Este documento tiene el objetivo de agrupar los dos bloques de la asignatura “Prácticas y trabajo final de grado” del título universitario en Matemática Computacional de la Universidad Jaume I. Las prácticas se han realizado en la empresa Soluciones Cuatroochenta S.A., donde se llevó a cabo primeramente un trabajo de búsqueda de información y posteriormente el desarrollo del proyecto acorde a los objetivos marcados. Ambas partes fueron necesarias ya que, en todo momento, ha habido libertad de elección a la hora de elegir las tecnologías y herramientas con las que trabajar. El proyecto se ha basado en la aplicación de las redes neuronales para reconocer posibles defectos en una superficie. La segunda parte está basado en el campo de la computación cuántica aplicada a la óptica. En consecuencia, se ha utilizado la álgebra de Lie y de los grupos de Lie. Con la ayuda de Vicent, hemos demostrado la parte mátematica y física necesaria para la aplicación del teorema necesario para obtener resultados. Posteriormente se ha programado un código en Python capaz de hacer los cálculos con la fórmula del teorema para obtener dichos resultados.
Este documento tiene el objetivo de agrupar los dos bloques de la asignatura “Prácticas y trabajo final de grado” del título universitario en Matemática Computacional de la Universidad Jaume I. Las prácticas se han realizado en la empresa Soluciones Cuatroochenta S.A., donde se llevó a cabo primeramente un trabajo de búsqueda de información y posteriormente el desarrollo del proyecto acorde a los objetivos marcados. Ambas partes fueron necesarias ya que, en todo momento, ha habido libertad de elección a la hora de elegir las tecnologías y herramientas con las que trabajar. El proyecto se ha basado en la aplicación de las redes neuronales para reconocer posibles defectos en una superficie. La segunda parte está basado en el campo de la computación cuántica aplicada a la óptica. En consecuencia, se ha utilizado la álgebra de Lie y de los grupos de Lie. Con la ayuda de Vicent, hemos demostrado la parte mátematica y física necesaria para la aplicación del teorema necesario para obtener resultados. Posteriormente se ha programado un código en Python capaz de hacer los cálculos con la fórmula del teorema para obtener dichos resultados.
La tesis se centra en el problema de la simulación de un computador cuántico teórico (libre de errores) y de propósito general, basado en el modelo de circuitos. El problema es del tipo NP, por lo que se ha abordado en primer lugar tratando de detectar los cuellos de botella existentes tanto en espacio como en tiempo y después realizando propuestas que los van reduciendo uno por uno. De esta forma, si bien sigue siendo imposible ejecutar una simulación demasiado grande en un tiempo razonable, ha sido posible reducir los recursos necesarios para hacer una misma simulación. Gran parte del trabajo realizado ha consistido en hacer modificaciones sobre las estructuras de datos utilizadas para modelar el problema desde su perspectiva matricial. El resultado se ha materializado a través de mejoras implementadas dentro de dos proyectos de software libre y de código abierto (Free/Libre and Open Source Software en inglés) (FLOSS): QSimov y Doki, centrados en permitir al usuario trabajar en computación cuántica con pocos recursos y tratando que el paso del diagrama de un circuito cuántico a su código sea lo más inmediato posible.
En la actualidad las caminatas aleatorias han sido empleadas como herramientas
para el desarrollo de numerosos algoritmos. Sin embargo, una carencia
importante para la solucion de problemas radica en la falta de algoritmos que
exploten a su favor los fenomenos que la naturaleza a escalas atomicas presenta.
En este trabajo de tesis se estudia el analogo cuantico que presenta un
caminante al azar, conocido como caminata cuantica. Desde su propuesta, el
paradigma de las caminatas cuanticas ha despertado un considerable interes en
su estudio durante los ultimos anos, ya que, debido a los fenomenos de superposicion,
este grupo de caminata al azar se propagan con mayor rapidez que una
caminata clasica y por lo tanto se puede dar un recorrido espacial en un menor
numero de iteraciones que su contraparte clasica. Por lo anterior, del estudio
de caminatas cuanticas se espera un desempeno superior para el desarrollo de
algoritmos mas veloces.
La hipotesis que en este trabajo se plantea es que a traves del cambio y la
manipulacion en el uso de operadores y los estados iniciales, se generaran cambios
radicales en las distribuciones de los caminantes. Se esperan que al realizar
estos cambios en la densidad probabilidad de un caminante tengan aplicaciones
algoritmica en futuras investigaciones.
Debido a lo anterior esta tesis plantea como objetivo central el analisis de las
caminatas cuanticas, mostrando los cambios radicales que presentan las caminata
cuanticas en sus distribuciones de probabilidad, ademas de presentar una
idea basica de las posible forma de implementacion algoritmica de estas distribuciones.
Ademas reportamos nuevos resultados, hasta donde hemos investigado, en
relacion a la evolucion de las caminatas cuanticas para monedas en altas dimensiones
considerando estados maximamente enlazados y el operador de Grover.
Otros objetivos que se establecen, es dar una motivacion para realizar estudios
en el sentido de la computacion cuantica. Ademas de explicar los fenomenos
que se presentan a escalas atomicas, que son los que ayudan a potencializar el
desempeno de los algoritmos y la caminata cuanticas.
Este Trabajo de Fin de Grado tiene como propósito explorar y divulgar los avances más recientes en el fascinante campo de la computación cuántica, centrándose especialmente en su integración con el aprendizaje profundo. En concreto, se analizará el prometedor enfoque de las redes neuronales cuánticas (Quantum Neural Networks, QNN). La estructura del trabajo se organiza en cuatro bloques temáticos bien diferenciados que permiten abordar de forma progresiva los conceptos clave: En primer lugar, se explican los fundamentos de las Redes Neuronales Clásicas, donde se analizan conceptos como las funciones de activación, las funciones de pérdida, el algoritmo de retropropagación y el proceso completo de entrenamiento. En segundo lugar, nos adentraremos en los pilares de la computación cuántica. Estudiaremos elementos fundamentales como el qubit y las puertas cuánticas, componentes que permiten manipular estados cuánticos. A continuación, con ambas bases teóricas establecidas, abordaremos el diseño de una red neuronal cuántica, centrando la atención en los modelos basados en circuitos variacionales. Además del desarrollo teórico se incluirán ejemplos prácticos y detallados utilizando conjuntos de datos reales. Estos casos permitirán ilustrar de manera tangible cómo se aplica una red neuronal cuántica a problemas concretos, desde la preparación de los datos hasta la interpretación de resultados. Finalmente, se expondrán las principales limitaciones y desafíos que actualmente enfrentan las redes neuronales cuánticas, incluyendo aspectos como la corrección de errores.
Se pretende que el alumno desarrolle un proyecto de investigación asociado a la simulación numérica de la dinámica y control de sistemas estocásticos con potenciales aplicaciones en el novedoso campo de las tecnologías cuánticas. Objetivo 1) Utilizar software adaptado al análisis y simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas. Objetivo 2) Modelización y simulación de sistemas lineales estocásticos análogos a sistemas cuánticos lineales. Objetivo 3) Planteamiento de protocolos de control óptimo sobre estos sistemas. Objetivo 4) Simulación de la dinámica y control óptimo de un sistema cuántico lineal. \nEl control es una rama interdisciplinar de la ingeniería y las matemáticas, aplicada al comportamiento de los sistemas dinámicos. Un controlador manipula la entrada o estado inicial del sistema para lograr un efecto deseado en un estado posterior o salida. Hoy en día, prácticamente todo sistema mecánico y electrónico posee un sistema de control asociado, por sencillo que sea. Un sistema de control simple consiste en una acción sobre el sistema y la obtención del resultado esperado sobre el mismo. Sin embargo, para evitar un final abierto, los sistemas realizan, por lo regular, mediciones intermedias sobre sus salidas y con esa información el sistema es retroalimentado para modificar la acción de control reiniciando el ciclo de entrada-salida. Por otra parte, el desarrollo de nuevas tecnologías basadas en dispositivos cuyas leyes vienen dictadas por la mecánica cuántica se ha convertido en una prioridad para el desarrollo tecnológico actual y diversas aplicaciones tales como las comunicaciones, sensores y computadores cuánticos esperan a su desarrollo para ser implementadas. Esto exige que la rama del control cuántico se desarrolle. Sin embargo, algunas cualidades de la mecánica cuántica no permiten pasar fácilmente el esquema del control clásico al ámbito cuántico. Clásicamente, es posible adquirir toda la información necesaria y emplearla de manera eficiente para retroalimentar el sistema y especializar la acción de control al estado actual. Por el contrario, en un sistema cuántico no toda la información es asequible mediante una medición y, además, todo intento de medir el sistema lo perturba de manera notable. Técnicamente, las ecuaciones dinámicas en un proceso tal, son ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales en lugar de las ecuaciones diferenciales deterministas de los sistemas clásicos. En este proyecto, el alumno implementará un software de simulación de sistemas estocásticos adaptado a las peculiaridades de sistemas cuánticos lineales para a continuación, ensayar la validez de diversos protocolos de control óptimo propuestos para estos sistemas
En un principio, la Teoría de la Información fue concebida en forma abstracta, en base a una formulación matemática. Sin embargo, la habilidad y eficiencia para procesar o transmitir información dependerá en última instancia del sistema físico elegido para codificar esa información. Es así que, al codificar la información en las propiedades físicas de sistemas cuyo comportamiento se describe por las leyes de la mecánica cuántica, se abren nuevas posibilidades que son irrealizables clásicamente. Entre ellas, la posibilidad de generar algoritmos cuánticos para ciertos cálculos que requieren un número de pasos significativamente menor que cualquier algoritmo clásico, reduciendo su complejidad. Entre las características fundamentales de la mecánica cuántica que posibilitan estos desarrollos, sobresalen el principio de superposición y el entrelazamiento cuántico. Una de las implementaciones más accesibles para la comunicación cuántica y el procesamiento cuántico de la información emplea fotones individuales como portadores de la información. Estos pueden viajar entre dos estaciones distantes siendo poco afectados por el ruido que introduce el entorno. Además, poseen varios grados de libertad en los cuales es posible codificar la información y pueden manipularse con un alto grado de control utilizando tecnología estándar. En este trabajo se describen algunas aplicaciones de la implementación fotónica, realizadas en colaboración con el Laboratorio de Procesado de Imágenes (LPI) del Depto. de Física de la UBA. En primer lugar, se describe la determinación experimental de medidas de correlaciones cuánticas en estados no puros de un par de fotones correlacionados en polarización, mediante técnicas de tomografía de estados cuánticos. Luego se describe la utilización de moduladores espaciales de luz programables para entrelazar la polarización con grados de libertad espaciales, y así poder simular los denominados estados historia de evoluciones temporales cuánticas. Se muestra que este último proveeun esquema eficientepara el cálculo de promedios temporales de observables del sistema.
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.