Le lien entre le spectre de la matrice de transfert de la formulation de spins du modèle de Potts critique et celui de la matrice de transfert double-ligne de la formulation de boucles est établi. La relation entre la trace des deux opérateurs est obtenue dans deux représentations de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique, dont la matrice de transfert de boucles est un élément. Le résultat est exprimé en termes des traces modifiées, qui correspondent à des traces effectuées dans le sous-espace de l'espace de représentation des N-liens se transformant selon la m ième représentation irréductible du groupe cyclique. Le mémoire comporte trois chapitres. Dans le premier chapitre, les résultats essentiels concernant les formulations de spins et de boucles du modèle de Potts sont rappelés. Dans le second chapitre, les propriétés de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique et de ses représentations sont étudiées. Enfin, le lien entre les deux traces est construit dans le troisième chapitre. Le résultat final s'apparente à celui obtenu par Richard et Jacobsen en 2007, mais une nouvelle représentation n'ayant pas été étudiée est aussi investiguée.
Le lien entre le spectre de la matrice de transfert de la formulation de spins du modèle de Potts critique et celui de la matrice de transfert double-ligne de la formulation de boucles est établi. La relation entre la trace des deux opérateurs est obtenue dans deux représentations de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique, dont la matrice de transfert de boucles est un élément. Le résultat est exprimé en termes des traces modifiées, qui correspondent à des traces effectuées dans le sous-espace de l'espace de représentation des N-liens se transformant selon la m ième représentation irréductible du groupe cyclique. Le mémoire comporte trois chapitres. Dans le premier chapitre, les résultats essentiels concernant les formulations de spins et de boucles du modèle de Potts sont rappelés. Dans le second chapitre, les propriétés de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique et de ses représentations sont étudiées. Enfin, le lien entre les deux traces est construit dans le troisième chapitre. Le résultat final s'apparente à celui obtenu par Richard et Jacobsen en 2007, mais une nouvelle représentation n'ayant pas été étudiée est aussi investiguée.
Les modèles sur réseau comme ceux de la percolation, d’Ising et de Potts servent à décrire les transitions de phase en deux dimensions. La recherche de leur solution analytique passe par le calcul de la fonction de partition et la diagonalisation de matrices de transfert. Au point critique, ces modèles statistiques bidimensionnels sont invariants sous les transformations conformes et la construction de théories des champs conformes rationnelles, limites continues des modèles statistiques, permet un calcul de la fonction de partition au point critique. Plusieurs chercheurs pensent cependant que le paradigme des théories des champs conformes rationnelles peut être élargi pour inclure les modèles statistiques avec des matrices de transfert non diagonalisables. Ces modèles seraient alors décrits, dans la limite d’échelle, par des théories des champs logarithmiques et les représentations de l’algèbre de Virasoro intervenant dans la description des observables physiques seraient indécomposables. La matrice de transfert de boucles D_N(λ, u), un élément de l’algèbre de Temperley- Lieb, se manifeste dans les théories physiques à l’aide des représentations de connectivités ρ (link modules). L’espace vectoriel sur lequel agit cette représentation se décompose en secteurs étiquetés par un paramètre physique, le nombre d de défauts. L’action de cette représentation ne peut que diminuer ce nombre ou le laisser constant. La thèse est consacrée à l’identification de la structure de Jordan de D_N(λ, u) dans ces représentations. Le paramètre β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixe la théorie : β = 1 pour la percolation et √2 pour le modèle d’Ising, par exemple. Sur la géométrie du ruban, nous montrons que D_N(λ, u) possède les mêmes blocs de Jordan que F_N, son plus haut coefficient de Fourier. Nous étudions la non diagonalisabilité de F_N à l’aide des divergences de certaines composantes de ses vecteurs propres, qui apparaissent aux valeurs critiques de λ. Nous prouvons dans ρ(D_N(λ, u)) l’existence de cellules de Jordan intersectorielles, de rang 2 et couplant des secteurs d, d′ lorsque certaines contraintes sur λ, d, d′ et N sont satisfaites. Pour le modèle de polymères denses critique (β = 0) sur le ruban, les valeurs propres de ρ(D_N(λ, u)) étaient connues, mais les dégénérescences conjecturées. En construisant un isomorphisme entre les modules de connectivités et un sous-espace des modules de spins du modèle XXZ en q = i, nous prouvons cette conjecture. Nous montrons aussi que la restriction de l’hamiltonien de boucles à un secteur donné est diagonalisable et trouvons la forme de Jordan exacte de l’hamiltonien XX, non triviale pour N pair seulement. Enfin nous étudions la structure de Jordan de la matrice de transfert T_N(λ, ν) pour des conditions aux frontières périodiques. La matrice T_N(λ, ν) a des blocs de Jordan intrasectoriels et intersectoriels lorsque λ = πa/b, et a, b ∈ Z×. L’approche par F_N admet une généralisation qui permet de diagnostiquer des cellules intersectorielles dont le rang excède 2 dans certains cas et peut croître indéfiniment avec N. Pour les blocs de Jordan intrasectoriels, nous montrons que les représentations de connectivités sur le cylindre et celles du modèle XXZ sont isomorphes sauf pour certaines valeurs précises de q et du paramètre de torsion v. En utilisant le comportement de la transformation i_N^d dans un voisinage des valeurs critiques (q_c, v_c), nous construisons explicitement des vecteurs généralisés de Jordan de rang 2 et discutons l’existence de blocs de Jordan intrasectoriels de plus haut rang.
Cette these etudie les diagrammes de phase et l'integrabilite de differents modeles de physique statistique classique et quantique. Plusieurs methodes numeriques sont employees ; en particulier, un critere fonctionnel pour decider de l'integrabilite est presente. Le document est organise en deux parties independantes qui sont fortement reliees par les modeles etudies. La premiere partie applique la simulation de monte carlo a des modeles a spins classiques, non integrables, pour confronter des resultats de simulation a des propositions analytiques, obtenues recemment par l'etude des relations d'inverses et du groupe de symetries de ces modeles. Nous determinons ainsi les diagrammes de phase d'un modele de potts chiral a six etats sur reseau carre et du modele de potts standard a trois etats sur reseau triangulaire avec interactions a deux et trois spins. La deuxieme partie etudie l'integrabilite de differents modeles en physique statistique. Par des methodes de la theorie des matrices aleatoires nous analysons les proprietes statistiques du spectre d'un operateur decrivant le modele (le hamiltonien ou une matrice de transfert). En utilisant les symetries connues de celui-ci, on peut operer une decomposition en sous-espaces stables de cet operateur. Nous developpons la methode par l'etude systematique d'une chaine quantique de hubbard avec un terme d'echange. Par la suite, nous l'appliquons pour la premiere fois aux matrices de transfert de modeles classiques (modele d'ising 2d, 3d, modele de potts, modele a huit vertex asymetrique)
D ans cette présente thèse de doctorat et dans le but de découvrir le comportement magnétique des matériaux en fonction de di érents paramètres extérieurs, nous avons proposé quelques modèles de spin sur réseaux pour l’étude. Pour ce fait, nous avons donné en détails, dans le premier chapitre, l’origine du magnétisme dans les di érents matériaux et leur comportement en fonction du changement des paramètres. Dans le second chapitre, nous avons mis l’accent sur un phénomène extraordinaire qui se manifeste au niveau des matériaux qui est la transition de phase. Cette dernière n’est qu’un changement d’état subi à cause des modifications au niveau des paramètres. Nous avons cité les di érentes classifications des transitions de phase notamment la théorie d’Ehrenfest et celle de Landau. Nous avons donné un peu d’intérêt à la deuxième classification avec plus de détails. Nous avons présenté aussi les phénomènes tricritiques qui mènent au calcul des di érents exposants critiques. Nous avons expliqué aussi la notion des classes d’universalité auxquelles appartiennent les di érents systèmes étudiés. Dans le troisième chapitre, nous avons présenté notre travail de fond. Nous avons défini le modèle à étudier à savoir le modèle de Blume-Emery-Gri ths. nous avons donné un aperçu sur les méthodes qu’on a utilisé à citer la méthode de Monte-Carlo et la méthode (finite size scaling) TMFSS basée sur la matrice de transfert. Ces méthodes ont montré leurs preuves dans plusieurs études antérieures. Le diagramme de phase obtenu, riche avec ses caractéristiques, exhibe une ligne de transition de second ordre. Nous avons justifié la présence des di érentes phases par étude numérique de l’évolution thermique de l’aimantation du système, du moment quadrupolaire et du moment octupolaire. Les résultats sont en accord avec ceux des états fondamentaux. En utilisant la méthode de la matrice de transfert, nous avons étudié le comportement critique du système. Nous avons calculé l’exposant critique pour quelques valeurs des constantes d’interaction. Le quatrième chapitre a été consacré à l’étude des états fondamentaux de deux modèles importants. Le premier est le modèle de Blume-Emery-Gri ths à spin-1. Les interactions sont antiferromagnétiques avec le premier plus proche voisin. Nous avons considéré un système triangulaire avec sa particularité de frustration. Nous avons fait une étude analytique qui nous a donné les énergies des di érentes configurations. Une étude numérique nous a montré les phases les plus stables qu’on a représenté sur un diagramme de phase. Le deuxième modèle était le modele de Blume-Capel à spin-3/2 sur un réseau carré. Nous avons suivi les mêmes étapes d’étude. Comme perspective, il serait intéressant de compléter les deux derniers travaux par des études numériques. Nous prévoyons utiliser les deux méthodes exactes à savoir la méthode de Monte-Carlo et celle de la matrice de transfert. Nous essayerons de calculer les di érents exposants critiques et de déterminer leur classe d’universalité.
Dans cette these, nous etudions des modeles de spin avec des interactions a longue portee de type ferromagnetique, decroissantes avec la distance entre les particules, de la forme 1/r d + , en utilisant les techniques de simulation de monte carlo en general, combinees aux analyses des lois d'echelle en taille finie. Deux regimes sont consideres : le regime classique ou champ moyen (0 < < d/2) et le regime non classique (d/2 < < d). Les differentes predictions des analyses du groupe de renormalisation sont exposees dans le premier chapitre pour ce type d'interactions. Le chapitre i est consacre aux rappels sur les phenomenes critiques et le chapitre ii a la presentation des differentes techniques utilisees dans cette these. A savoir la methode de simulation monte carlo, la technique des histogrammes de monte carlo et la methode des fonctions de green appliquee au ferromagnetisme. Dans le chapitre iii, nous etudions le modele d'ising avec spin infini a une et deux dimensions. On trouve une transition de phase de type continu ; les exposants critiques sont estimes pour toutes les valeurs etudiees de. En general, nos resultats sont en accord avec la tendance predite par la theorie du groupe de renormalisation dans la region dite non classique. Ce n'est pas le cas dans la region champ moyen. Le modele de potts est traite dans le chapitre iv, a une, deux et trois dimensions. Non seulement le systeme unidimensionel presente une transition de phase mais, pour une valeur de donnee, la nature de cette transition depend du nombre d'etats q, comme dans le cas des interactions a courte portee en dimension deux et trois. Les resultats obtenus a 2d et 3d suggerent egalement l'existence d'une frontiere entre une zone de transition du premier ordre et une zone de transition critique dans le plan des parametres (,q) qualitativement semblable au cas 1d. Finalement, nous considerons les modeles de spins vectoriels, les modeles xy et d'heisenberg unidimensionnels dans le chapitre v. Les systemes presentent un ordre a longue portee a temperature finie pour inferieur a 1. Pour le cas particulier = 1, les resultats de la simulation numerique tendent a confirmer l'existence d'une transition de phase avec une aimantation nulle. Quant a la theorie des fonctions de green, il y aurait une transition de phase dans le cas du modele heisenberg a temperature finie mais pas pour le modele x-y. Certaines predictions du groupe de renormalisation ne sont pas verifiees. Par exemple, nous trouvons que la temperature critique n'a pas un comportement lineaire en mais plutot en loi de puissance.
Cette thèse porte sur les phénomènes critiques survenant dans les modèles bidimensionnels sur réseau. Les résultats sont l'objet de deux articles : le premier porte sur la mesure d'exposants critiques décrivant des objets géométriques du réseau et, le second, sur la construction d'idempotents projetant sur des modules indécomposables de l'algèbre de Temperley-Lieb pour la chaîne de spins XXZ. Le premier article présente des expériences numériques Monte Carlo effectuées pour une famille de modèles de boucles en phase diluée. Baptisés "dilute loop models (DLM)", ceux-ci sont inspirés du modèle O(n) introduit par Nienhuis (1990). La famille est étiquetée par les entiers relativement premiers p et p' ainsi que par un paramètre d'anisotropie. Dans la limite thermodynamique, il est pressenti que le modèle DLM(p,p') soit décrit par une théorie logarithmique des champs conformes de charge centrale c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), où \kappa=p/p' est lié à la fugacité du gaz de boucles \beta=-2\cos\pi/\kappa, pour toute valeur du paramètre d'anisotropie. Les mesures portent sur les exposants critiques représentant la loi d'échelle des objets géométriques suivants : l'interface, le périmètre externe et les liens rouges. L'algorithme Metropolis-Hastings employé, pour lequel nous avons introduit de nombreuses améliorations spécifiques aux modèles dilués, est détaillé. Un traitement statistique rigoureux des données permet des extrapolations coïncidant avec les prédictions théoriques à trois ou quatre chiffres significatifs, malgré des courbes d'extrapolation aux pentes abruptes. Le deuxième article porte sur la décomposition de l'espace de Hilbert \otimes^nC^2 sur lequel la chaîne XXZ de n spins 1/2 agit. La version étudiée ici (Pasquier et Saleur (1990)) est décrite par un hamiltonien H_{XXZ}(q) dépendant d'un paramètre q\in C^\times et s'exprimant comme une somme d'éléments de l'algèbre de Temperley-Lieb TL_n(q). Comme pour les modèles dilués, le spectre de la limite continue de H_{XXZ}(q) semble relié aux théories des champs conformes, le paramètre q déterminant la charge centrale. Les idempotents primitifs de End_{TL_n}\otimes^nC^2 sont obtenus, pour tout q, en termes d'éléments de l'algèbre quantique U_qsl_2 (ou d'une extension) par la dualité de Schur-Weyl quantique. Ces idempotents permettent de construire explicitement les TL_n-modules indécomposables de \otimes^nC^2. Ceux-ci sont tous irréductibles, sauf si q est une racine de l'unité. Cette exception est traitée séparément du cas où q est générique. Les problèmes résolus par ces articles nécessitent une grande variété de résultats et d'outils. Pour cette raison, la thèse comporte plusieurs chapitres préparatoires. Sa structure est la suivante. Le premier chapitre introduit certains concepts communs aux deux articles, notamment une description des phénomènes critiques et de la théorie des champs conformes. Le deuxième chapitre aborde brièvement la question des champs logarithmiques, l'évolution de Schramm-Loewner ainsi que l'algorithme de Metropolis-Hastings. Ces sujets sont nécessaires à la lecture de l'article "Geometric Exponents of Dilute Loop Models" au chapitre 3. Le quatrième chapitre présente les outils algébriques utilisés dans le deuxième article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2", constituant le chapitre 5. La thèse conclut par un résumé des résultats importants et la proposition d'avenues de recherche qui en découlent.
Les matrices hermitiques de trace nulles qui sont associees aux operateurs-densites d'un systeme a n niveaux, forment une representation de l'algebre de lie su(n). Dans cette these, nous avons cherche a utiliser les proprietes formelles de ces algebres pour etudier les proprietes des systemes a n niveaux. Nous examinons d'abord les proprietes instantanees, celles qui ne dependent pas de l'evolution du systeme : positivite des operateurs densites, vecteur de coherence d'un etat pur, vecteurs de coherence d'etats orthogonaux. Les resultats obtenus sont alors utilises pour etudier des systemes dont l'evolution est definie par un hamiltonien. Nous nous interessons en particulier aux constantes du mouvement des systemes composes et aux etats equivalents au sens de jauch. Par la suite, l'etude des systemes a evolution non-hamiltonienne et des systemes composes a necessite de completer la structure d'algebre de Lie. Nous obtenons un espace des vecteurs de coherence dont la structure est definie par un tenseur metrique, par les constantes de structure et par un autre tenseur de rang trois. Le formalisme ainsi defini a ete utilise pour obtenir des restrictions aux valeurs possibles des composantes du superoperateur de redfield. Dans le cas des equations de bloch d'un systeme a deux niveaux nous obtenons des inegalites qui doivent etre verifiees par les temps de relaxation