Der vorliegende Band setzt das von L. D. LANDAU geplante Vorhaben fort, dessen Ziel bereits im Vorwort zum ersten Band dargelegt wurde und darin besteht, ein Minimum an Kenntnissen auf dem Gebiet der theoretischen Physik zu vermitteln, das man jedem heutigen Physiker unabhängig von seinem speziellen Arbeitsgebiet zum Studium empfehlen könnte.Der erste Teil dieses Bandes, die nichtrelativistische Quantentheorie, folgt der von L. D. LANDAU und mir verfaßten "Quantenmechanik" (Band III der großen Reihe).Die Kürzung des Stoffes wurde durch Weglassen sowohl ganzer Abschnitte von mehr speziellem Interesse als auch einer großen Anzahl methodischer, für den professionellen Theoretiker bestimmter Details erreicht.Natürlich mußte bei einer derartigen starken Reduzierung ein bedeutender Teil des Textes neu geschrieben werden.Dabei strebte ich jedoch danach, dengesamten Charakter und den Stil der Darlegung zu bewahren und nirgends Vereinfachungen auf dem Wege irgendeiner Vulgarisierung der Begriffe zuzulassen.Die Vereinfachung wird ausschließlich auf Kosten einer geringeren Ausführlichkeit erreicht.Im ersten Teil des vorliegenden Bandes ist kaum die Formulierung "man kann zeigen" anzutreffen; die hier dargelegten Resultate werden zusammen mit entsprechenden Herleitungen angegeben.Letzteres trifft allerdings nur in geringerem Maße auf den zweiten Teil dieses Bandes zu.Dieser Teil folgt dem Charakter der Darlegung nach der von mir gemeinsam mit W. B. BERESTETZKI und L. P. PITAJEWSKI verfaßten "Relativistischen Quantentheorie" (Band IVa der großen Reihe des Lehrbuches der Theoretischen Physik).Teil II behandelt indessen nur die Grundlagen der Quantenelektrodynamik.Auch hier strebte ich an, die Darlegung des Stoffes derart aufzubauen, daß nach Möglichkeit die physikalischen Voraussetzungen und die logische Struktur der Theorie klar hervortreten.Jedoch wegen der beträchtlichen Kompliziertheit der Rechnungen, an die eine Lösung konkreter Probleme auf diesem Gebiet gewöhnlich gebunden ist, wirdeine Reihe von Anwendungen der Theorie nur in Form der Ergebnisse diskutiert.Bei der Auswahl des Materials für diesen Teil des vorliegenden Buches ließ ich mich darüber hinaus vom Inhalt der Vorlesungsreihe über Quantenelektrodynamik leiten, die L. D. LAN-DAU im Studienjahr 1959/60 an der Moskauer LOMONOSSOW-Universität hielt.In diesem Zusammenhang danke ich A. S. KOMPANEJETZ, N. I. BUDKO und P. S.
Der vorliegende Band setzt das von L. D. LANDAU geplante Vorhaben fort, dessen Ziel bereits im Vorwort zum ersten Band dargelegt wurde und darin besteht, ein Minimum an Kenntnissen auf dem Gebiet der theoretischen Physik zu vermitteln, das man jedem heutigen Physiker unabhängig von seinem speziellen Arbeitsgebiet zum Studium empfehlen könnte.Der erste Teil dieses Bandes, die nichtrelativistische Quantentheorie, folgt der von L. D. LANDAU und mir verfaßten "Quantenmechanik" (Band III der großen Reihe).Die Kürzung des Stoffes wurde durch Weglassen sowohl ganzer Abschnitte von mehr speziellem Interesse als auch einer großen Anzahl methodischer, für den professionellen Theoretiker bestimmter Details erreicht.Natürlich mußte bei einer derartigen starken Reduzierung ein bedeutender Teil des Textes neu geschrieben werden.Dabei strebte ich jedoch danach, dengesamten Charakter und den Stil der Darlegung zu bewahren und nirgends Vereinfachungen auf dem Wege irgendeiner Vulgarisierung der Begriffe zuzulassen.Die Vereinfachung wird ausschließlich auf Kosten einer geringeren Ausführlichkeit erreicht.Im ersten Teil des vorliegenden Bandes ist kaum die Formulierung "man kann zeigen" anzutreffen; die hier dargelegten Resultate werden zusammen mit entsprechenden Herleitungen angegeben.Letzteres trifft allerdings nur in geringerem Maße auf den zweiten Teil dieses Bandes zu.Dieser Teil folgt dem Charakter der Darlegung nach der von mir gemeinsam mit W. B. BERESTETZKI und L. P. PITAJEWSKI verfaßten "Relativistischen Quantentheorie" (Band IVa der großen Reihe des Lehrbuches der Theoretischen Physik).Teil II behandelt indessen nur die Grundlagen der Quantenelektrodynamik.Auch hier strebte ich an, die Darlegung des Stoffes derart aufzubauen, daß nach Möglichkeit die physikalischen Voraussetzungen und die logische Struktur der Theorie klar hervortreten.Jedoch wegen der beträchtlichen Kompliziertheit der Rechnungen, an die eine Lösung konkreter Probleme auf diesem Gebiet gewöhnlich gebunden ist, wirdeine Reihe von Anwendungen der Theorie nur in Form der Ergebnisse diskutiert.Bei der Auswahl des Materials für diesen Teil des vorliegenden Buches ließ ich mich darüber hinaus vom Inhalt der Vorlesungsreihe über Quantenelektrodynamik leiten, die L. D. LAN-DAU im Studienjahr 1959/60 an der Moskauer LOMONOSSOW-Universität hielt.In diesem Zusammenhang danke ich A. S. KOMPANEJETZ, N. I. BUDKO und P. S.
Die Bohrs che Theorie, die uns eine Vorstellung vom Bau des Atoms gegeben hat, und die mit ihr aufs engste verknüpfte Quantenlehre, die dieser Theorie zugrunde liegt, sind nicht nur in fast alle Gebiete der Physik eingedrungen, sondern haben auch in der Chemie eine gewaltige, beständig wachsende Bedeutung erlangt. Diese Wissenschaft befaßt sich vor allem mit Atomen und Molekülen, und daher ist es von vornherein klar, daß eine Lehre, die so viel Neues über diese Atome gebracht hat, auch für die Chemie als eine Art Offenbarung erscheinen, ihr einen Zufluß von neuen Ideen geben, neue weite Horizonte eröffnen und zur Entwicklung sowie Vertiefung der theoretischen Grundlagen beitragen mußte, mit denen diese Wissenschaft das von ihr erlangte, fast unübersehbare Versuchsmaterial zusammengefaßt und synthesiert. Es ist ohne weiteres klar, daß wir der Anwendung der neuen Lehre auf die Chemie nur wenig Platz einräumen können und nur bei den Fragen verweilen werden, die für die Physik von Interesse sind. Ohne auf Einzelheiten einzugehen, und sich in jedem speziellen Falle auf ein oder zwei Beispiele beschränkend, werden wir unser Hauptaugenmerk auf die leitenden Grundgedanken und Tatsachen richten, durch die die Anwendungen der neuen, auf dem Boden der Physik entstandenen und zur Blüte gelangten Ideen auf die Chemie charakterisiert werden.
Während unseres Weges durch die theoretische Physik ist uns der Begriff der Wahrscheinlichkeit immer wieder begegnet. Wir haben mathematische Bilder kennengelernt (VI, § 5.7; XI, § 1.7; XIII, § 1.2), sie vielfältig angewandt, besonders auch in der statistischen Mechanik (XV); und wir haben eine Interpretation dieser Bilder gegeben, indem wir sagten, daß gemessene Häufigkeiten mit den mathematischen Wahrscheinlichkeiten zu vergleichen seien (siehe insbesondere XIII, § 1.2). Dieser sogenannte physikalische Wahrscheinlichkeitsbegriff lag allen unseren Überlegungen zugrunde. Es hat sich gezeigt, daß er für alle physikalischen Theorien auf das in XIII, § 1.2 beschriebene mathematische Bild der statistischen Auswahlverfahren mit ihrer Interpretation zurückgeführt werden kann. In XIII, § 1 bis 3 haben wir die zunächst in XI, § 1.7 heuristisch für die Quantenmechanik eingeführte Beschreibung der Wahrscheinlichkeiten auf die in XIII, § 1.2 dargestellten Grundlagen explizit zurückgeführt. Auch die in VI, § 5.7 eingeführte Beschreibung läßt sich auf XIII, § 1.2 zurückführen, auch wenn wir dies in diesem Buch nicht ausführlich dargestellt haben. Für unsere Darstellung der Theorie makroskopischer Systeme in XV haben wir gleich die Grundlagen aus XIII, §§ 1.2 und 1.3 benutzt.
Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen, der erste betrifft die Quantenmechanik, im zweiten geht es um Quantenkosmologie. Beiden liegt das Bestreben zu Grunde, den Übergang von klassischer Dynamik zu quantenmechanischem Verhalten zu verstehen, und die auftretenden Abweichungen zu analysieren. Im ersten Teil liegt das Interesse bei der semiklassischen Phase der Zeitentwicklung, in der zwar noch keine Revivalph\"anomene, auftreten, aber dennoch bereits Quanteneffekte zum tragen kommen. Es wird die Methode der Laplacetransformation eingeführt, mit deren Hilfe man die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung angeben kann, wenn die Lösung der zeitunabhängigen Gleichung bekannt ist. Dabei ist es nicht nötig, Eigenzustände zu summieren oder das Pfadintegral zu Hilfe zu nehmen. Es werden die Propagatoren für das Kastenpotential, die Potentialstufe, das asymmetrische Kastenpotential (Kasten mit Ausgang) und die endliche Barriere hergeleitet. Die Lösungen geben anschaulich die Dynamik der Wellenpakete wieder und beinhalten das quantenmechanische Analogon zum klassischen Reflexionsprozess. Im Fall des Kastenpotentials gelingt es, die Spiegellösung herzuleiten, ohne dabei die Symmetrie des Potentials zu Hilfe zu nehmen. Es werden zwei Theoreme präsentiert, die zeigen, dass in einer bestimmten Phase der Zeitentwicklung nur bestimmte Terme der Spiegiellösung zum tragen kommen. Bei der Potentialsufe wird gezeigt, dass Wellenpakete, die eine niedrigere Enegrie als die der Stufe haben, nur während des Reflexionsprozesses in den verbotenen Bereich jenseits der Stufe hineinfließen. Der Reflexionskoeffizient für genügend konzentrierte Wellenpakete enspricht dem bekannten Wert für das zeitunabhängige Problem. Die Propagator für das asymmetrische Kastenpotential stellt sich als intuitive Kombination der Lösungen für das das gewöhnliche Kastenpotential und die Potentialstufe heraus. Dieses Ergebnis unterscheidet sich grundsätzlich von dem, was unter dem Gesichtspunkt der Darstellung als einer Kombination von Eigenzuständen erwartbar ist, da der Kasten mit Ausgang zum Unterschied vom unendlich hohen Potentialtopf sowohl gebundene als auch ungebundene Eigenzustände besitzt. Soweit bekannt ist, ist das Anfangswertproblem für das asymmetrische Kastenpotential noch nicht betrachtet worden. Bei der Untersuchung der endlichen Barriere ist es gelungen, den Hartmann Effekt in einem neuen Licht erscheinen zu lassen. Dieser besagt, dass für genügend dicke Barrieren die Tunnelzeit nicht von der Barrierendicke abhängt. Interessanter Weise ist es jedoch nicht ein Wellenpaket, das die Barriere verlässt, sondern es sind unendlich viele, die eines nach dem anderen hindurch tunneln. Die Zeit, die jedes davon für das Durchtunneln der Barriere benötigt hängt nicht von der Dicke der Barriere ab. Aber je dicker die Barriere ist, desto stärker werden die späteren Wellenpakete abgeschwächt. Um eine eindeutige Zeitentwicklung in der Quantenkosmologie zu erhalten, wurde die unimodulare Theorie anstatt der allgemeinen Relativitätstheorie als Ausgangspunkt für die kanonische Quantisierung verwendet. Diese Theorie ist praktisch ununterscheidbar von der allgemeinen Relativit\"atstheorie. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die kosmologische Konstante eine Erhaltungsgröße und nicht eine Naturkonstante ist. Da die unimodulare Theorie jedoch eine andere kanonische Struktur hat, führt sie auf eine Quantentheorie, die eine Zeitentwicklung zulässt. Im Rahmen des untersuchten Modells eines räumlich flachen Universums mit einem masselosen skalaren Feld werden Lösungen mit einer unitären Zeitentwicklung konstruiert. Im Gegensatz zu den geläufigen quantenmechanischen Modellen (wie den im ersten Teil untersuchten), bekommen die Lösungen in diesem Modell mit der Zeit in einem gewissen Sinn immer mehr klassischen Charakter. Außerdem ist es gelungen das Analogon zu den de Sitter Lösungen zu finden, indem bestimmte Symmetriebedingungen an die Lösungen gestellt werden. In einem expliziten Beispiel werden Lösungen präsentiert, die über die Singularität bei t=0 hinaus fortgesetzt werden können, wobei die minimale Ausdehnung das Universums endlich bleibt.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
Im Sommer des Jahres 1965 fand an der Washingtoner Universität in Seattle eine Konferenz über neue Lehrmethoden in der Physik statt.Bei einer vorbereitenden Planungsdiskussion wurde darauf hingewiesen, daß viele Studenten beim Erfassen einiger Begriffe der modernen Physik Schwierigkeiten haben, insbesondere bei denen der Quantentheorie, und daß eine Wiederholung der experimentellen Grundlagen nützlich wäre.Mit diesem Buch wird versucht, dem gerecht zu werden.Die Auswahl der zu berücksichtigenden Experimente ist zwangsläufig willkürlich.Selbstverständlich werden die Vorstellungen der Quantentheorie stark betont, da sie sehr oft dem "gesunden Menschenverstand" widersprechen.Andererseits ist die spezielle Relativitätstheorie, obwohl sie in ähnlicher Weise dem "gesunden Menschenverstand" widerspricht, nicht berücksichtigt, weil sie sich erstens fast vollständig auf ein einziges Experiment stützt, das zu gut bekannt ist, um hier wiederholt zu werden, und weil sie zweitens im Momentum Book, Band 9, An Introduction to the Special Theory of Relativity, von ROBBET KATZ treffend dargestellt ist.Untersuchungen der Eigenschaften des Elektrons sind zweifellos ebenfalls wichtig.Sie sind aber im Momentum Book, Band 3, The Discovery of the Electron, von DAVID L. ANDERSON enthalten.Dieses Buch kann mit unterschiedlichen Vorkenntnissen gelesen werden.Es ist so geschrieben, daß es für Abiturienten und Studenten der ersten Semester verständlich ist, wenn sie über Grundkenntnisse der klassischen Physik verfügen.Die Ausführungen sollen ihnen erleichtern, die mitunter paradoxen Vorstellungen, auf denen die moderne Physik aufbaut, zu erfassen.Das Buch kann aber auch für Studenten höherer Semester, die ihr Wissen in einen besseren historischen Rahmen einbetten möchten, nützlich sein.Deshalb ist versucht worden, jedes Experiment -mit einer Ausnahme, auf die ausdrücklich hingewiesen wird -vom Standpunkt eines Physikers jener Zeit darzustellen und die Experimente hinreichend ausführlich zu
In der vorliegenden Arbeit „Schrödinger's Equation as Newtons's Law of Motion“ werden neuere Ergebnisse aus dem Gebiet der Transporttheorie vorgestellt und gezeigt wie die wohl bekannteste Gleichung der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung als Newtonsche Gleichung geschrieben werden kann. Also als eine klassische Bewegungsgleichung. Zu Beginn werden die für die Arbeit wichtigsten Ergebnisse der Transporttheorie behandelt. Die Existenz einer optimalen Transportstrategie im Sinne von Kantorovich steht ganz zu Beginn. Es folgen die Definition einer Metrik auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße und wichtige Eigenschaften dieser Metrik (z.B.: Metrisierung der schwachen Topologie). Danach wird aus der Existenz einer Lösung des Transportproblems im Sinne von Kantorovich die Existenz einer optimalen Transportabbildung hergeleitet. Eine solche Transportabbildung wird auch Lösung des Mongeproblems genannt. Die Herleitung dieser optimalen Abbildung erfolgt nur für den speziellen Fall der für die Arbeit wichtigen Kostenfunktion (die Distanzfunktion des Grundraums zum Quadrat). Mit Hilfe dieser Abbildung werden dann die wichtigsten Resultate für die angestrebte Geometrisierung des Raumes der Wahrscheinlichkeitsmaße gezeigt. Zuerst wird mittels der Transportabbildung eine ganze Familie von Transportabbildungen definiert. Diese Familie von Abbildungen erlaubt es dann Geodäten auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße zu definieren. In Abschnitt 6 werden diesen Geodäten Vektorfelder zugeordnet und mittels dieser Vektorfelder auch Geschwindigkeitsvektoren. In Abschnitt 7 wird dann mit Hilfe der Benamou-Brenier-Formel eine Norm (bzw. inneres Produkt) von Geschwindigkeitsvektoren definiert. Dieses innere Produkt ist von zentralem Interesse. Mit Hilfe dieses Produktes wird dann (formal) eine differenzierbare Struktur, im Sinne der Riemannschen Geometrie, auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße definiert. Die Notation für diese Geometrie wird in Abschnitt 9 festgelegt. Danach folgen einige Beispiele. Es werden die Gradienten verschiedener Funktionale berechnet. Eines dieser Beispiele (die Fisherinformation) ist auch für den weiteren Teil der Arbeit von höchstem Interesse. Um eine Verbindung der Schrödinger Gleichung zu der von uns angestrebten Newtonschen Gleichung herzustellen ist ein Zwischenschritt erforderlich. In Abschnitt 11 wird ein auf Erwin Madelung zurückgehendes Resultat vorgestellt. Es zeigt, dass die Schrödinger Gleichung in ein System von Gleichungen (eine Hamiltion -Jacobi und eine Kontinuitätsgleichung) umgeschrieben werden kann. Die zentrale Aussage erfolgt dann in Theorem 16. Es wird gezeigt, dass eine Newtonsche Gleichung auf deren rechten Seite ein spezielles Potential steht zu den Madelunggleichungen äquivalent ist. Das angesprochene Potential besteht aus einem klassischen Potential und der sogenannten Fisherinformation. Im letzten Teil der Arbeit wird die Äquivalenz der Gleichungen mittels der Methoden der symplektischen Geometrie gezeigt, um die Aussage in aller Allgemeinheit dar zu stellen.