Chapitre 8. Algèbre des observables

Franck Laloë

Michel Paty

Michel Paty

Emmanuel Hutin

Desirant etablir une theorie mathematique qui contienne le cas usuel (commutatif) et le cas bosonique (des relations canoniques de commutation) on travaille sur l'algebre des polynomes sur un espace de hilbert alterne w dont on deforme le produit en fonction d'un parametre positif h qui vaut 0 pour le cas usuel et 1 pour le cas bosonique. On appelle algebre de heisenberg et on note hb l'algebre obtenue ; on la munit d'une topologie d'algebre a involution et on complete, ce qui nous permet de travailler avec des exponentielles. En particulier l'algebre a involution v des exponentielles unitaires est dans ce complete, et on peut y definir des etats par leur transformee de fourier (par un theoreme generalisant celui de bochner), et meme par leur transformee de laplace. On generalise aussi quelques resultats grace a l'application symbole (chapitre 1). On utilise essentiellement la generalisation e de l'etat gaussien centre de variance un reel positif quelconque, et on note l2(hb) le complete de hb pour le produit scalaire defini par e. V est dans l'algebre des operateurs bornes de l2(hb) et on note m sa fermeture faible. E definit un produit scalaire sur m et on a l2(hb) = l2(m) ; de plus, dans le cas h = 1, m est l'algebre de von neumann sur laquelle sont generalement obtenus les resultats concernant le cas bosonique ; on peut ainsi utiliser les esperances conditionnelles et l'integration stochastique definies par barnett, streater et wilde, qui se generalisent a tout h positif. D'autre part, on peut relever dans hb tout element w de wd (la somme de d copies de w) par tout polynome usuel de dimension 2d. Ceci nous permet de generaliser la propriete de markov, puis d'etudier les processus de bessel et les diffusions gaussiennes non commutatifs, ainsi que les semi-groupes associes (chapitre 2). On conclut par la generalisation de la formule de ito et par des exemples d'application, comme la resolution de certaines equations differentielles (stochastiques ou non) (chapitre 3).

Alain Jaillet, Béatrice. Auteur du texte Mabilon-Bonfils

Vincent X. Genest

Le lien entre le spectre de la matrice de transfert de la formulation de spins du modèle de Potts critique et celui de la matrice de transfert double-ligne de la formulation de boucles est établi. La relation entre la trace des deux opérateurs est obtenue dans deux représentations de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique, dont la matrice de transfert de boucles est un élément. Le résultat est exprimé en termes des traces modifiées, qui correspondent à des traces effectuées dans le sous-espace de l'espace de représentation des N-liens se transformant selon la m ième représentation irréductible du groupe cyclique. Le mémoire comporte trois chapitres. Dans le premier chapitre, les résultats essentiels concernant les formulations de spins et de boucles du modèle de Potts sont rappelés. Dans le second chapitre, les propriétés de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique et de ses représentations sont étudiées. Enfin, le lien entre les deux traces est construit dans le troisième chapitre. Le résultat final s'apparente à celui obtenu par Richard et Jacobsen en 2007, mais une nouvelle représentation n'ayant pas été étudiée est aussi investiguée.