§ 39. Die Ununterscheidbarkeit der Teilchen

Nicolás Medina Sánchez

Diese Dissertation entwickelt eine neuartige operative Perspektive auf das Verhalten quantenmechanischer Teilchen. Der Ansatz folgt der operativen Rekonstruktion der Quantentheorie, in der empirische Szenarien durch Präparationen, Transformationen und Messungen modelliert werden. In der Praxis unterscheiden wir bislang zwei Familien quantenmechanischer Teilchen nach ihrem statistischen Verhalten: Bosonen und Fermionen. Der Weg, auf dem sich diese beiden Klassen in der Literatur herausgebildet haben, geht der modernen Quantentheorie historisch voraus und lässt sich auf Probleme der Ununterscheidbarkeit von Teilchen zurückführen, die bereits in der klassischen statistischen Mechanik auftreten. Die physikalischen Prinzipien jedoch, die allein diese beiden Typen von Teilchen im Universum auszeichnen sollen, bleiben unklar. Das Ziel dieser Dissertation ist es, zu klären, warum das so ist. Kapitel 1 bietet einen Überblick darüber, wie Ununterscheidbarkeit und Identität im Laufe eines Jahrhunderts behandelt wurden, einschließlich der Symmetrisationspostulate sowie algebraischer, topologischer und raumzeitlicher Argumente in der Quantenfeldtheorie. Kapitel 2 führt eine vollständige Charakterisierung derjenigen Teilchenstatistiken ein, die mit universellen operativen Szenarien vereinbar sind. Diese Szenarien erzwingen Symmetrieeinschränkungen auf den zugänglichen Quantenzustandsräumen, die sich aus der Wirkungsweise von Interferometern auf Einzelteilchen und der Detektion mehrerer Teilchen ergeben. Unter vollständiger Kenntnis der inneren Freiheitsgrade bleiben nur Bosonen und Fermionen konsistent. Wenn man diese Bedingung lockert, treten jedoch neue Klassen von quantenmechanischen Teilchen zutage, die wir Transtatistiken nennen. Sie sind vollständig mit der Quantentheorie vereinbar, wurden jedoch bislang in der Literatur nicht diskutiert. Kapitel 3 ordnet diese Ergebnisse dem Übergang von der ersten zur zweiten Quantisierung zu und untersucht, ob die in Kapitel 2 eingeführten alternativen Statistiken auf diesem Wege erzeugt werden können. Wir konstruieren Vielteilchenzustände als Äquivalenzklassen von Zuständen identischer, aber unterscheidbarer Konstituenten und erhalten quadratische Algebren, die transtatistische Zustandsräume reproduzieren und zugleich neue Werkzeuge für Vielteilchensysteme und letztlich auch für die Feldtheorie bereitstellen. Dieses Projekt bildete den zentralen Teil meiner Promotion unter der Betreuung von Borivoje Dakic.

K. Wildermuth

An Hand eines einfachen Beispiels wird die analytische Struktur des Oppenheimerschen Näherungsverfahrens untersucht. Dabei stellt sich heraus, daß man durch dieses Verfahren (in seiner ursprünglichen Formulierung) die Ununterscheidbarkeit gleicher Teilchen auch nicht näherungsweise berücksichtigen kann (analog zum Bornschen Verfahren). Es wird kurz diskutiert, wie man dieses Verfahren abändern muß, um diese Ununterscheidbarkeit berücksichtigen zu können. Zum Schluß wird noch in einer graphischen Darstellung der elastische Streuquerschnitt für dieses Beispiel in verschiedenen Näherungen zu Vergleichszwecken aufgezeichnet.

K. Beckert

Udo Scherz

Die in der Quantenmechanik zu fordernde UnUnterscheidbarkeit identischer Teilchen hat, wie in Abschn. 4.5 ausgeführt, das Pauli-Prinzip zur Folge. Danach müssen Mehrteilchenzustände von Fermionen oder Bosonen bezüglich der Vertauschung identischer Teilchen antisymmetrisch bzw. symmetrisch sein. Führt man numerierte Koordinaten von Ort und Spin für die einzelnen Teilchen ein, so müssen die Mehrteilchenzustände durch aufwendige Summen antisymmetrisiert bzw. sym-metrisiert werden, vergl. Gl. (4.31) bzw. (4.32). In diesem Kapitel soll eine andere Methode besprochen werden um das Pauli-Prinzip zu gewährleisten ohne diese Summen wiederholt ausführen zu müssen. Im Rahmen des Teilchenzahlformalismus wird dabei eine Numerierung von vornherein vermieden, indem nur die Anzahl der Teilchen n ν angegeben wird, die sich in einem bestimmten Einteilchenzustand ψ ν befinden. Bei Fermionen können nach dem in Abschn. 4.5 Gesagten diese soge-nannten Besetzungszahlen n ν wegen des Pauli-Prinzips nur die Werte Null oder Eins annehmen, während diese Beschränkung für Bosonen nicht gilt und die n ν entweder Null oder eine natürliche Zahl sind.

Karl Bechert