En el presente trabajo se estudia el problema de una partícula en un pozo de potencial cuadrado finito. Los autovalores correspondientes al hamiltoniano del problema anterior se encuentran por medio de un método que combina el teorema de inversión de Lagrange con una relación de recurrencia para calcular derivadas de orden superior de una función inversa. La metodología utilizada nos permitió obtener una solución en serie de potencias para el potencial de pozo cuadrado finito que dependen del número cuántico principal y de la fuerza de atracción. Por otro lado, nuestros resultados reproducen, como casos particulares, expresiones generales de los autovalores para una partícula ubicada en el fondo del pozo, en la mitad del pozo y en el tope del pozo de potencial. Las energías calculadas se comparan con las soluciones exactas de la ecuación trascendental para el pozo finito.
En el presente trabajo se estudia el problema de una partícula en un pozo de potencial cuadrado finito. Los autovalores correspondientes al hamiltoniano del problema anterior se encuentran por medio de un método que combina el teorema de inversión de Lagrange con una relación de recurrencia para calcular derivadas de orden superior de una función inversa. La metodología utilizada nos permitió obtener una solución en serie de potencias para el potencial de pozo cuadrado finito que dependen del número cuántico principal y de la fuerza de atracción. Por otro lado, nuestros resultados reproducen, como casos particulares, expresiones generales de los autovalores para una partícula ubicada en el fondo del pozo, en la mitad del pozo y en el tope del pozo de potencial. Las energías calculadas se comparan con las soluciones exactas de la ecuación trascendental para el pozo finito.
"Es interesante entender el mecanismo por el cual se forman, en la naturaleza, materiales que presentan una asimetr ́ ıa en su aspecto y relacionar esto con un problema cu ́ antico. Para ello analizamos detalladamente el comportamiento de una part ́ ıcula cu ́ antica en un doble pozo de potencial finito y otro parecido, el pozo doble tipo delta de Dirac, con el prop ́ osito de explicar c ́ omo y cu ́ ando se presenta el rompimiento de la simetr ́ ıa en estos casos. Por sencillez, consideramos ambos potenciales en una sola dimensi ́ on ( x ) y enfocamos nuestra atenci ́ on en la simetr ́ ıa V ( x ) = V ( ° x ) de los potenciales. Encontramos, e ilustramos con detalle, los auto-estados (y sus energ ́ ıas) del operador Hamiltoniano ^ H y del operador de simetr ́ ıa de paridad ^ º . Determinamos la evoluci ́ on temporal de los auto-estados de paridad y observamos un rompimiento de la simetr ́ ıa al combinarlos en una forma especial y planteamos las consecuencias de este rompimiento. Resaltamos la relevancia del efecto t ́ unel que surge en el tratamiento cu ́ antico de los problemas y relacionamos los resultados obtenidos con situaciones y materiales presentes en la naturaleza (NH 3 ), su posible influencia en nuestro entorno y en particular, con la f ́ ısica involucrada en el funcionamiento del M ́ aser."
En este trabajo consideramos una partícula cuántica acoplada linealmente a un entorno compuesto por un conjunto continuo de osciladores armónicos. Resolvemos este problema por medio de una diagonalización exacta del Hamiltoniano, utilizando un método de prolongación analítica para el problema de autovalores. Obtenemos la ecuación maestra para el operador densidad reducido y estudiamos el proceso de pérdida de coherencia, en relación con la transición del período cuántico al período clásico para sistemas abiertos. El aporte esencial de este trabajo está dado por la simplicidad de cálculo que se deriva de la resolución exacta de la ecuación de autovalores. El comportamiento disipativo del sistema es evidenciado por la aparición de autovectores generalizados correspondientes a autovalores complejos del operador hamiltoniano, en el marco de la mecánica cuántica con espacios de Hilbert equipados
El trabajo se estructura en 6 capitulos. El capitulo 1 posee fundamentalmente un caracter de introduccion teorica a las herramientas de campo medio que se usan en los diferentes modelos que se presentan, ademas de introducirse otros conceptos que apareceran a lo largo del trabajo. El capitulo 2 tambien constituye una introduccion teorica en la que se realiza un breve analisis del concepto de la decoherencia y sus implicaciones en la Mecanica Cuantica, poniendo especial enfasis en el problema de la medida y como la introduccion del ambiente permite una posible solucion a dicho problema. En este capitulo se presentara la matriz densidad como herramienta basica de trabajo para estudiar el factor de decoherencia.El capitulo 3 se puede dividir en dos bloques. Un primer bloque dedicado la modelo vibronico U(4) y un segundo bloque dedicado a su limite 2D, el modelo U(3). En ambos bloques se expondran las propiedades algebraicas de los dos modelos asi como las diferentes cadenas de simetria que se obtienen. Estos modelos presentan una QPT y usando el formalismo de estados intrinsecos se estudiara la transicion de fase entre la fase simetrica y la fase no simetrica. Sin embargo, se sabe que este metodo es correcto unicamente en el orden mas alto en el desarrollo en potencias de N, donde N es el numero de bosones. Nosotros nos basaremos en el metodo desarrollado en [15] para ir mas alla de este orden y calcular correcciones de tamano finito a varios observables espectroscopicos. Para ello, se introducira la transformacion de Holstein-Primako_ que proporcionara un hamiltoniano en serie de potencias de N donde unicamente se consideraran los terminos en orden mas alto: N, N1/2 y N0. Despues, mediante el uso de una transformacion de Bogoliubov se conseguira la diagonalizacion del hamiltoniano, con lo que se obtendran expresiones analiticas para el estudio del sistema tanto en la fase simetrica como en la no simetrica. Dichas expresiones analiticas se compararan posteriormente con los calculos numericos obtenidos de resolver el problema exactamente en una base adecuada. Ademas, se llevara a cabo un estudio de escalado del sistema por tamano finito que nos permitira extraer los exponentes criticos de los observables espectroscopicos analizados.El capitulo 4 esta dedicado a otro sistema de dos niveles, el modelo de Lipkin. Este modelo guarda una estrecha relacion con el modelo vibronico tal y como se vera en el capitulo 3. Dicha relacion quedara mas patente con la eleccion que se realizara del estado intrinseco para estudiar el diagrama de fases del modelo vibronico. De hecho podemos afirmar que un modelo vibronico con simetria axial se comporta como un modelo de Lipkin. Por este motivo, todo el estudio que se realice en campo medio para el modelo vibronico sera aplicable al modelo de Lipkin, ya que las expresiones que se obtendran son formalmente analogas. Asi pues, en este capitulo nos centraremos en la influencia que tiene una transicion de fase cuantica sobre el fenomeno de la decoherencia. Ahora bien, se sabe que el citado modelo presenta tanto una QPT como una ESQPT, y dependiendo del valor de los parametros concretos del sistema, la ESQPT puede ser de primer o segundo orden. De modo que el analisis se realizara para ambos tipos de transicion. Para tal proposito, se presenta un sistema constituido por un qubit interactuando con un bano bosonico que vendra descrito por el modelo de Lipkin. El estudio de la decoherencia se realizara tanto empleando las tecnicas mas alla de campo medio desarrolladas en el modelo vibronico, como usando la aproximacion de Tamm-Dancoff (TDA) [28] y TDA a segundo orden. Todos los resultados se compararan una vez mas con la solucion exacta del problema y se analizara la relacion entre la transicion de fase que experimenta dicho sistema con la decoherencia. Ademas se incluira un estudio de escalado por tamano finito del factor de decoherencia.En el capitulo 5 se estudiaran tres modelos que describen un campo bosonico de un unico modo interactuando con un subsistema algebraico basado o bien en el algebra SU(1; 1) o en el SU(2). El modelo SU(1; 1) es un modelo de juguete util para la descripcion de la formacion y disociacion de moleculas diatomicas y atomos independientes [16]. El hamiltoniano SU(2) representa al modelo de Dicke [27] o al modelo de Jaynes-Cummings (JC) [17] (tambien conocido como modelo de Tavis-Cummings [29]). Estos dos ultimos modelos poseen interes en Optica Cuantica y describen a un sistema de atomos susceptibles a ocupar dos niveles interactuando con un campo de radiacion. Mientras que el modelo SU(1; 1) y el modelo de Jaynes-Cummings son integrables, el modelo de Dicke no lo es. Todos ellos son sistemas de dos niveles que presentan tanto una QPT como una ESQPT. Asi pues, en primer lugar se analizaran las transiciones de fase con una aproximacion semiclasica, en particular las relacionadas con las transiciones de fase de estados excitados. Despues se introducira el concepto de quantum quench, analizandose la influencia que tiene una ESQPT sobre este. Por ultimo, relacionaremos la presencia de caos cuantico en el modelo no integrable de Dicke con los precursores de la ESQPT en el mismo.En el ultimo capitulo se presentara un resumen y las conclusiones de los principales resultados de este trabajo.
Con la motivación de saber en qué sistemas es conveniente aplicar la teoría de cobosones, el objetivo de este trabajo es responder esta pregunta para un modelo simple de fermiones fuertemente interactuantes. El sistema a estudiar consiste en una cadena de potenciales unidimensional de S sitios, con N pares de fermiones de dos tipos (a y b), con tasa de tuneleo de las partículas individuales J y energía de interacción atractiva U0, con tasa de tuneleo de las partículas individuales mucho menor que la energía de interacción atractiva entre ellas. Nos centramos en el estudio del estado fundamental del sistema. Para resolver el problema usamos, en primer lugar, herramientas usuales en Mecánica Cuántica: se buscó un Hamiltoniano efectivo, se lo proyectó en el subespacio de los estados de menor energía, es decir, el espacio donde los pares de fermiones permanecen unidos, y se lo resolvió exactamente o por diagonalización numérica para encontrar el estado fundamental con su energía correspondiente. Se llegó a los mismos resultados mediante el uso de teoría de perturbaciones a segundo orden. Luego, en segundo lugar, se siguieron las indicaciones de la teoría de cobosones para construir el estado fundamental de N cobosones del Hamiltoniano efectivo, y se calculó su energía. Comparando los resultados obtenidos por ambos métodos se puede finalmente determinar si dicha teoría resulta adecuada para resolver este sistema.
En esta Tesis se desarrollan metodologías para determinar y analizar en profundidad el fenómeno de factorización exacta de autoestados de Hamiltonianos de sistemas cuánticos de muchos cuerpos fuertemente interactuantes. Esta factorización comprende tanto el caso de autoestados que son producto de estados de componentes primarios, como aquél en el que son producto de estados de pares (dimerización) o grupos de componentes (clústers). El tema es relevante en varias áreas de gran interés actual. En primer lugar se derivan condiciones necesarias y suficientes generales para que un Hamiltoniano de un sistema interactuante posea un autoestado exacto factorizado, expresadas en forma de ecuaciones de autovalores especiales. El formalismo es aplicado a un sistema de interacción general de N componentes, cada uno con n niveles accesibles localmente, de modo que el Hamiltoniano puede expresarse en términos de operadores que satisfacen un álgebra U(n). Para n=2, es equivalente a un sistema de espines 1/2 con acoplamientos tipo XYZ en un campo magnético. Se determinan puntos de factorización, mostrando que corresponden a un punto de degeneración excepcional, y se examinan las propiedades críticas del entrelazamiento en su entorno. Posteriormente, se muestra que las condiciones de factorización pueden expresarse en términos de la matriz de covarianza cuántica de los operadores locales que componen el Hamiltoniano. El formalismo requiere solo valores medios locales y resulta adecuado para sistemas y factorizaciones generales. Pone de manifiesto el rol esencial de la existencia de operadores locales conservados para una separabilidad exacta, ya sea total o parcial. El método permite derivar las condiciones para la existencia de diversos tipos de factorización exacta de autoestados en sistemas de espines interactuantes. En particular, se derivan las condiciones más generales para la factorización en dímeros y clústers de espín 0, solo conocidas en algunos casos especiales. Luego se extienden los resultados a dimerización exacta en singletes generalizados, que son estados de pares que no están máximamente entrelazados, con propiedades únicas en relación a operadores conservados. Se muestra que permiten la dimerización exacta inducida por campo en sistemas anisotrópicos XYZ para espín arbitrario. Se brindan ejemplos específicos, incluyendo la extensión a campo magnético no nulo del modelo de Majumdar-Ghosh. Finalmente, se examina la factorización en sistemas de componentes indistinguibles. Siguiendo el esquema basado en operadores conservados, se caracterizaron los estados llamados condensados de pares, tanto fermiónicos como bosónicos, que pueden considerarse "uniformemente separables'' a nivel de par. Se muestra que están completamente caracterizados por un número fijo de operadores de un cuerpo exactamente conservados. A partir de este resultado se obtiene el Hamiltoniano de dos cuerpos más general que posee el condensado de pares como autoestado exacto, junto con una clase que lo tiene como estado fundamental no degenerado. Mediante el formalismo anterior se determina también una condición necesaria y suficiente para asegurar que un estado dado sea un condensado de par exacto, que permite además su reconstrucción exacta. Proporciona también una medida simple de la proximidad de un estado dado a un condensado de par, junto con una "mejor'' aproximación de condensado de par al estado. Se muestran resultados ilustrativos.
Se propone un desarrollo analítico para determinar la solución de las ecuaciones de movimiento de una partícula cargada bajo la influencia de un campo eléctrico. En la propuesta se utilizan las ventajas y propiedades de la transformación de Laplace, para mapear un sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden en un sistema compuesto por ecuaciones lineales. A partir de la solución más general para la dinámica del sistema, se estudian algunos casos particulares para recuperar, de manera sencilla, los resultados presentes en la literatura. Para motivar el estudio, se utiliza el teorema de Ehrenfest y se discute como los resultados clásicos pueden ser interpretados en su versión cuántica.Se propone un desarrollo analítico para determinar la solución de las ecuaciones de movimiento de una partícula cargada bajo la influencia de un campo eléctrico. En la propuesta se utilizan las ventajas y propiedades de la transformación de Laplace, para mapear un sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden en un sistema compuesto por ecuaciones lineales. A partir de la solución más general para la dinámica del sistema, se estudian algunos casos particulares para recuperar, de manera sencilla, los resultados presentes en la literatura. Para motivar el estudio, se utiliza el teorema de Ehrenfest y se discute como los resultados clásicos pueden ser interpretados en su versión cuántica.