμα, ο κβαντικός αλγόριθμος παραγοντοποίησης του Shor [3] πετυχαίνει εκθετική επιτάχυνση έναντι του κλασσικού, κάτι που σημαίνει πως η χρήση του πρωτόκολλου κρυπτογράφησης RSA δεν θα είναι όσο ασφαλής είναι σήμερα. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα μεγάλες αλλαγές στις επικοινωνίες και στις συναλλαγές στο προσεχές μέλλον. Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα περιγράψουμε τις αρχές που πρέπει να πληρεί ένα κβαντικό σύστημα για να θεωρηθεί κβαντικός υπολογιστής, πώς υλοποιούμε ένα qubit που είναι η μονάδα πληροφορίας του και τέλος θα μιλήσουμε για το πώς κωδικοποιούμε την κβαντική πληροφορία ώστε να είμαστε σε θέση να τη διορθώσουμε. Αρχίζουμε με τη διατύπωση των αρχών της κβαντικής μηχανικής , όπως προκύπτουν από την πειραματική διαδικασία. Συνεχίζουμε με την υπεραγωγιμότητα, το φαινόμενο που μας επιτρέπει να χειριζόμαστε μακροσκοπικά της κβαντικές ιδιότητες της ύλης, όπως και κάποια ακόμα φαινόμενα, όπως αυτό του Meissner, που μας δίνουν τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε το κυκλώμα που υλοποιεί το qubit. Τέλος, περιγράφουμε θεωρητικά ένα καθολικό σύνολο από κβαντικές πύλες και τα κυκλώματα διόρθωσης λαθών κβαντικού κώδικα.