Die Algebra der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der zweiten Quantisierung kann direkt auf die Zustände übertragen werden. Die Mehrelektronenzustände bilden zusammen mit dem äußeren Produkt eine Grassmann-Algebra. Die gemischte äußere Algebra erlaubt eine kompakte Darstellung von Mehrelektronenoperatoren. Die Kontraktion von Dichteoperatoren und die zu ihr duale Expansion erscheinen hier als gemischtes inneres bzw. äußeres Produkt mit der Identität. Die Poincar´ e-Abbildung, die Elektronenzustände auf Lochzustände abbildet, entspricht dem inneren gemischten Produkt mit dem Einheitsoperator höchsten Grades. Um mit der multilinearen Algebra praktisch rechnen zu können, wurde zunächst eine umfangreiche Formelsammlung angelegt. Die neuen Formeln (A.20), (A.24) und (A.35), mit denen gemischte innere Produkte vereinfacht werden k¨ onnen, wurden dabei gefunden.
Die Algebra der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der zweiten Quantisierung kann direkt auf die Zustände übertragen werden. Die Mehrelektronenzustände bilden zusammen mit dem äußeren Produkt eine Grassmann-Algebra. Die gemischte äußere Algebra erlaubt eine kompakte Darstellung von Mehrelektronenoperatoren. Die Kontraktion von Dichteoperatoren und die zu ihr duale Expansion erscheinen hier als gemischtes inneres bzw. äußeres Produkt mit der Identität. Die Poincar´ e-Abbildung, die Elektronenzustände auf Lochzustände abbildet, entspricht dem inneren gemischten Produkt mit dem Einheitsoperator höchsten Grades. Um mit der multilinearen Algebra praktisch rechnen zu können, wurde zunächst eine umfangreiche Formelsammlung angelegt. Die neuen Formeln (A.20), (A.24) und (A.35), mit denen gemischte innere Produkte vereinfacht werden k¨ onnen, wurden dabei gefunden.
In der vorliegenden Arbeit werden mehrere Klassen quantenmechanischer Vielteilchensysteme im Formalismus der zweiten Quantisierung aus dem Blickpunkt von Symmetrien sowohl numerisch als auch analytisch untersucht. Um die numerischen Berechnungen durchführen zu können, wurde ein Computerprogramm mit Namen "ArbModel" mit den entsprechenden Fähigkeiten entwickelt. Hierbei wurde großen Wert auf Allgemeinheit gelegt, so dass Hamiltonians zu einer sehr großen Anzahl unterschiedlichster Modelle aufgestellt und diagonalisiert werden können. Alle Ideen, die für die Programmierung eines derartigen Programms notwendig sind, wurden erklärt und in dem numerischen Code verwirklicht. Mit diesem Programm zur Verfügung wurden Vielteilchensysteme, welche lediglich aus identischen Teilchen bestehen, im Allgemeinen untersucht. Es wurden allgemeine Bedingungen für das Vorhandensein einer dynamischen Symmetrie hergeleitet. Bedingungen für die schwächere Forderung nach der Erhaltung der sog. Senioritätsquantenzahl wurden ebenfalls im Detail untersucht. Obwohl derartige Untersuchungen in der Vergangenheit bereits stattgefunden haben, konnten neue Fälle gefunden und neue Bedingungen aufgestellt werden. Als überraschendes Ergebnis wurden Beispiele entdeckt, für welche die Seniorität im Allgemeinen gebrochen, für ein paar spezifische Zustände jedoch erhalten ist. Diese Zustände sind lösbar und entsprechende Formeln für ihre Anregungsenergien wurden angegeben. Alle analytischen Ergebnisse wurden mit "ArbModel" überprüft. Als weitere Anwendungen für den numerischen Code wurden die Vorhersagen einer sehr neuen Theorie, welche Quantenphasenübergänge mit sog. Verzweigungspunkten in Verbindung bringt, verifiziert. Hierfür wurde das sd-Interacting-Boson-Model 1 (sd-IBM1) mit einer sehr hohen Teilchenzahl verwendet. Außerdem wurde eine bestimmte dynamische Symmetrie des Interacting-Boson-Fermion-Models untersucht. Verzweigungsregeln für diese Bose-Fermi-Symmetrie wurden aufgestellt, sowie Auswahlregeln für M1-Übergänge abgeleitet. Auch hier verifiziert der numerische Code alle analytischen Ergebnisse. Da "ArbModel" alle analytischen Ergebnisse dieser Arbeit reproduziert, wurde somit auch der Beweis für Korrektheit dieses Programms gegeben.
Im ersten Abschnitt dieser Arbeit versuchen wir, die algebraische Struktur, welche im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik unter Verwendung des Influenzfunktionals auftritt, herauszuarbeiten. Dies erlaubt uns einen tieferen Einblick in ansonsten unübersichtliche und langwierige Rechenschritte, speziell im Realzeitformalismus, und ermöglicht uns eine leichtere Identifikation der dabei auftretenden Terme und deren Ursprung aus dem zugrunde liegenden Modell als auch deren physikalische Bedeutung. Die verwendeten Methoden haben wir soweit als möglich in konsistenter und anschaulicher Form eingeführt, so dass diese Arbeit ohne spezielle Kenntnis des Gebietes der dissipativen Quantenmechanik gelesen werden kann. Besonderen Wert haben wir auf den Übergang von der quantenmechanischen auf die klassische Beschreibung von dissipativen Vorgängen gelegt, da ein Verständnis dieses Übergangs eine tiefere Einsicht in den Messprozess liefert. In der selben Weise ist damit auch der Übergang von der mikroskopischen - durch die Quantenmechanik beschriebenen - Welt in die makroskopische Welt verbunden, welche den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt. Zusätzlich zeigen wir, wie die Resultate der Influenzfunktionalmethode stochastisch interpretiert werden können, was einen leichteren Vergleich mit der bekannten quantenmechanischen Zeitentwicklung durch die Schrödingergleichung erlaubt. Im weiteren betrachten wir die sogenannte Tight-Binding Näherung von Modellen, bei welchen sich der Hamiltonraum für die Systembeschreibung im wesentlichen durch diskrete Eigenzustände des Ortsoperators ausdrücken lässt und Übergänge zwischen diesen Zuständen unterdrückt sind, wodurch eine Propagation entweder durch ein Tunneln oder durch thermische Anregung erfolgt. Im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik bringt diese Methode eine immense Vereinfachung in der effektiven Beschreibung des Systems, da Anstelle einer ganzen Historie von Systempfaden nur noch die Übergangszeiten mit den entsprechenden Übergängen berücksichtigt werden müssen. Im Bild des Pfadintegralformalismus bedeutet dies, dass Anstelle des Integrals über alle Systempfade ein Produkt von Integrationen über alle möglichen Sprungzeiten mit Sprunggewichten entsprechend des Übergangs rückt, welches analytisch als auch numerisch wesentlich einfacher handzuhaben ist. Innerhalb dieser Näherung wurden dadurch in der Vergangenheit viele beeindruckende analytische Resultate abgeleitet. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit der Abbildung und dem Zusammenhang von dissipativen Modellen mit Feldmodellen aus der Quantenfeldtheorie und im besonderen der Feldtheorie statistischer Systeme. Der Reiz dieser Abbildungen liegt besonders darin, dass in den letztgenannten Gebieten schon seit Jahrzehnten sehr intensiv die grundlegenden Modelle bearbeitet wurden und vor allem auch nach neuen Methoden gesucht und Forschung dafür betrieben wurde und noch immer Gegenstand der aktuellen Forschung darstellt. Als Beispiel sei in zwei Dimensionen die Invarianz unter konformen Abbildungen genannt, welche immer dann Anwendung findet, wenn Systeme nur lokal wechselwirken und eine Invarianz unter lokaler Umskalierung der Felder zeigen. Bei statistischen Systemen mit lokaler Wechselwirkung zeigt sich dieses Verhalten immer beim Erreichen eines kritischen Punktes, da hier per Definition keine Längenskala ausgezeichnet ist. In zwei Dimensionen führt dies zu einer immensen Einschränkung der möglichen Form von Korrelationsfunktionen und hat zu dem eigenständigen Gebiet der Konformen Feldtheorie geführt, da konforme Abbildungen per Definition die lokale Struktur erhalten (Winkeltreue) und lokal nur zu einer Unskalierung führen. Während in D>2 Dimensionen nur endlich viele Generatoren für konforme Abbildungen existieren, ist deren Anzahl in 2 Dimensionen unendlich. Dies resultiert in einer unendlichen Anzahl von lokalen Erhaltungsgrößen mit den entsprechenden Folgen. Während solche Techniken sehr schnell unanschaulich werden, erlaubt die Abbildung auf dissipative Modelle hier oftmals eine sehr anschauliche Interpretation.
Das Forschungsprojekt, in dessen
Rahmen die Promotionsarbeit durchgefuhrt wurde, ist auf dem
Themengebiet der ultrakalten atomaren Gase angesiedelt. Die
speziellen Ziele in diesem Projekt sind Untersuchungen zur
Mischbarkeit und Superfluiditat an gemischten Quantengasen aus
paramagnetischen Rubidium(Rb)- und diamagnetischen
Ytterbium(Yb)-Atomen, und insbesondere die kontrollierte
(koharente) Erzeugung ultrakalter heteronuklearer Molekule, sowie
die Erzeugung eines fermionischen Yb-Quantengases. Weiterfuhrende
Untersuchungen zu dipolaren Quantengasen und Prazisionsmessungen
erganzen die Vielfalt der
moglichen Experimente an diesem System.
Ein wichtiger Bestandteil meiner Promotionsarbeit war die
Konzeption und der Aufbau einer neuartigen Apparatur, die es
ermoglicht Gemische aus Quantengasen zu erzeugen. Die Tauglichkeit
der Apparatur konnte mit der Erzeugung eines
Rb-Bose-Einstein-Kondensates(BEC) und der Herstellung ultrakalter
Yb-Ensembles demonstriert werden. Als weiterer Schwerpunkt wurden
speziell die Eigenschaften des Yb beim Kuhlen und Fangen
untersucht, um Erkenntnisse fur die weitere Vorgehensweise bei der
Erzeugung eines gemischten Quantengases festzulegen. Hierbei
wurden erstmals Sub-Doppler-Temperaturen in einer
magneto-optischen Falle(MOT) mit fermionischem Yb beobachtet,
sowie erstmals die Lebensdauer eines metastabilen
Zustands gemessen.
Die wesentlichsten Bestandteile der Apparatur sind eine speziell
konstruierte Vakuumkammer, eine Reihe von Lasersystemen, komplexe
optische Aufbauten, sowie ein komplexes System aus
Elektromagneten. Damit ist es moglich, zwei Atomsorten unabhangig
voneinander zu fangen und zu kuhlen. Hierzu wurden MOTs sowie eine
Magnetfalle(MT) und eine bichromatische optische Dipolfalle(ODT)
konzipiert, und bis auf die ODT auch im Experiment eingesetzt,
womit die unabhangige
Kontrolle und Manipulierbarkeit beider Spezies moglich ist.
Die Rb-Atome wurden aus einer MOT mit >10^9 Atomen im
F=2,m_F=2-Zustand mit einer Temperatur von einigen
100 mu K in die MT geladen, wo durch
radiofrequenzinduzierte Verdampfungskuhlung bis zu Temperaturen
von einigen 100 nK ein BEC mit bis zu 6 * 10^6
Atomen erzeugt wurde. Aus Lebensdauermessungen des magnetisch
gespeicherten BECs konnte der Koeffizient fur Dreikorperverluste
zu 1,3 * 10^{-29} cm^6/s bestimmt werden, was
mit theoretischen Vorhersagen und anderen experimentellen Befunden
ubereinstimmt. Da keine technischen Limitationen der Lebensdauer
beobachtet wurden, erfullt die im Rahmen dieser Doktorarbeit
konzipierte und erstellte Apparatur hinsichtlich der Erzeugung
eines Rb-BECs alle
erforderlichen Voraussetzungen.
Im zweiten Abschnitt meiner Promotion wurden speziell die
Eigenschaften von Yb untersucht. Es wurden alle sieben stabilen
Yb-Isotope mit Atomzahlen von bis zu 2 * 10^7 in eine MOT
auf dem 1S_0 -> 1P_1-Ubergang geladen. Hierbei wurden
erstmals bei fermionischen Yb-Isotopen durch
Polarisationsgradientenkuhlung in einer MOT
Temperaturen weit unter dem Dopplerlimit von 672 mu K
erreicht und die Abhangigkeit von experimentellen Parametern
untersucht. Die minimal erreichten Temperaturen lagen bei
10 mu K und 80 mu K fur {173}Yb bzw.
{171}Yb. Dieses fur den weiteren Fortgang des Experiments sehr
wichtige Ergebnis ermoglicht fur die fermionischen Yb-Isotope im
Gegensatz zu den Bosonen, bei denen keine Sub-Dopplerkuhlung
moglich ist, ein vereinfachtes
Kuhlverfahren.
Um die Moglichkeiten und Limitationen des simultanen Einschlusses
beider Spezies in dieser Apparatur zu untersuchen, wurde eine
gemischte MOT aus Rb- und Yb-Atomen erzeugt. Die hierbei
beobachteten verminderten Atomzahlen im Vergleich zu den einzelnen
MOTs fuhren dazu, dass fur die Erzeugung eines gemischten
Quantengases ein alternatives Ladeschema erforderlich ist, das
nicht auf einer gemischten MOT basiert. Ein solches Ladeschema
wurde aufbauend auf den Ergebnissen dieser Arbeit konzipiert und
soll im weiteren Verlauf des Projekts
umgesetzt werden.
Ein moglicher Weg zu einem gemischten Quantengas fuhrt uber das
zwischenzeitliche magnetische Speichern von Yb im metastabilen
^3P_2-Zustand, der im Gegensatz zum nicht magnetisch fangbaren
diamagnetischen Grundzustand des Yb ein magnetisches Moment von
mu = 3 \mu_B besitzt und damit in einer MT gespeichert werden
kann. Uber einen naturlichen Zerfallskanal fallen die Yb-Atome aus
dem MOT-Zyklus in den metastabilen ^3P_2-Zustand wodurch eine
durch das MOT-Magnetfeld gebildete MT kontinuierlich geladen wird.
Hierbei war es moglich bis zu 4 * 10^5 Atome zu fangen.
Untersuchungen der Magnetfalle ergaben fur das bosonische
^{174}Yb Lebensdauern von bis zu 13,7 s und fur das
fermionische ^{173}Yb Lebensdauern von bis zu 11 s,
die in beiden Fallen atomzahlabhangig waren. Die langsten
Lebensdauern sind dabei in guter Ubereinstimmung mit der bisher
nur theoretisch berechneten naturlichen Lebensdauer von
14,5 s fur ^{174}Yb. Die beobachtete Abhangigkeit von
der Atomzahl bei ^{174}Yb konnte auf dichteabhangige Verluste
zuruckgefuhrt werden, wobei die Verlustrate zu (1,4 +/-
1,0) * 10^{-10}cm^3/s bestimmt wurde. Aufgrund der
komplizierten Niveaustruktur von ^{173}Yb war eine Bestimmung
hier nicht moglich. Die Bestimmung dieser Verlustkonstanten war
essentiell fur den weiteren Fortgang des Experiments, da sie eine
direkte Herbeifuhrung der Quantenentartung im metastabilen Zustand
ausschliest, aber weiterhin die Moglichkeit zur zwischenzeitlichen
Speicherung in diesem Zustand offen last. Die gemessenen
Lebensdauern geben erstmalig experimentell ermittelte Grenzwerte
fur die
Lebensdauer des metastabilen Triplettzustands von Yb an.
ZusammenfassungQuantenerscheinungen wie sie bei dem Beugungsexperiment des Elektrons an einer Öffnung auftreten, weisen darauf hin, daß sich jedes Elektron zwischen den Beobachtungen wie eine Welle verhält, jedoch wie ein Teilchen, wenn es beobachtet wird. Die Quantentheorie — die Mathematik, die diese Erscheinungen beschreibt — spiegelt in entsprechender Weise die doppelte Identität jedes Quons wider, indem sie eine ungemessene Größe durch eine besondere Wellengestalt darstellt, deren Form verschlüsselt die Wahrscheinlichkeit enthält, mit der ein teilchenartiges Ereignis mit bestimmtem Ort und bestimmten Attributen beobachtet werden kann. Sowohl die Quantentheorie als auch die Quantenerscheinung stützen die Ansicht, daß der reale Zustand eines ungemessenen Elektrons (und jedes beliebigen anderen Quons) radikal verschieden sei von dem Realitätszustand irgendeines Elektrons, das schon einmal gemessen wurde.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
Verschränkung ist eine faszinierende Eigenart der Quantenphysik, die diese beträchtlich von klassischen Konzepten unterscheidet. Einerseits impliziert Verschränkung überraschende philosophische Aspekte, wie die Unvereinbarkeit von lokal-realistischen Theorien mit der Quantenphysik, andererseits kann sie erfolgreich für Aufgaben der Quanteninformation und Quantenkommunikation verwendet werden, um Protokolle im Hinblick auf klassische Prozeduren zu verbessern. Es ist noch immer ein offenes mathematisches Problem, herauszufinden, ob ein Quantenzustand verschränkt ist oder nicht; für einen allgemeinen Zustand auf einem beliebig dimensionalen Hilbertraum gibt es keine operationelle Vorgangsweise. Für reine Zustände und niedrig dimensionale Zweiteilchen-Systeme, z.B. für zwei Qubits, ist dieses Problem gelöst, da berechenbare notwendige und hinreichende Bedingungen für Separabilität (d.h. für Nicht-Verschränktheit) gefunden wurden. Außerdem kann die Verschränkung für ein Zwei-Qubit-System leicht quantifiziert werden. Für höher dimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme wurde in Bezug auf die Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung schon einiges erreicht, allerdings kann das Problem noch nicht als gelöst angesehen werden, vieles ist noch zu erforschen. In dieser Dissertation werden neue Methoden zur Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung für Systeme, die über Zwei-Qubit-Systeme hinausgehen, präsentiert. Zustände solcher Systeme werden üblicherweise durch Dichteoperatoren beschrieben und in Matrix-Schreibweise verwendet. Für hochdimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme können diese Dichtematrizen allerdings sehr unpraktisch werden. Mit Hilfe von Bloch-Zerlegungen können Dichteoperatoren kompakter und einfacher dargestellt werden. In dieser Schreibweise werden Dichteoperatoren in eine vollständige und orthogonale Operatorenbasis des Operatorenraums zerlegt. Für Qubits ist diese Schreibweise geläufig und üblicherweise werden die Pauli-Spin-1/2 Operatoren für die Operatorenbasis verwendet. Für Qudits, das sind Zustände allgemein dimensionaler Systeme, gibt es allerdings keine eindeutige Verallgemeinerung der Pauli-Operatorenbasis. Daher untersuchen wir drei mögliche Operatorenbasen: Die verallgemeinerte Gell-Mann-Operatorenbasis, die Polarisationsoperatorenbasis, sowie die Weyloperatorenbasis. Weiters wird eine Methode präsentiert, mit welcher die Zerlegung eines beliebigen Operators in eine der drei Operatorenbasen mit Hilfe der Zerlegung von sogenannten Standardoperatoren gefunden werden kann. Als Beispiel zur Anwendung dieser Methode betrachten wir den maximal verschränkten Zwei-Qudit Zustand und zerlegen diesen in jede der Operatorenbasen. Im Zusammenhang mit der Bestimmung von Verschränkung sind „Entanglement Witnesses'“ ein wichtiges und oft verwendetes Hilfsmittel. Diese sind Observablen und detektieren die Verschränkung eines Zustandes, sofern sie für diesen einen negativen Erwartungswert aufweisen, und wenn gleichzeitig bekannt ist, dass der Erwartungswert für alle separablen Zustände nicht negativ werden kann. Diese letztere Bedingung ist allerdings im Allgemeinen nicht leicht zu zeigen. In diesem Zusammenhang bietet sich die Verwendung von Bloch-Zerlegungen für vereinfachte Relationen an, und somit kann die Bedingung in vielen Fällen bewiesen werden. Eine besondere Klasse von Entanglement Witnesses sind geometrische Entanglement Witnesses, welche eine direkte euklidisch-geometrische Darstellung des Operatorenraumes erlauben. Die Wichtigkeit dieser Witnesses wird durch „Shift“-Methoden verdeutlicht, welche verschränkte und im Speziellen „bound entangled“ Zustände detektieren können, und außerdem helfen, die Menge der separablen Zustände von konvexen Untermengen von Zuständen zu bestimmen. Als Beispiel betrachten wir eine Drei-Parameter-Familie von Zwei-Qutrit Zuständen. Weiters können geometrische Entanglement Witnesses auch zur geometrischen Quantifizierung von Verschränkung verwendet werden, insbesondere zur Bestimmung des Hilbert-Schmidt Verschränkungsmaßes. Dies wird an den Beispielen der isotropen Zwei-Qudit Zustände und Zwei-Parameter Familien von Zwei-Qubit und Zwei-Qutrit Zuständen gezeigt. Zuletzt widmen wir uns dem Problem der Bestimmung von Verschränkung in Mehr-Qubit Systemen. In diesem Zusammenhang bieten wir eine allgemeine Konstruktion von Entanglement Witnesses unter Verwendung von statischen Strukturfaktoren an. In der Festkörperphysik beschreiben Strukturfaktoren dynamische Eigenschaften von Festkörpern in Streuexperimenten. Die strukturellen Entanglement Witnesses detektieren echte Mehrteilchen-Verschränkung, wie z.B. Dicke-Zustände und Dicke-ähnliche Zustände mit geänderten Phasen der vorkommenden Terme. Sie beinhalten außerdem nur Zwei-Punkt-Korrelationen und sind für die experimentelle Anwendung in verschieden physikalischen Systemen geeignet.