Στην παρούσα διατριβή μελετάται αριθμητικά η κρίσιμη συμπεριφορά πολύπλοκων κλασικών συστημάτων spin τύπου Ising με αταξία. Αναπτύσσεται μια αριθμητική μεθοδολογία η οποία συνδυάζει σύγχρονες μεθόδους εντροπικής δειγματοληψίας (αλγόριθμος Wang-Landau) με την τεχνική του ελάχιστου κρίσιμου ενεργειακού υπόχωρου και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα εφαρμογής της μεθόδου σε μια σειρά συστημάτων. Αρχικά διερευνάται η κρίσιμη συμπεριφορά του τρισδιάστατου μοντέλου Ising τυχαίου πεδίου δίτιμης κατανομής. Μέσω μιας συστηματικής μελέτης σε χαμηλές θερμοκρασίες προσδιορίζεται με ακρίβεια το διάγραμμα φάσης του μοντέλου, η κρίσιμη τιμή του μέτρου τυχαιότητας και ο κρίσιμος εκθέτης του μήκους συσχέτισης, ενώ ταυτόχρονα δίδεται μια οριστική απάντηση στο ανοικτό ζήτημα της τάξεως της αλλαγής φάσης για υψηλές τιμές του μέτρου τυχαιότητας. Μελετώντας την κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος του φράγματος της ελεύθερης ενέργειας και της λανθάνουσας θερμότητας, δείχνεται ότι τα χαρακτηριστικά της αλλαγής φάσης πρώτης τάξεως που εμφανίζει το μοντέλο, είναι φαινόμενα που εξαφανίζονται στο θερμοδυναμικό όριο, σε αντίθεση με την πρόβλεψη της θεωρίας μέσου πεδίου για την ύπαρξη τρικρίσιμου σημείου και αλλαγή φάσης πρώτης τάξεως. Επίσης, για το ίδιο μοντέλο, μελετάται η κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος της ειδικής θερμότητας και αναδεικνύεται η ιδιότητα της έλλειψης αυτοαθροιστικότητας καθώς και η πιθανή απουσία ύπαρξης κλάσης οικουμενικότητας του μοντέλου. Επιβεβαιώνονται οι θεωρητικές προβλέψεις για ισχυρές δειγματικές διακυμάνσεις της μαγνητικής επιδεκτικότητας και παρουσιάζονται ισχυρά στοιχεία υπερ του σεναρίου κλιμάκωσης δύο εκθετών. Τέλος, στο τελευταίο μέρος της διατριβής μελετάται η επίδραση τυχαιότητας στο μέτρο της ενέργειας ανταλλαγής στο απλό μοντέλο Ising και στο υπεραντισιδηρομαγνητικό μοντέλο Ising με ανταγωνιστικές αλληλεπιδράσεις πρώτων και δευτέρων γειτόνων σε τετραγωνικό και τριγωνικό πλέγμα. Τα αριθμητικά δεδομένα και η λεπτομερής ανάλυση που παρουσιάζεται υποδεικνύουν ότι το μεν μοντέλο Ising τυχαίου δεσμού περιγράφεται αρκετά ικανοποιητικά από το σενάριο των λογαριθμικών διορθώσεων, τα δε υπεραντισιδηρομαγνητικά μοντέλα τυχαίου δεσμού, τόσο στο τετραγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει συνεχή αλλαγή φάσης, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει ασθενή αλλαγή φάση πρώτης τάξεως - ικανοποιούν τη γενικευμένη διατύπωση της ασθενούς οικουμενικότητας για τα τυχαία συστήματα. Η ειδική θερμότητα των τελευταίων παρουσιάζει μια ισχυρά συγκλίνουσα συμπεριφορά η οποία και αποδίδεται στην παρουσία των ανταγωνιστικών αλληλεπιδράσεων. Επιπλέον, τα αποτελέσματα για τα υπεραντισιδηρομαγνητικά πρότυπα τόσο στο τετραγωνικό, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα είναι σε καλή συμφωνία με τα γενικά θεωρητικά επιχειρήματα που έχουν διατυπωθεί για την επίδραση της τυχαιότητας σε αλλαγές φάσης δευτέρας (κριτήριο Harris) και πρώτης τάξεως (θεώρημα Aizenman - Wehr), αντίστοιχα.
Στην παρούσα διατριβή μελετάται αριθμητικά η κρίσιμη συμπεριφορά πολύπλοκων κλασικών συστημάτων spin τύπου Ising με αταξία. Αναπτύσσεται μια αριθμητική μεθοδολογία η οποία συνδυάζει σύγχρονες μεθόδους εντροπικής δειγματοληψίας (αλγόριθμος Wang-Landau) με την τεχνική του ελάχιστου κρίσιμου ενεργειακού υπόχωρου και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα εφαρμογής της μεθόδου σε μια σειρά συστημάτων. Αρχικά διερευνάται η κρίσιμη συμπεριφορά του τρισδιάστατου μοντέλου Ising τυχαίου πεδίου δίτιμης κατανομής. Μέσω μιας συστηματικής μελέτης σε χαμηλές θερμοκρασίες προσδιορίζεται με ακρίβεια το διάγραμμα φάσης του μοντέλου, η κρίσιμη τιμή του μέτρου τυχαιότητας και ο κρίσιμος εκθέτης του μήκους συσχέτισης, ενώ ταυτόχρονα δίδεται μια οριστική απάντηση στο ανοικτό ζήτημα της τάξεως της αλλαγής φάσης για υψηλές τιμές του μέτρου τυχαιότητας. Μελετώντας την κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος του φράγματος της ελεύθερης ενέργειας και της λανθάνουσας θερμότητας, δείχνεται ότι τα χαρακτηριστικά της αλλαγής φάσης πρώτης τάξεως που εμφανίζει το μοντέλο, είναι φαινόμενα που εξαφανίζονται στο θερμοδυναμικό όριο, σε αντίθεση με την πρόβλεψη της θεωρίας μέσου πεδίου για την ύπαρξη τρικρίσιμου σημείου και αλλαγή φάσης πρώτης τάξεως. Επίσης, για το ίδιο μοντέλο, μελετάται η κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος της ειδικής θερμότητας και αναδεικνύεται η ιδιότητα της έλλειψης αυτοαθροιστικότητας καθώς και η πιθανή απουσία ύπαρξης κλάσης οικουμενικότητας του μοντέλου. Επιβεβαιώνονται οι θεωρητικές προβλέψεις για ισχυρές δειγματικές διακυμάνσεις της μαγνητικής επιδεκτικότητας και παρουσιάζονται ισχυρά στοιχεία υπερ του σεναρίου κλιμάκωσης δύο εκθετών. Τέλος, στο τελευταίο μέρος της διατριβής μελετάται η επίδραση τυχαιότητας στο μέτρο της ενέργειας ανταλλαγής στο απλό μοντέλο Ising και στο υπεραντισιδηρομαγνητικό μοντέλο Ising με ανταγωνιστικές αλληλεπιδράσεις πρώτων και δευτέρων γειτόνων σε τετραγωνικό και τριγωνικό πλέγμα. Τα αριθμητικά δεδομένα και η λεπτομερής ανάλυση που παρουσιάζεται υποδεικνύουν ότι το μεν μοντέλο Ising τυχαίου δεσμού περιγράφεται αρκετά ικανοποιητικά από το σενάριο των λογαριθμικών διορθώσεων, τα δε υπεραντισιδηρομαγνητικά μοντέλα τυχαίου δεσμού, τόσο στο τετραγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει συνεχή αλλαγή φάσης, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει ασθενή αλλαγή φάση πρώτης τάξεως - ικανοποιούν τη γενικευμένη διατύπωση της ασθενούς οικουμενικότητας για τα τυχαία συστήματα. Η ειδική θερμότητα των τελευταίων παρουσιάζει μια ισχυρά συγκλίνουσα συμπεριφορά η οποία και αποδίδεται στην παρουσία των ανταγωνιστικών αλληλεπιδράσεων. Επιπλέον, τα αποτελέσματα για τα υπεραντισιδηρομαγνητικά πρότυπα τόσο στο τετραγωνικό, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα είναι σε καλή συμφωνία με τα γενικά θεωρητικά επιχειρήματα που έχουν διατυπωθεί για την επίδραση της τυχαιότητας σε αλλαγές φάσης δευτέρας (κριτήριο Harris) και πρώτης τάξεως (θεώρημα Aizenman - Wehr), αντίστοιχα.
Οι αμιγώς οπτικές λογικές πύλες είναι βασικές δομικές μονάδες για την εξέλιξη των φωτονικών δικτύων, τα οποία χειρίζονται την πληροφορία αποκλειστικά στο οπτικό επίπεδο. Αυτή η αμιγώς οπτική προσέγγιση για την εκτέλεση μεταγωγής για σκοπούς λογικής και υπολογιστικής έχει προσελκύσει έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον από την επιστημονική κοινότητα χάρη στα σημαντικά οφέλη που διαθέτει έναντι της ηλεκτρονικής εναλλακτικήςτης, όπως η εξαιρετικά γρήγορη απόκριση σε δεδομένα πληροφορίας και η επακόλουθη ευχέρεια προσαρμογής στην τεράστια αύξηση της χωρητικότητας των οπτικών συστημάτων, η δυνατότητα κατασκευής σύνθετων αρχιτεκτονικών, η πλήρης διαφάνεια στον ρυθμό μετάδοσης δεδομένων, η ρεαλιστική κατανάλωση ενέργειας, η μειωμένη καθυστέρηση, το συμπαγές μέγεθος και το διαχειρίσιμο κόστος. Με κίνητρο την ανάγκη για περαιτέρω βελτιώσεις και καινοτομία προκειμένου να ξεπεραστούν οι περιορισμοί που θέτει η χρήση ηλεκτρονικών στοιχείων και να αντιμετωπιστεί η επακόλουθη ηλεκτρονική συμφόρηση, η παρούσα διδακτορική διατριβή προτείνει την υλοποίηση λογικών πυλών με αμιγώς οπτικό τρόπο αξιοποιώντας οπτικούς ενισχυτές κβαντικών κουκκίδων (quantum-dot semiconductor optical amplifiers, QD-SOA) σε μια συμβολομετρική διάταξη. Οι QD-SOA με τις ξεχωριστές τους οπτικές ιδιότητες και την εξαιρετικά γρήγορη απόκρισή τους είναι υποσχόμενοι υποψήφιοι για εφαρμογές αμιγώς οπτικής επεξεργασίας σήματος. Ως εκ τούτου, η αξιοποίησή τους σε συστήματα που προορίζονται για την εκτέλεση λογικών πράξεων αποκλειστικά με τη χρήση φωτός αναμένεται να είναι ιδιαίτερα επωφελής για την ανάπτυξη αμιγώς οπτικών δικτύων χωρίς προβληματικές οπτοηλεκτρονικές μετατροπές. Σε αυτό το πλαίσιο, μελετήθηκε διεξοδικά η δυνατότητα υλοποίησης αμιγώς οπτικών λογικών πυλών υψηλής ταχύτητας χρησιμοποιώντας ένα κατάλληλα διαρθρωμένο και οδηγούμενο συμβολόμετρο Mach-Zehnder (Mach-Zehnder interferometer, MZI) που ενσωματώνει QD-SOA. Για αυτόν τον στόχο, εφαρμόστηκε ένα κατάλληλο μοντέλο που περιγράφει τη συμπεριφορά του MZI με QD-SOA. Σε πρώτο στάδιο, αυτό το μοντέλο λαμβάνει υπόψη τη διάδοση ενός ισχυρού οπτικού σήματος κατά μήκος του QD-SOA μέσω μιας εξίσωσης ρυθμού μεταβολής της φωτονικής του πυκνότητας, καθώς και την ταυτόχρονη αλλαγή των δυναμικών χαρακτηριστικών κέρδους του QD-SOA, τα οποία περιγράφονται από τρεις εξισώσεις ρυθμού μεταβολής για τις ηλεκτρονικές μεταβάσεις μεταξύ των τριών ενεργειακών καταστάσεων της ζώνης αγωγιμότητας του QD-SOA. Αυτό το σύστημα των τεσσάρων συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, από τις οποίες η μία έχει εξάρτηση στον χώρο ενώ οι υπόλοιπες στον χρόνο, λύθηκε αριθμητικά βήμα-βήμα με τη μέθοδο Runge-Kutta 4ης τάξης. Σε δεύτερο στάδιο, το αποτέλεσμα της παραπάνω διαδικασίας συνδυάστηκε με το μοντέλο του MZI, ώστε να βρεθεί η ισχύς στην έξοδο αυτής της συμβολομετρικής διάταξης. Ο κατάλληλος αλγόριθμος για την περιγραφή αυτής της μοντελοποίησης αναπτύχθηκε στο υπολογιστικό περιβάλλον του Matlab. Η εκτέλεση διάφορων βασικών λογικών πράξεων επιτεύχθηκε τόσο με λογική ορθότητα όσο και με υψηλή ποιότητα, ένα εγχείρημα που δεν έχει πραγματοποιηθεί ξανά με συστηματικό τρόπο σε τέτοια έκταση. Αυτό έγινε για λειτουργία στο παράθυρο μετάδοσης της πληροφορίας των 1550 nm και για δεδομένα επιστροφής στο μηδέν με ρυθμό μετάδοσης 160 Gb/s όσον αφορά τις πύλες ΝΟΤ, ΝΟR, NAND και XNOR, ενώ o ρυθμόςμετάδοσης δεδομένων στην περίπτωση της πύλης AND ήταν 320 Gb/s. Η γενική προσέγγιση που ακολουθήθηκε περιέλαβε τη μελέτη της συμπεριφοράς της εκάστοτε πύλης στη μεταβολή κρίσιμων παραμέτρων, την ερμηνεία των ληφθέντων αποτελεσμάτων, την εξαγωγή κατάλληλων σχεδιαστικών κανόνων ώστε τα εξεταζόμενα μετρικά να είναι αποδεκτά, και τέλος την παρουσίαση της ορθής λειτουργίας της εξεταζόμενης πύλης. Με την ίδια μεθοδολογία, η έρευνα επεκτάθηκε από τη μελέτη λογικών πυλών ως διακριτές οντότητες στη διερεύνηση του ταυτόχρονου σχεδιασμού των πυλών NOR και NAND με ικανότητα αναδιάρθρωσης, καθώς και στην εξέταση της ικανότητας σύνδεσης τεσσάρων πυλών XOR με σπονδυλωτό τρόπο για τη δημιουργία ενός πιο σύνθετου κυκλώματος, το οποίο παράγει και ελέγχει ισοτιμία.Τα αποτελέσματα της εκπονηθείσας διατριβής θα μπορούσαν να συμβάλλουν στη μοντελοποίηση της απόκρισης του QD-SOA σε δεδομένα εξαιρετικά υψηλού ρυθμού μετάδοσης με τρόπο περιεκτικό και υπολογιστικά ισορροπημένο, στην προσεγμένη προσομοίωση, ενδελεχή ανάλυση και αποτελεσματική σχεδίαση των αμιγώς οπτικών λογικών πυλών που αξιοποιούν το ΜΖΙ με QD-SOA, καθώς και στον συστηματικό προσδιορισμό των απαραίτητων συνθηκών λειτουργίας τους για την επίτευξη πιο γρήγορης και καλύτερης μεταγωγής της πληροφορίας. Παράλληλα, η πρόοδος που συντελέστηκε από τη διεξαγωγή αυτής της έρευνας θα μπορούσε να προσφέρει σημαντικά οφέλη στην υλοποίηση μεγαλύτερης κλίμακας συστοιχιών διακοπτών και αρχιτεκτονικών διασύνδεσης πολλαπλών λογικών βαθμίδων, ενώ θα μπορούσε να συνδράμει στη διευκόλυνση της αναβάθμισης της χωρητικότητας των δικτύων επικοινωνιών που καθίσταται αναγκαία από την ασταμάτητη ζήτηση σε εύρος ζώνης με στόχο την παροχή περισσότερων και καλύτερων υπηρεσιών.
Στόχος της εργασίας είναι να συγκρίνει τα εννοιολογικά πλαίσια των δύο φυσικών θεωριών και να διερευνήσει δύο ερωτήματα: Πρώτον, εάν η μετάβαση από το ένα πλαίσιο στο άλλο συνιστά ριζική τομή, ποιο είναι σε αυτήν την περίπτωση το κρίσιμο σημείο που φέρει το βάρος της επανάστασης, και εάν εντός της ασυνέχειας που θα αντιπροσωπεύει μια τέτοια τομή υπάρχει συνέχεια και πού εντοπίζεται αυτή. Δεύτερον, εάν η όλη θεώρηση μπορεί να ενταχθεί στην προοπτική της φιλοσοφίας του ρεαλισμού, και με ποια έννοια είναι τούτο δυνατόν. Ειδικότερα, η διατριβή επικαλείται πρόσφατες εργασίες βάσει των οποίων: α) Αντιμετωπίζεται ο ιδιάζων και μοναδικός τρόπος με τον οποίο η κβαντική φυσική θέτει θέμα ερμηνείας. β) Υποστηρίζεται ότι το εννοιολογικό πλαίσιο μιας φυσικής θεωρίας είναι όρος δυνατότητας για την συγκρότηση του αντικειμένου της φυσικής επιστήμης. γ) Υποστηρίζεται ότι η διερεύνηση των ζητημάτων τα οποία θέτει μια εννοιολογική μετάβαση πρέπει να επικεντρώνεται στον μηχανισμό ανάδυσης της εννοιολογικής καινοτομίας και όχι στην αποφυγή της αντίφασης. H διατριβή στρέφεται σε δύο πρόσφατες εξελίξεις στην μαθηματική φυσική. Η πρώτη αφορά την ολοκλήρωση του προγράμματος της κβάντωσης μέσω παραμορφώσεων με την εργασία τού Kontsevich. H δεύτερη αφορά την κατ’ εξοχήν υπολογιστική τεχνική της επανακανονικοποίησης (renormalization) στον υπολογισμό διαγραμμάτων Feynman. Η εξέλιξη εν προκειμένω είναι η ανύψωση αυτής της τεχνικής σε νοηματικό επίπεδο, μέσω των ανακαλύψεων των Connes και Kreimer. Η διατριβή επισημαίνει το εργαλειοκρατικό πνεύμα που τείνει να κυριαρχεί μεταξύ των ενεργών φυσικών, και υποστηρίζει ότι τα σύγχρονα επιτεύγματα στην μαθηματική φυσική συμβάλλουν στην αντιστροφή αυτού του πνεύματος. Εκφράζεται η άποψη ότι ο πραγματιστικός εφησυχασμός γύρω από μιαν επιτυχημένη τεχνική, η θεωρητική ολιγάρκεια και ο αυτοπεριορισμός στην τεχνογνωσία ανοίγουν τον δρόμο προς τον ανορθολογισμό.
Η σύγχρονη κβαντική επιστήμη και τεχνολογία υπόσχονται στο εγγύς μέλλον την ανάπτυξη συσκευών ικανών να φέρουν επανάσταση σε τομείς όπως η πληροφορική, οι επικοινωνίες, οι αισθητήρες και η αποθήκευση ενέργειας, αξιοποιώντας τις αρχές της κβαντομηχανικής. Στην καρδιά αυτών των εξωτικών εφαρμογών βρίσκεται το πρόβλημα της αποτελεσματικής προετοιμασίας των κβαντικών καταστάσεων. Αυτή η διατριβή αξιοποιεί προηγμένες μεθόδους από τον κβαντικό βέλτιστο έλεγχο για να αντιμετωπίσει βασικές προκλήσεις στην προετοιμασία κβαντικών καταστάσεων, δίνοντας έμφαση στην αναδυόμενη εφαρμογή της κβαντικής αποθήκευσης ενέργειας, προχωρώντας από απλούστερα συστήματα σε συστήματα υψηλότερης πολυπλοκότητας. Ξεκινάμε λύνοντας το πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου ελάχιστου χρόνου για τη δημιουργία μιας ομοιόμορφης υπέρθεσης σε ένα κβαντικό σύστημα δύο επιπέδων, μια κατάσταση που χρησιμοποιείται εκτενώς στον αλγόριθμο κβαντικής αναζήτησης του Grover, χρησιμοποιώντας μόνο ένα εγκάρσιο πεδίο ελέγχου περιορισμένου πλάτους. Εξάγουμε αυστηρά βέλτιστες ακολουθίες παλμών τύπου bang-bang για όλους τους λόγους μέγιστου πλάτους ελέγχου και σταθεράς αποσυντονισμού του κβαντικού ψηφίου. Στη συνέχεια, αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα της αποτελεσματικής μεταφοράς πληθυσμού σε ένα ατομικό σύστημα τριών επιπέδων τύπου Λ με απώλειες, το οποίο είναι σημαντικό για την κβαντική ανίχνευση. Απεικονίζουμε αυτό το πρόβλημα στο απλούστερο πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου ενός κλασικού αρμονικού ταλαντωτή, το οποίο μπορεί να λυθεί αναλυτικά, και στη συνέχεια επιβεβαιώνουμε αριθμητικά ότι αυτή η λύση μπορεί να επιτύχει σχεδόν βέλτιστη μεταφορά πληθυσμού στο αρχικό κβαντικό σύστημα, προσεγγίζοντας τη βέλτιστη απόδοση για μεγαλύτερες χρονικές διάρκειες. Ακολούθως, στρέφουμε την προσοχή μας στο πρόβλημα της ταχείας φόρτισης κβαντικών μπαταριών, συσκευών που εκμεταλλεύονται τις αρχές της κβαντομηχανικής για την αποθήκευση ενέργειας, αποτελούμενες από συζευγμένα σπιν με αλληλεπίδραση Ising μεταξύ των πλησιέστερων γειτόνων. Μελετάμε δύο κβαντικές μπαταρίες, ένα ζεύγος σπιν και μια αλυσίδα τριών σπιν, στο συνηθισμένο πειραματικό πλαίσιο του πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού με σταθερό διαμήκες πεδίο και εγκάρσιο πεδίο ελέγχου με χρονικά εξαρτώμενο πλάτος και φάση. Και για τα δύο συστήματα αναδεικνύουμε τον κρίσιμο ρόλο που παίζει ο λόγος της σύζευξης Ising προς το σταθερό διαμήκες πεδίο στον προσδιορισμό της αρχικής θεμελιώδους κατάστασης και της βέλτιστης διαδικασίας φόρτισης. Για ένα εγκάρσιο πεδίο ελέγχου με φέρουσα συχνότητα που επιλέγεται για να φέρει σε συντονισμό την αρχική κατάσταση με την κατάσταση-στόχο της υψηλότερης ενέργειας, όπου όλα τα σπιν βρίσκονται στην άνω κατάσταση, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Στην περίπτωση ασθενούς σύζευξης, όπου η αρχική θεμελιώδης κατάσταση είναι αυτή με όλα τα σπιν κάτω, το βέλτιστο πλάτος ελέγχου είναι σταθερά ίσο με τη μέγιστη επιτρεπτή τιμή καθ' όλη τη διάρκεια και η φάση διαμορφώνεται κατάλληλα με τον χρόνο, ενώ η διάρκεια πλήρους φόρτισης τείνει προς το μηδέν καθώς αυξάνεται το άνω όριο του πλάτους. Στην περίπτωση ισχυρής σύζευξης, όπου η αρχική θεμελιώδης κατάσταση είναι μια κατάσταση Bell για το ζεύγος σπιν και η κατάσταση Dicke |W> μίας διέγερσης για την αλυσίδα με τα τρία σπιν, το βέλτιστο πλάτος ελέγχου μπορεί να περιέχει ιδιάζοντα διαστήματα κατά τα οποία μηδενίζεται, οπότε και η φάση του πεδίου σε αυτά δεν παίζει ρόλο. Σε αυτήν την περίπτωση, ο χρόνος πλήρους φόρτισης φαίνεται να τείνει σε μια μη μηδενική τιμή καθώς αυξάνεται το άνω όριο του πλάτους ελέγχου. Συνολικά, τα αποτελέσματα που προέκυψαν από αυτή τη διατριβή ενοποιούν τις θεωρητικές γνώσεις από τον βέλτιστο έλεγχο με σημαντικές εφαρμογές στις κβαντικές τεχνολογίες.
Στις επικοινωνίες ανάμεσα σε ανοιχτά συστήματα υπάρχουν τέσσερις κύριες κατηγορίες απειλών: Μη εξουσιοδοτημένη απόκτηση της πληροφορίας, Μη εξουσιοδοτημένη τροποποίηση της πληροφορίας, Πλαστοπροσωπία χρήστη, Αποκήρυξη της επικοινωνίας. Ο βασικός μηχανισμός για την παροχή ασφάλειας με τα χαρακτηριστικά που περιγράφηκαν πιο πάνω είναι η κρυπτογραφία. Οι συμμετρικοί αλγόριθμοι κρυπτογραφίας είναι πολύ ασφαλείς, γρήγοροι και έχουν διαδεδομένη χρήση. Ωστόσο, υπάρχουν διάφορες ελλείψεις που σχετίζονται με σχήματα συμμετρικού κλειδιού, όπως το πρόβλημα της διανομής κλειδιού, το μεγάλο πλήθος των κλειδιών που απαιτούνται και επίσης δεν παρέχουν καμία προστασία ενάντια σε επιθέσεις της επικοινωνίας. Τα παραπάνω προβλήματα λύνονται με τη χρήση ασύμμετρων αλγορίθμων ή αλλιώς δημοσίου κλειδιού σε καλά σχεδιασμένα πρωτόκολλα ασφάλειας και ανταλλαγής κλειδιού. Υπάρχουν τρεις κυρίαρχες οικογένειες αλγορίθμων δημοσίου κλειδιού οι οποίες έχουν πρακτικό αντίκρισμα. Μπορούν να ταξινομηθούν με βάση το υπολογιστικό πρόβλημα που τις χαρακτηρίζουν: Συστήματα παραγοντοποίησης ακεραίου, Συστήματα διακριτού λογαρίθμου, Συστήματα ελλειπτικών καμπυλών. Κάθε μία από αυτές τις τρεις οικογένειες μπορούν να παρέχουν τους βασικούς μηχανισμούς δημοσίου κλειδιού, όπως της εγκαθίδρυσης κλειδιού, της μη αποποίησης μέσω ψηφιακών υπογραφών και της κρυπτογράφησης δεδομένων. Ο RSA ανήκει στη κατηγορία των κρυπτογραφικών συστημάτων παραγοντοποίησης ακεραίου και είναι κατάλληλος για κρυπτογράφηση/αποκρυπτογράφηση δεδομένων, για την δημιουργία ψηφιακών υπογραφών και την επαλήθευσή τους καθώς και για την ασφαλή μεταφορά κλειδιών. Ο αλγόριθμος Diffie-Hellman Key Exchange (DHKE) ανήκει στη κατηγορία των κρυπτογραφικών συστημάτων διακριτού λογαρίθμου και αποτελεί μία εντυπωσιακή εφαρμογή του προβλήματος του διακριτού λογαρίθμου. Η θεμελιώδης αυτή τεχνική συμφωνίας κλειδιού υλοποιείται σε πολλά ανοιχτά και εμπορικά κρυπτογραφικά πρωτόκολλα όπως, στο SSH (Secure Shell) και στο IPsec (Internet Protocol Security). Στη τρίτη κατηγορία ανήκει το Elliptic Curve Diffie-Hellman ECDH το οποίο βρίσκεται σε πλήρη αναλογία με τον παραδοσιακό DHKE που αναφέραμε προηγουμένως, μόνο που εδώ πραγματοποιείται ανταλλαγή κλειδιού χρησιμοποιώντας ελλειπτικές καμπύλες. Κάποια από τα πιο γνωστά πρωτόκολλα ασφάλειας πρωτοκόλλων που χρησιμοποιούνται σήμερα κατά κόρον και χρησιμοποιούν ανταλλαγή και εγκαθίδρυση κλειδιού είναι το IPSec σε συνδυασμό με το IKE και το SSL. Ο βασικός στόχος οποιουδήποτε πρωτοκόλλου εγκαθίδρυσης επικυρωμένου κλειδιού είναι να διανέμει δεδομένα κλειδιού με ασφαλή τρόπο χρησιμοποιώντας πρωτόκολλα με έμμεση πιστοποίηση κλειδιού, με ρητή επιβεβαίωση κλειδιού κ.α. Στα πλαίσια της διατριβής αυτής και με σκοπό τη πρακτική μελέτη κάποιων από των πιο διαδεδομένων πρωτοκόλλων κρυπτογράφησης που παρουσιάστηκε και αναλύθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, αναπτύχθηκε μια εφαρμογή σε Java SE. Χρησιμοποιήθηκαν κυρίως το πλαίσιο ανάπτυξης Java Cryptography Architecture (JCA), το περιβάλλον ανάπτυξης λογισμικού netbeans, καθώς και κρυπτογραφικές βιβλιοθήκες JCE provider, και τη συλλογή Bouncy Castle.
Στην παρούσα διατριβή μελετούμε τα κοινά χαρακτηριστικά που διέπουν την συμπεριφορά των αινιγματικών μη-υπεραγώγιμων φάσεων που εμφανίζονται στους υπεραγωγούς υψηλής κρίσιμης θερμοκρασίας των οξειδίων του χαλκού και του μη-συμβατικού υπεραγωγού βαρέων φερμιονίων URu2Si2 και θα αναζητήσουμε μια κοινή προέλευση για εώς τώρα ανεξήγητα φαινόμενα που παρουσιάζουν, όπως είναι η γιγαντιαία θερμοηλεκτρική απόκριση Nernst. Η περιοχή του ψευδοχάσματος καθώς και η ``κρυμμένη κατάσταση'', εμφανίζουν ένα ασυνήθιστα υψηλό σήμα Nernst, το οποίο παρουσιάζει ένα ιδιαίτερο και ταυτόχρονα χαρακτηριστικό θερμοκρασιακό προφίλ. Βασιζόμενοι στην ύπαρξη αλληλεπιδράσεων που ευνοούν τον σχηματισμό μη-συμβατικών καταστάσεων, θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε ότι η ύπαρξη Τοπολογικών Κυμάτων Πυκνότητας Φορτίου και Σπιν μπορεί να ερμηνεύσει τα συγκεκριμένα φαινόμενα. Οι Τοπολογικές καταστάσεις που θα μελετήσουμε, χωρίζονται στις Χειρικές (Chiral) που παραβιάζουν σε μακροσκοπικό επίπεδο την συμμετρία αντιστροφής του χρόνου T και στις Ελικοειδείς (Helical) που την διατηρούν. Οι καταστάσεις αυτές αποτελούν συνύπαρξη δύο μαγνητικών ή μη, μη-συμβατικών συμπυκνωμάτων στο κανάλι ηλεκτρονίου-οπής με μη-αναγωγίσιμες κρυσταλλικές αναπαραστάσεις dxy και dx2-y2, και πεπερασμένο κυματάνυσμα Q. Η δική μας καινοτόμα συνεισφορά, αφορά στην πρόταση μίας πιο ολοκληρωμένης εικόνας για τα θερμοηλεκτρικά φαινόμενα μεταφοράς σε αυτά τα υλικά. Όπως θα δείξουμε σε αυτήν τη διατριβή, οι τροχιακές καταστάσεις του τύπου dx2-y2 ή dxy, είναι επιδεκτικές στη μετάβαση σε Τοπολογικές καταστάσεις κατά την εφαρμογή ενός εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Κατ' αυτόν τον τρόπο, εάν πράγματι προϋπάρχει μία τροχιακή κατάσταση idx2-y2, κάθε φορά που εκτελούμε μία θερμοηλεκτρική μέτρηση Nernst, επάγουμε μία Τοπολογική κατάσταση dxy+idx2-y2 η οποία με τη σειρά της επηρεάζει σημαντικά την απόκριση του συστήματος. Συνεπώς, για τη μελέτη των θερμοηλεκτρικών ιδιοτήτων μεταφοράς οφείλουμε να συμπεριλάβουμε τις επαγόμενες Τοπολογικές καταστάσεις. Χρησιμοποιώντας, τόσο θεωρητικές αλλά και υπολογιστικές μεθόδους, θα αναδείξουμε ότι τέτοια συστήματα είναι περισσότερο επιδεκτικά στην μετάβαση σε Χειρικές καταστάσεις παρά σε Ελικοειδείς, τουλάχιστον για μικρά μαγνητικά πεδία. Σύμφωνα με το κεντρικό αποτέλεσμα αυτής της διατριβής, οι Χειρικές καταστάσεις, οι οποίες αποτελούν και τις κυρίαρχες επαγόμενες Τοπολογικές καταστάσεις, παρουσιάζουν ένα Γιγαντιαίο Φαινόμενο Nernst με μία ιδιαίτερη θερμοκρασιακή εξάρτηση η οποία συνάδει με την παρατηρούμενη πειραματική.Πέρα όμως από την Γιγαντιαία θερμοηλεκτρική απόκριση Nernst που προαναφέραμε, θα μελετήσουμε άκρως σημαντικές ιδιότητες των Τοπολογικών Κυμάτων Πυκνότητας Φορτίου και Σπιν, όπως είναι το διάγραμμα φάσης, η δυνατότητα Τοπολογικών Κβαντικών μεταβάσεων Φάσης, η ύπαρξη Χειρικών και Ελικοειδών συνοριακών φερμονικών βαθμών ελευθερίας (chiral and helical edge modes), τα Αυθόρμητα Κβαντικά Ηλεκτρικά, Μαγνητικά και Μαγνητοηλεκτρικά Φαινόμενα Hall, η προκύπτουσα εγγενής τροχιακή μαγνήτιση, η μαγνητική επαγωγή των Τοπολογικών καταστάσεων, η Αυθόρμητη Μαγνητοθερμοηλεκτρική απόκριση Hall και τέλος θα έχουμε την ευκαιρία να εφαρμόσουμε όλες αυτές τις ιδιότητες για την κατανόηση της φαινομενολογίας των εξωτικών καταστάσεων που εμφανίζονται στους υπεραγωγούς υψηλής κρίσιμης θερμοκρασίας και τον υπεραγωγό βαρέων φερμιονίων URu2Si2.
Έχει παρατηρηθεί ήδη από το 1936 από τους Von Neumann και Birkhoff ότι η κβαντική μηχανική χρειάζεται μια νέα λογική δομή, η οποία να διαφοροποιείται από την λογική του Boole της κλασικής μηχανικής. Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή, θεωρούμε ότι αυτή η νέα λογική είναι η λογική των σχέσεων του C. S. Peirce, η οποία σε μεγάλο βαθμό είναι ταυτόσημη με τη θεωρία κατηγοριών. Αρχικά δείχνουμε ότι μπορούμε να αναπαραστήσουμε μια σχέση με ένα σπίνορ και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον φορμαλισμό των Cartan και Penrose, όπου τα σπίνορς χρησιμοποιούνται στην αναπαράσταση των συμμετριών και του χωρόχρονου. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε τα σπίνορς για να κατασκεύασουμε αναπαραστάσεις του κοσμικού φύλλου μιας χορδής και του χωρόχρονου Anti-de Sitter. Κατ' αυτόν τον τρόπο, στην περίπτωση της χορδής, λύνοντας άμεσα τους περιορισμούς χρησιμοποιούμε μόνο τους πραγματικούς βαθμούς ελευθερίας. Στη συνέχεια προχωρούμε ένα βήμα παραπάνω και θεωρούμε ότι τα σπίνορς δεν μας βοηθάνε απλά στην αναπαράσταση του χωρόχρονου αλλά, συγκροτούν και κατασκεύαζουν τον χωρόχρονο. Γνωρίζοντας ότι ένα σπίνορ μόνο του σχετίζεται με τον κώνο φωτός του χωρόχρονου Minkowski, αναζητήσαμε την γεωμετρία που προκύπτει από την σύζευξη δύο σπίνορς. Η σύζευξη δύο σπίνορς μπορεί να επιτευχθεί είτε ακολουθώντας την συνταγή του Majorana (σύζευξη δύο σπίνορς της ίδιας χειραλικότητας) είτε ακολουθώντας την συνταγή του Dirac (σύζευξη ανάμεσα ενός δεξιόστροφου και ενός αριστερόστροφου σπίνορ). Η σύζευξη τύπου Majorana αναπαράγει την γνωστή μας θεωρία κβαντικής σύμπλεξης. Από την άλλη πλευρά, η σύζευξη τύπου Dirac μας οδηγεί σε ένα χωρόχρονο με μια επιπλέον διάσταση, στην οποία συνυπάρχουν δύο μεμβράνες, με την απόσταση ανάμεσα τους να προσδιορίζεται από το μέγεθος της κβαντικής σύμπλεξης. Η μία μεμβράνη (η δική μας) φιλοξενεί αριστερόστροφα σωματίδια, ενώ η άλλη φιλοξενεί δεξιόστροφα σωματίδια. Σύμφωνα με την προσέγγισή μας, η συμμετρία αριστερά-δεξιά επιτυγχάνεται έχοντας την επιπλέον διάσταση να φιλοξενεί δύο “καθρεπτικές” μεμβράνες, ενώ με τον παραδοσιακό τρόπο επιτυγχάνεται εισάγοντας μια επιπλέον ομάδα βαθμίδας στην ενεργειακή έρημο πάνω από τις καθιερωμένες αλληλεπιδράσεις. Επίσης, το σωματίδιο του νετρίνο εμφανίζεται ως ο ιδανικός διαμεσολαβητής ανάμεσα στις δύο μεμβράνες. Τέλος, στα πλαίσια του μοντέλου μας, ότι υπάρχει στην άλλη μεμβράνη και στην επιπλέον διάσταση εμφανίζεται σε εμάς ως σκοτεινή ύλη ή σκοτεινή ενέργεια. Η προσέγγισή μας συνδέει λογική - κβαντική μηχανική - γεωμετρία και μας επιτρέπει να ασχοληθούμε με θεμελιώδη ερωτήματα για την εξέλιξη του σύμπαντος.