O modelo da partícula na caixa é uma aproximação fundamental para a descrição do sistema quântico mais simples no qual uma partícula translada em um espaço limitado por um potencial infinito. Invocando os postulados da mecânica quântica, a solução para este sistema nos fornece os valores das energias permitidas E e suas respectivas funções de onda Y. Em virtude da sua simplicidade, o sistema da partícula na caixa oferece um bom ponto de partida para a experimentação de métodos para a solução das equações diferenciais que caracterizam a descrição de sistemas quânticos mais complexos. Neste texto é apresentada uma descrição do modelo da partícula na caixa com diferentes abordagens, ou seja, abordagens semiclássicas, analíticas e numéricas para caixas representadas pelo sistema cartesiano. Os métodos numéricos apresentados são implementados na linguagem PYTHON para experimentação por parte do leitor utilizando o código fonte também apresentado ao final do texto.
O modelo da partícula na caixa é uma aproximação fundamental para a descrição do sistema quântico mais simples no qual uma partícula translada em um espaço limitado por um potencial infinito. Invocando os postulados da mecânica quântica, a solução para este sistema nos fornece os valores das energias permitidas E e suas respectivas funções de onda Y. Em virtude da sua simplicidade, o sistema da partícula na caixa oferece um bom ponto de partida para a experimentação de métodos para a solução das equações diferenciais que caracterizam a descrição de sistemas quânticos mais complexos. Neste texto é apresentada uma descrição do modelo da partícula na caixa com diferentes abordagens, ou seja, abordagens semiclássicas, analíticas e numéricas para caixas representadas pelo sistema cartesiano. Os métodos numéricos apresentados são implementados na linguagem PYTHON para experimentação por parte do leitor utilizando o código fonte também apresentado ao final do texto.
pela orientac ¸ão neste projeto, pelo conhecimento adquirido durante esta dissertac ¸ão e pelas conversas enriquecedoras.Expresso minha gratidão a minha mãe, Dilma Alves de Oliveira e ao meu pai, Paulo Derolle (in memoriam), pelo apoio incondicional ao longo de todos os anos.Agradec ¸o ao IFUSP pela infraestrutura oferecida e ao Ricardo Castro pelo auxílio durante o curso do mestrado. ResumoNa presente dissertac ¸ão, serão estudados e construídos estados semiclássicos de sistemas em movimento infinito, apresentando e discutindo diferentes abordagens para sua construc ¸ão.Dentre essas abordagens, no caso de partículas massivas, analisaremos a evoluc ¸ão temporal de uma soluc ¸ão particular da equac ¸ão de Schrödinger.Essa soluc ¸ão corresponde a um pacote de onda que se propaga com uma velocidade, e cujo valor esperado da posic ¸ão é equivalente ao seu análogo clássico.Para a construc ¸ão desses pacotes de onda, adotaremos o método de Malkin, Man'ko e Dodonov.Com base nesse arcabouc ¸o matemático, estudaremos os estados semiclássicos no caso de uma partícula livre e, como estudo original, construiremos os estados semiclássicos de uma partícula com acelerac ¸ão, representando dois sistemas com movimento infinito.A partir dessa fundamentac ¸ão, interpretaremos como a condic ¸ão de semiclassicalidade pode ser útil para a análise física do sistema.Como exemplo, construiremos estados semiclássicos para uma partícula sujeita a uma forc ¸a de atrito e para uma partícula sujeita a uma forc ¸a de atrito e uma forc ¸a constante, com modelos do tipo Caldirola-Kanai, com o objetivo de compará-los com as condic ¸ões semiclássicas da partícula livre e partícula acelerada, assim, permitindo oferecer uma possível interpretac ¸ão física do Hamiltoniano que incorpora forc ¸as dissipativas em modelos tipo Caldirola-Kanai.Será construído também os estados semiclássicos para o oscilador harmônico invertido.Além disso, no contexto de sistemas não massivos, estudaremos as autofunc ¸ões do operador potencial vetor como estados semiclássicos, e suas diferenc ¸as em relac ¸ão aos estados semiclássicos do campo eletromagnético, que são autofunc ¸ões da parte positiva do operador do campo elétrico, estes, já bem consolidados na literatura.
O conhecimento da dinâmica de bilhares e aplicado diretamente no estudo de pontos quânticos. Em geral sao estudados sistemas classicos, mas sabe-se que sistemas reais, narealidade, pertencem a Mecânica quântica. Dessa forma, busca-se entender o que ocorrena dinâmica de dois eletrons com spin e interacao num bilhar com paredes suaves. Paraisso, precisa-se entender como sistemas mais simples se comportam. Neste sentido,estuda-se uma particula dentro de um potencial infinito, um bilhar quântico simples. Saoobservadas as caracteristicas do sistema quando duas particulas, sem interacao, saoinseridas no bilhar. Atraves do metodo de solucoes de equacoes diferenciais ordinarias eparciais, foram obtidas as solucoes para a equacoes de Schrodinger independente dotempo, para uma e para duas particulas. Tambem e mostrado que os valores esperadospara a posicao e momento ao quadrado sao diferentes de zero. Os resultados obtidosconcordam com a literatura existente. As solucoes para duas particulas sao poucoconhecidas e mostram que o comportamento de cada particula nao e afetado pelo daoutra. Mostra-se que o principio de incerteza e mantido para os valores de uma e de duasparticulas identicas num bilhar unidimensional.
Em um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição. Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem. Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas. Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico. Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas. Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento. Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento. Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H2 +) e a molécula de hidrogênio (H2). Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.
RESUMOEm um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição.Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem.Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas.Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico.Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas.Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento.Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento.Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H 2 + ) e a molécula de hidrogênio (H 2 ).Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.
A compreensão da natureza das propriedades de átomos, moléculas e sistemas mais complexos está diretamente relacionada com a distribuição e o comportamento das partículas microscópicas que os constitui. Diversas evidências experimentais sugeriram que a estrutura de átomos e moléculas não poderiam ser explicadas por princípios baseados na mecânica clássica. Experimentos, tais como: a radiação do corpo negro, capacidade calorífica e espectros atômicos e moleculares, sugeriam que os processos de absorção ou emissão de energia só poderiam ser explicados admitindo-se que a energia envolvida nesses processos seria quantizada e não contínua, como prevê a mecânica clássica. A nova mecânica criada para conciliar os aspectos observados com a hipótese de quantizações de determinadas propriedades microscópicas foi denominada de Mecânica Quântica. Duas versões dessa nova mecânica foram formuladas pelos físicos Erwin Schrödinger e Werner Heisemberg, em trabalhos e métodos matemáticos diferentes, porém equivalentes. A teoria especifica quais são as leis que as partículas de qualquer sistema microscópico obedecem. Observa-se que há uma relação com a teoria de Newton para o movimento de sistemas macroscópicos (princípio da correspondência), sendo a teoria de Newton um caso particular (no limite macroscópico) das equações de Schrödinger, assim como a teoria da relatividade de Einstein é uma generalização que inclui a teoria de Newton como um caso especial, no limite de baixas velocidades. O modelo de Schrödinger está fundamentado em alguns postulados que são descritos a seguir.
Este trabalho consiste em um estudo do emaranhamento em sistemas quânticos abertos, modelados como partículas brownianas.O interesse surge da possibilidade de entender como o meio pode criar ou manter emaranhamento entre sistemas quânticos, em vez de somente ocasionar perda de coerência e energia.Primeiramente, revisamos os significados do emaranhamento em mecânica quântica e algumas formas de quantificá-lo.Em seguida, estudamos a literatura de sistemas quânticos abertos para uma partícula, em especial o movimento browniano quântico.Com isso, foi possível calcular o emaranhamento entre uma partícula quântica browniana e seu reservatório.Numa segunda etapa, estudamos o modelo de duas partículas brownianas em um banho comum.Esse modelo permite a introdução não só de uma escala de tempo característica como também uma de comprimento.Um potencial efetivo entre as partículas surge no modelo como consequência das hipóteses assumidas.Na ausência de potencial externo, é preservada a invariância translacional do sistema.Por fim, pudemos alcançar nosso principal resultado, que foi calcular a matriz densidade das duas partículas em equilíbrio térmico e, com ela, o emaranhamento entre as partículas.