Cette thèse traite du problème à N corps dans les gaz de fermions ultra froids. La première partie est dédiée aux collisions à 3 et 4 fermions en interaction de contact dans le vide. Nous montrons comment calculer diagrammatiquement l'amplitude de diffusion dimère-fermion et la longueur de diffusion dimère-dimère. Par un développement en puissances du rapport des masses et à basse énergie, nous obtenons une expression analytique de l'amplitude de diffusion dimère-fermion en onde s dans la limite de grand rapport des masses entre deux espèces. En utilisant la même méthode, nous obtenons un développement analytique de la longueur de diffusion dimère-dimère en onde s dans la limite de grand rapport des masses entre deux espèces. Dans la seconde partie, nous considérons le problème à N corps dans la transition BEC-BCS. Nous dérivons la formule de Tan dans la limite d'interaction de contact, puis nous généralisons ce résultat à des mélanges bosoniques ainsi qu'à 2 dimensions. Nous calculons également l'équation d'état à l'unitarité dans l'approximation de la matrice T en utilisant 3 formules exactes pour l'énergie. Finalement, nous obtenons un développement de l'équation d'état en puissances de la densité dans la limite BEC. Le résultat est obtenu, dans le cas général où les deux espèces ont des masses différentes et sont présentes en quantité différente, en prenant en compte diagrammatiquement les vertex de diffusion à 3 et 4 corps exacts.
Cette thèse traite du problème à N corps dans les gaz de fermions ultra froids. La première partie est dédiée aux collisions à 3 et 4 fermions en interaction de contact dans le vide. Nous montrons comment calculer diagrammatiquement l'amplitude de diffusion dimère-fermion et la longueur de diffusion dimère-dimère. Par un développement en puissances du rapport des masses et à basse énergie, nous obtenons une expression analytique de l'amplitude de diffusion dimère-fermion en onde s dans la limite de grand rapport des masses entre deux espèces. En utilisant la même méthode, nous obtenons un développement analytique de la longueur de diffusion dimère-dimère en onde s dans la limite de grand rapport des masses entre deux espèces. Dans la seconde partie, nous considérons le problème à N corps dans la transition BEC-BCS. Nous dérivons la formule de Tan dans la limite d'interaction de contact, puis nous généralisons ce résultat à des mélanges bosoniques ainsi qu'à 2 dimensions. Nous calculons également l'équation d'état à l'unitarité dans l'approximation de la matrice T en utilisant 3 formules exactes pour l'énergie. Finalement, nous obtenons un développement de l'équation d'état en puissances de la densité dans la limite BEC. Le résultat est obtenu, dans le cas général où les deux espèces ont des masses différentes et sont présentes en quantité différente, en prenant en compte diagrammatiquement les vertex de diffusion à 3 et 4 corps exacts.
Cette thèse traite du problème à N+1 corps dans les gaz de fermions ultrafroids fortement polarisés. Il s'agit de la situation où un unique atome d'une espèce de spin est immergé dans une mer de Fermi d'atomes de l'autre espèce. La première partie utilise une approche hamiltonienne basée sur un développement général de la fonction d'onde du système faisant intervenir un nombre arbitraire de paires particule-trou. Nous montrons que la série d'approximations successives construite converge très rapidement et nous obtenons ainsi une solution essentiellement exacte pour l'énergie et la masse effective du polaron. En dimension 1, dans deux cas particuliers, ce problème peut être résolu analytiquement. La comparaison avec notre série d'approximations est excellente et confirme l'efficacité de ce développement. Enfin, nous précisons les différents cas limites, ainsi que l'influence du rapport des masses entre les deux espèces de spin. Dans une deuxième partie, nous utilisons le formalisme des diagrammes de Feynman pour décrire à la fois le polaron et l'état lié. Pour le polaron, nous construisons une théorie équivalente à l'approche hamiltonienne. Pour l'état lié, nous obtenons à nouveau une série d'approximations dont la convergence très rapide vers la solution exacte est parfaitement comprise. Cette approche nous fournit donc une solution quasi-exacte au problème tout au long de la transition BEC-BCS. Enfin, en comparant les énergies des deux quasi-particules, nous étudions la position de la transition polaron - état lié.
Au voisinage d'une résonance de Feshbach, les interactions entre atomes froids sont fortes car la longueur de diffusion diverge. De plus les interactions ont une portée faible, ce qui permet généralement de les modéliser par un pseudopotentiel de portée nulle. La limite d'une longueur de diffusion infinie et d'une portée nulle est appelée limite unitaire. Nous résolvons le problème à 3 corps à la limite unitaire dans un piège harmonique isotrope. Pour des particules bosoniques, nous obtenons deux types d'états propres: d'une part les états universels, qui ne dépendent que de la fréquence d'oscillation d'une particule dans le piège, de la masse des particules et de la constante de Planck; d'autre part les états efimoviens, qui dépendent aussi d'un paramètre à trois corps, de façon analogue aux états liés découverts par Efimov en l'absence de potentiel extérieur. Dans une expérience, nous prédisons que les états universels ont une longue durée de vie, ce qui est inhabituel pour des atomes bosoniques. Cette durée de vie est limitée par le couplage des états universels aux états efimoviens induit par la portée non nulle des interactions. Pour le problème à N corps, nous montrons que l'hyperrayon, un degré de liberté collectif décrivant la taille globale du gaz, est séparable. Nous déterminons ainsi la dépendance en l'hyperrayon des fonctions d'ondes à N corps. Nous déduisons une relation sur les fluctuations thermiques de la taille du gaz. Nos résultats se généralisent à certaines résonances à N corps. Dans un piège tournant à une vitesse suffisante, nous montrons dans le cadre de l'hydrodynamique superfluide que le gaz unitaire devient dynamiquement instable. Pour un piège et une dimension d'espace quelconques, nous obtenons de nouveaux théorèmes du viriel pour différents types d'interactions entre atomes. Dans le cas de la transition BEC-BCS dans un piège harmonique, nous déduisons que l'énergie potentielle de piégeage a un point d'inflexion à la limite unitaire si la longueur de diffusion est changée adiabatiquement.
Cette thèse aborde deux problèmes ayant trait à la physique des gaz quantiques de basse dimensionnalité. Le premier système étudié est un mélange unidimensionnel de bosons et de fermions sans spin soumis à un potentiel aléatoire. Nous commençons par écrire un Hamiltonien de basse énergie et abordons la question de la localisation du point de vue de l'accrochage des ondes de densité par un désordre faible. En utilisant le Groupe de Renormalisation et une méthode variationnelle dans l'espace des répliques, le diagramme de phase peut être tracé en fonctions de deux paramètres : la force des interactions Bose-Bose et Bose-Fermi. La position et les propriétés des phases dépendent d'un paramètre additionnel, le rapport des vitesses du son de chaque composante du gaz. Quelque soit la valeur de ce rapport nous trouvons trois phases, (i) une phase totalement délocalisée, le liquide de Luttinger à deux composantes, (ii) une phase totalement localisée où les deux composantes sont accrochées par le désordre et (iii) une phase intermédiaire où seuls les fermions sont localisés. Le deuxième système est un gaz de bosons de cœur dur sur un réseau en échelle. Trois paramètres en contrôlent la physique : les amplitudes de saut transverse et longitudinale, et le remplissage. En utilisant plusieurs méthodes analytiques (théorie des perturbations, bosonisation et RG) nous proposons une interprétation de résultats numériques nouveaux obtenus par nos collaborateurs, notamment sur le paramètre de Luttinger du mode symétrique. Nous en déduisons un diagramme de phase en présence de désordre faible.
Les interactions entre particules dans les gaz quantiques ultrafroids peuvent être contrôlées à l'aide de résonances de Fano-Feshbach. Ces résonances de diffusion se produisent lors de collisions à basse énergie entre deux atomes et sont généralement obtenues à l'aide d'un champ magnétique statique externe. Elles font des gaz atomiques ultrafroids un terrain d'exploration pour la recherche de nouvelles phases dans lesquelles la physique quantique joue un rôle clef.Le travail présenté dans ce mémoire s'inscrit dans le cadre de la recherche de telles phases.Ce manuscrit comporte deux parties. La première est consacrée à l'étude de bosons composites obtenus dans des gaz de Fermi hétéronucléaires 2D. Nous étudions le diagramme de phase de ce système à T = 0 et nous mettons en évidence une transition de phase gaz-cristal. Nos résultats sont prometteurs en vue d'expériences futures avec le mélange 6Li-40K.Dans la seconde partie, nous proposons un nouveau type de résonance de Fano-Feshbach. Le couplage à l'origine de cette résonance est obtenu à l'aide d'un champ magnétique micro-onde.Notre méthode s'applique à n'importe quelle espèce atomique dont l'état fondamental est clivé par l'interaction hyperfine. Elle ne nécessite pas l'utilisation d'un champ magnétique statique.Nous décrivons d'abord ces résonances à l'aide d'un modèle simple à deux niveaux. Ensuite, nous les caractérisons numériquement à l'aide de notre propre programme implémentant l'approche multi-canaux des collisions atomiques. Nos résultats ouvrent des perspectives optimistes en vue de l'observation des résonances de Feshbach induites par un champ micro-onde avec les atomes alcalins bosoniques suivants : 23Na, 41K, 87Rb et 133Cs.
Cette thèse traite du problème à N+1 corps dans les gaz de fermions ultrafroids fortement polarisés. Il s'agit de la situation où un unique atome d'une espèce de spin est immergé dans une mer de Fermi d'atomes de l'autre espèce.La première partie utilise une approche hamiltonienne basée sur un développement général de la fonction d'onde du système faisant intervenir un nombre arbitraire de paires particule-trou. Nous montrons que la série d'approximations successives construite converge très rapidement et nous obtenons ainsi une solution essentiellement exacte pour l'énergie et la masse effective du polaron. En dimension 1, dans deux cas particuliers, ce problème peut être résolu analytiquement. La comparaison avec notre série d'approximations est excellente et confirme l'efficacité de ce développement. Enfin, nous précisons les différents cas limites, ainsi que l'influence du rapport des masses entre les deux espèces de spin.Dans une deuxième partie, nous utilisons le formalisme des diagrammes de Feynman pour décrire à la fois le polaron et l'état lié. Pour le polaron, nous construisons une théorie équivalente à l'approche hamiltonienne. Pour l'état lié, nous obtenons à nouveau une série d'approximations dont la convergence très rapide vers la solution exacte est parfaitement comprise. Cette approche nous fournit donc une solution quasi-exacte au problème tout au long de la transition BEC-BCS. Enfin, en comparant les énergies des deux quasi-particules, nous étudions la position de la transition polaron - état lié.
Dans cette thèse, nous étudions les états liés dans les mélanges fermioniques ultra-froids composés de Nᵣ fermions lourds identiques et Nᵢ fermions légers interagissant via un potentiel attractif de portée nulle, et ce, à basse dimensions. Le phénomène de liaison dépend à la fois du rapport de masse entre les deux espèces et de la dimension spatiale considérée. Il résulte principalement d'un effet subtil lié à une compétition entre la pression de Pauli qui tend a repousser les fermions lourds les uns des autres et l'attraction inter-espèce. À une dimension, en travaillant d'abord avec peu d'atomes, nous avons établis l'existence d'états que nous avons caractérisés entièrement composés d'un atome léger liant au plus cinq fermions lourds. Ensuite, nous avons utilisé une méthode de champ moyen valide à grand Nᵣ et nous avons trouvé que ces clusters formés de Nᵣ+1 atomes peuvent être liés pour Nh quelconque si et seulement si le rapport de masse entre les deux espèces surpasse une valeur proportionnelle à Nᵣ³. Par la suite, nous avons généralisé cette méthode de champ moyen pour Nᵢ>1 et nous avons montré que des clusters de type N+1 peuvent s'attirer et former un état auto-lié qui prend une forme ressemblante à une onde de densité de charge dans la limite thermodynamique. Généralisant cette fois la méthode de champ moyen au problème à Nᵣ+Nᵢ atomes bidimensionnel, nous avons obtenu que des clusters Nᵣ+1 peuvent aussi se former avec Nᵣ arbitrairement grand à deux dimensions. Cependant, le rapport de masse critique se comporte cette fois comme Nᵣ². Afin de déterminer l’énergie et la taille de ces clusters, nous prenons en compte les effets au delà du champ moyen qui sont nécessaires pour briser l'invariance d'échelle de la théorie de champ moyen à deux dimensions. Enfin, nous présentons une preuve numérique que deux clusters de type N+1 à deux dimensions se repoussent toujours et ne forment pas un état auto-lié contrairement au cas unidimensionnel.