L'arrivée des machines quantiques risque de révolutionner de nombreux domaines, en particulier celui des algorithmes combinatoires. En effet, ces machines proposent plusieurs algorithmes d'optimisation, tels que, QAOA pour "Quantum Approximate Optimization Algorithm", VQE pour "Variational Quantum Eigensolver" ainsi que l'algorithme de recherche à partir d'un oracle publié par Lov Grover. Ces algorithmes apportent chacun un gain théorique sur le temps de calcul pour certains problèmes combinatoires. Cependant, à ce jour il existe plusieurs technologies différentes permettant de concevoir une puce quantique dont aucune n'est pour l'instant dominante. Dans ce travail nous nous intéressons aux machines appelées "machines à portes" et aux machines dites à "recuit quantique". Les exécutions pour les machines à portes sont réalisées sur les simulateurs et les machines d'IBM à l'aide de la bibliothèque Qiskit et de la bibliothèque Ocean de D-Wave pour les machines de type recuit quantique.L'objectif est de proposer plusieurs modèles avec leurs circuits quantiques associés pour le problème de partitionnement d'hypergraphes et de mesurer la complexité en espace et en nombre de portes des différents algorithmes d'optimisation choisis.
L'arrivée des machines quantiques risque de révolutionner de nombreux domaines, en particulier celui des algorithmes combinatoires. En effet, ces machines proposent plusieurs algorithmes d'optimisation, tels que, QAOA pour "Quantum Approximate Optimization Algorithm", VQE pour "Variational Quantum Eigensolver" ainsi que l'algorithme de recherche à partir d'un oracle publié par Lov Grover. Ces algorithmes apportent chacun un gain théorique sur le temps de calcul pour certains problèmes combinatoires. Cependant, à ce jour il existe plusieurs technologies différentes permettant de concevoir une puce quantique dont aucune n'est pour l'instant dominante. Dans ce travail nous nous intéressons aux machines appelées "machines à portes" et aux machines dites à "recuit quantique". Les exécutions pour les machines à portes sont réalisées sur les simulateurs et les machines d'IBM à l'aide de la bibliothèque Qiskit et de la bibliothèque Ocean de D-Wave pour les machines de type recuit quantique.L'objectif est de proposer plusieurs modèles avec leurs circuits quantiques associés pour le problème de partitionnement d'hypergraphes et de mesurer la complexité en espace et en nombre de portes des différents algorithmes d'optimisation choisis.
L’arrivée des machines quantiques risque de révolutionner de nombreux domaines, en particulier celui des algorithmes combinatoires. Cette étude propose d’évaluer la performance des algorithmes existants (et publiés) et d’éclairer les opportunités des algorithmes quantiques.Dans un premier temps, nous allons aborder l’algorithme de recherche dans une base non structurée de Lov Grover (1996) ainsi que deux autres algorithmes inspirés de l’algorithme de Grover traitant le problème de satisfiabilité d’une formule logiqueet la recherche d’éléments dans un tableau. La seconde partie présente des algorithmes quantiques nécessaires pour faire de l’optimisation combinatoire, tels que la somme ou encore la minimisation. Enfin, nous abordons le problème de la couverture d’arêtes (Vertex Cover - VC) et voyageur de commerce (Traveling Salesman Problem - TSP).
Méthodes d'optimisation variationnelles quantiques et leurs applications L'informatique quantique est un domaine en plein essor qui a suscité un intérêt considérable au cours des deux dernières décennies en raison de sa promesse de révolutionner plusieurs domaines des affaires et de la science. Il s'agit d'une nouvelle façon d'effectuer des calculs en utilisant les propriétés fondamentales de la mécanique quantique telles que la superposition et l'intrication. L'optimisation, quant à elle, est un domaine omniprésent dans l'industrie et où de petites améliorations peuvent avoir un impact significatif. Cette thèse vise à résoudre des problèmes d'optimisation à l'aide d'algorithmes quantiques.Les problèmes d'optimisation NP-difficiles ne sont pas considérés comme pouvant être résolus exactement par des algorithmes généraux en temps polynomial. Les algorithmes quantiques variationnels (VQA en anglais) destinés à résoudre ces problèmes combinatoires ont récemment fait l'objet d'un grand intérêt. Ces algorithmes sont heuristiques et visent à obtenir une solution approximative. Cependant, le matériel en est encore à ses débuts et les ordinateurs quantiques bruyants à échelle intermédiaire (NISQ en anglais) actuels ne sont pas en mesure d'optimiser les problèmes d'intérêt industriel. De plus, le stockage des qubits et l'introduction de l'intrication nécessitent des conditions physiques extrêmes. Les algorithmes d'optimisation quantique contemporains, tels que le algorithme d'optimisation approximative quantique, Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) en anglais, posent un problème : leur échelle est linéaire en fonction de la taille du problème. Pour résoudre ce problème, nous présentons l'encodage LogQ, qui permet de concevoir des algorithmes variationnels quantiques dont l'échelle est logarithmique avec la taille du problème, ce qui ouvre la voie au traitement de problèmes d'optimisation d'une ampleur sans précédent sur des ordinateurs quantiques basés sur des portes. Nous montrons comment cet algorithme peut être appliqué à plusieurs problèmes d'optimisation combinatoire tels que Maximum Cut, Minimum Partition, Maximum Clique and Maximum Weighted Independent Set (MWIS). Ensuite, ces algorithmes sont testés sur un simulateur quantique avec des graphes de plus d'une centaine de nœuds et sur un véritable ordinateur quantique jusqu'à des graphes de taille 256. À notre connaissance, il s'agit des plus grands problèmes réalistes d'optimisation combinatoire jamais exécutés sur une machine NISQ, dépassant de près de dix fois la taille des problèmes résolus précédemment.Ensuite, nous appliquons le codage LogQ à deux cas d'utilisation pour de grandes entreprises telles que TotalEnergies. La conversion de la flotte est le processus de transition d'une flotte de véhicules vers des alternatives plus durables et plus respectueuses de l'environnement. Il est modélisé comme un schéma de génération de colonnes avec le problème MWIS comme sous-problème ou problème de travailleur. Nous utilisons la méthode LogQ pour résoudre le problème de travailleur MWIS et démontrons comment les solveurs quantiques et classiques peuvent être utilisés ensemble pour aborder un cas d'utilisation de taille industrielle. La segmentation de maillage fait référence au processus de division d'un maillage complexe (composé de sommets, d'arêtes et de faces) en parties ou régions significatives et sémantiquement cohérentes. La segmentation du maillage joue un rôle important dans la modélisation informatique, qui est largement utilisée dans les domaines clés des activités de TotalEnergies, tels que l'imagerie terrestre, la modélisation physique des réservoirs, etc. Nous définissons le problème comme un problème d'optimisation de graphe et utilisons l'encodage LogQ pour le résoudre.
Vers des algorithmes quantiques efficaces pour l'optimisation et l'échantillonnage Récemment, avec l'avènement du big data et de l'apprentissage machine à grande échelle, il y a eu une demande croissante pour des algorithmes quantiques qui seraient plus directement applicables à des problèmes pertinents en pratique. Dans cette thèse, nous présentons trois algorithmes qui visent à nous rapprocher de cet objectif. Premièrement, nous développons un algorithme quantique pour l'optimisation cornettique, une classe de problèmes d'optimisation qui se situe entre les programmes linéaires et semi-définis en termes d'expressivité et de facilité de résolution. Ces problèmes sont le plus souvent résolus avec l'aide d'une méthode de point intérieur, dont la complexité est principalement imposée par le coût de la résolution d'une série de systèmes linéaires. Dans notre algorithme, nous résolvons ces systèmes linéaires de manière approximative à l'aide d'un algorithme quantique, et nous prouvons que la méthode des points intérieurs qui en résulte converge vers la solution correcte en un même nombre d'itérations. Nous donnons des preuves numériques que l'algorithme fournit des accélérations de bout en bout dans certaines applications de faible précision telles que les machines à vecteurs de support et l'optimisation de portefeuille financier. L'algorithme des systèmes linéaires quantiques que nous utilisons est le résultat d'une longue ligne de recherche engendrée par l'algorithme de système linéaire quantique de Harrow, Hassidim et Lloyd. Bien qu'il ait été prouvé qu'il est asymptotiquement optimal, le circuit correspondant compliqué et nécessite un prétraitement classique. La deuxième contribution de cette thèse est un algorithme quantique amélioré pour les systèmes linéaires, basé sur la méthode classique optimale de l'itération de Chebyshev. Enfin, nous observons que les algorithmes susmentionnés ont la propriété commune d'approximer l'unique vraie solution du problème donné. En général, la conception de tels algorithmes quantiques est difficile, car souvent la seule façon de récupérer (une approximation de) la vraie solution est d'exécuter l'algorithme plusieurs fois (soit naïvement, soit par amplification d'amplitude) et de calculer certaines statistiques (par exemple la moyenne) des sorties mesurées. Si les ordinateurs quantiques donnent intrinsèquement accès à l'échantillonnage de leurs sorties, pourrions-nous les exploiter pour accélérer les problèmes d'échantillonnage classiques? De manière surprenante, il s'avère que l'échantillonnage gaussien n'est pas un problème complètement résolu, même sur les ordinateurs classiques. Notre troisième contribution est un algorithme de Monte Carlo Hamiltonien classique pour l'échantillonnage gaussien dans le modèle d'interrogation du premier ordre. Nous surmontons et contournons plusieurs limites inférieures en prenant des étapes longues et aléatoires pour intégrer le hamiltonien au cœur de l'algorithme.
Résoudre le problème quantique à N-corps à l'aide de calculateurs quantiques Les calculateurs quantiques promettent de résoudre des problèmes insolvables pour les ordinateurs classiques. En particulier, manipuler des états superposés et intriqués de bits quantiques est une voie naturelle pour étudier la physique des systèmes quantiques à N particules. Avec les avancées rapides des technologies quantiques, nous avons pu voir émerger les premiers processeurs quantiques, nommés processeurs "NISQ" (de l'anglais "Noisy-Intermediate-Scale-Quantum"). Les progrès de ces machines ouvrent de nouveaux chemins aux physiciens pour simuler des systèmes quantiques. Cependant, leur taille limitée et les erreurs liées à la décohérence limitent fortement leur usage aujourd'hui. La conception d'algorithmes quantiques efficaces, résistant aux erreurs, est un défi considérable. Ce travail de thèse s'attelle à comprendre les capacités des processeurs quantiques à simuler des systèmes quantiques à N corps, avec une attention particulière aux applications pour la physique de la matière condensée. Dans un premier temps, nous abordons le sujet du calcul de l'état fondamental d'Hamiltoniens, à l'aide d'un algorithme variationnel quantique-classique (nommée l'algorithme VQE, de l'anglais « Variational Quantum Eigensolver »). Nous évaluons les performances de cette méthode sur le modèle de Hubbard, grâce à différentes métriques, comme la fidélité, l'énergie et les propriétés physiques des solutions obtenues. Nous démontrons, malgré des performances prometteuses en simulant un calculateur quantique sans bruit, que le niveau de bruit des machines contemporaines rend impossible la réalisation d'un calcul significatif. En revanche, certains états quantiques aux propriétés intéressantes peuvent avoir une forme simple. Leur préparation sur un calculateur quantique est un problème pertinent dans le but d'initialiser un calcul quantique avec ces états pour les amener vers des régimes où ils perdent leur forme simple. Pour illustrer ceci, nous prenons l'exemple du modèle Affleck-Lieb-Kennedy-Tasaki (AKLT), le premier modèle de chaîne de spin entier antiferromagnétique possédant une solution simple vérifiant la conjecture d'Haldane. Nous proposons deux schémas pour préparer les états AKLT, l'un suivant leur construction naturelle en projetant des paires de qubits sur leur sous-espace triplet, l'autre utilisant leur forme de réseaux de tenseurs. Nous analysons l'implémentation de ces méthodes en fonction de la taille du système, avec une réalisation expérimentale sur un processeur quantique. Enfin, nous explorons la synergie entre les méthodes de réseaux de tenseurs et les calculateurs quantiques bruités pour simuler la dynamique hors-équilibre de systèmes de spins. La simulation de dynamique quantique est une tâche naturelle pour les calculateurs quantiques, mais atteindre des temps longs est fortement limité par le bruit. D'autre part, les réseaux de tenseurs sont également limités aux temps courts, contraints par la quantité d'intrication qu'ils peuvent encoder. Nous proposons d'utiliser le meilleur des deux mondes : la dynamique à temps court est simulée efficacement par un réseau de tenseur, compilée vers des circuits quantiques de faible profondeur pour poursuivre l'évolution temporelle sur le calculateur quantique. Nous étudions les performances de ce schéma hybride quantique-classique en regardant la fidélité des états obtenus et la production d'intrication, avec une validation expérimentale. Finalement, nous proposons d'optimiser les circuits quantiques approximant l'opérateur évolution temporelle grâce à des réseaux de tenseurs, résultant en une simulation quantique classiquement améliorée utilisant moins de ressources quantiques.
Algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles : circuits quantiques et applications physiques Les simulations classiques actuelles des phénomènes physiques présentent de nombreuses limitations, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes complexes tels que les fluides turbulents, les plasmas ou les matériaux quantiques fortement corrélés. Ces simulations rencontrent souvent des difficultés liées à des coûts de calculs élevés, une mise à l'échelle limitée à travers plusieurs dimensions ou échelles temporelles, ainsi qu'à la complexité de capturer des dynamiques intrinsèquement non-linéaires ou chaotiques. Même avec l'accès à des ressources de calcul haute performance (HPC), la résolution précise des dynamiques à fine échelle ou des évolutions sur de longues périodes reste un défi majeur. Le développement de nouvelles méthodes numériques est donc essentiel, tant pour la recherche académique que pour les applications industrielles. Les ordinateurs quantiques émergent comme de nouveaux outils numériques pour l'étude de tels systèmes et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les modélisent. Grâce aux propriétés de superposition et d'intrication des qubits, les calculs numériques peuvent être réalisés de manière inédite, offrant des avantages théoriques prometteurs pour certains problèmes. Dans ce contexte, cette thèse contribue au développement et à la compréhension des algorithmes quantiques, allant de la conception de circuits quantiques à la résolution numérique d'équations différentielles partielles et ordinaires. Dans une première partie, des circuits quantiques efficaces sont présentés pour l'implémentation de routines couramment utilisées dans les algorithmes quantiques (opérations multi-contrôlées, préparation d'états quantiques, opérations diagonales), ainsi que pour une nouvelle routine : la transformée de Laplace quantique. Ces routines limitaient l'efficacité des algorithmes quantiques en raison d'implémentations génériques dont la complexité croissait de manière exponentielle avec le nombre de qubits. Désormais, ces tâches peuvent être réalisées à l'aide de circuits quantiques adaptés qui exploitent la structure des problèmes physiques. Dans une seconde partie, des schémas numériques quantiques sont introduits pour résoudre des équations de transport anisotropes et des équations différentielles ordinaires hamiltoniennes non linéaires. Ces schémas se composent de trois étapes (initialisation, évolution et mesure) et reposent sur des approximations en différences finies d'ordre élevé et des formules de Trotterisation. Des protocoles efficaces pour mesurer des grandeurs d'intérêt sont présentés, et une nouvelle analyse numérique, basée sur la norme vectorielle plutôt que sur la norme d'opérateur générique, est introduite. Cette approche permet d'atteindre une précision donnée tout en réduisant le nombre de pas de temps par un facteur qui croît de manière exponentielle avec le nombre de qubits. De plus, une étude de différentes transformations de Madelung non linéaires est présentée afin de résoudre certaines équations fluides sur ordinateur quantique. Les différents résultats de cette thèse sont illustrés par des simulations classiques des algorithmes quantiques ainsi que par des simulations sur des processeurs quantiques actuels. Ce travail pose les bases de la simulation pratique de systèmes physiques classiques, aussi bien sur les dispositifs quantiques actuels de type NISQ (noisy intermediate-scale quantum) que sur les futurs ordinateurs quantiques tolérants aux erreurs.
Algorithmes quantiques pour la chimie quantique ab initio : une approche à plusieurs échelles L'équation de Schrödinger polyélectronique régit l'évolution non relativiste des systèmes quantiques tels que les électrons, atomes et molécules. La chimie quantique ab initio consiste à trouver des solutions approximées de cette équation afin de prédire des propriétés moléculaires comme les longueurs de liaison, les spectres vibrationnels et les mécanismes réactionnels. Malgré les immenses progrès de la puissance de calcul, atteindre la précision chimique (une erreur d'énergie inférieure à 1 kcal/mol) reste exponentiellement coûteux pour les algorithmes classiques lorsque la taille du système augmente. Cette limite a conduit à envisager l'informatique quantique comme alternative pour la simulation moléculaire, les ordinateurs quantiques obéissant aux mêmes principes physiques que les systèmes simulés. Il a été établi que, sous certaines conditions, l'équation de Schrödinger moléculaire pouvait être résolue en temps polynomial sur un ordinateur quantique, permettant en principe une accélération exponentielle par rapport aux méthodes classiques. La concrétisation de cet avantage reste un problème ouvert et requiert des avancées tant matérielles (stabilité des processeurs) que algorithmiques (consommation de ressources). Ce dernier aspect constitue l'objectif principal de cette thèse. Trois défis fondamentaux sont identifiés: établir une correspondance et une discrétisation efficace entre le problème de structure électronique et les qubits; concevoir des algorithmes pour préparer de bonnes approximations de l'état fondamental ; décomposer les opérations quantiques en circuits implémentables à coût minimal. La première partie traite du court terme, où le faible nombre de qubits et le bruit limitent les opérations exécutables. Dans ce contexte, le Variational Quantum Eigensolver (VQE) et son extension adaptative ADAPT-VQE sont des références établies. Nous proposons plusieurs améliorations pour la construction adaptative d'ansätze. L'algorithme Greedy Gradient-Free Adaptive VQE simplifie le processus d'optimisation, réduisant considérablement la consommation de ressources et permettant même une démonstration sur un processeur de 25 qubits. La méthode Overlap-ADAPT-VQE introduit un schéma de compactification variationnelle qui reconstruit des approximations d'états quantiques cibles, permettant en chimie quantique d'accélérer significativement la convergence du VQE pour divers niveaux de corrélation électronique. Nous développons ensuite une stratégie d'initialisation des registres quantiques à partir de fonctions d'onde corrélées issues de calculs classiques, pour combiner calcul haute performance et post-traitement quantique. La seconde partie adopte une perspective de long terme centrée sur le comportement asymptotique des algorithmes. Nous présentons une décomposition de la porte NOT multi-contrôlée avec une profondeur de circuit polylogarithmique en nombre de qubits de contrôle, offrant une amélioration exponentielle sur les approches linéaires existantes. Enfin, nous proposons une méthode de chimie quantique en espace réel, compatible avec les algorithmes quantiques d'extraction de valeurs propres. L'objectif étant d'améliorer la convergence spatiale en remplaçant les discrétisations uniformes, utilisées dans la plupart des approches en première quantification, par des grilles non uniformes, adaptées à la molécule, qui concentrent les points de discrétisation dans les zones de forte densité électronique. Nous étendons cette stratégie aux hamiltoniens transcorrélés : des opérateurs qui régularisent les singularités du potentiel coulombien, et dont les fonctions propres sont lisses dans l'espace. Notre approche est plurielle, explorant tous les niveaux d'abstraction, de la théorie à l'implémentation, et couvrant des algorithmes exploitables sur des machines actuelles, et d'autres destinés aux architectures de long terme. Ces contributions renforcent les fondements des algorithmes quantiques pour la simulation moléculaire.