In dieser Arbeit werden Messungen besprochen, die zur Untersuchung von stark wechselwirkenden Fermi-Fermi- und Fermi-Bose-Gemischen mit starkem Populationsungleichgewicht durchgeführt wurden. Wir verwenden eine Mischung aus fermionischem 6Li in Kombination mit entweder fermionischem 40K oder bosonischem 41K. Die letztere Spezies stellt die Minoritätskomponente dar und kann entsprechend als Verunreinigung in einem großen Fermi-Meer aus nichtwechselwirkenden Lithiumatomen angesehen werden. Zunächst untersuchten wir mit unserer Fermi-Fermi-Mischung die Echtzeitentwicklung des Fermi-Polarons, wobei wir die Koexistenz des metastabilen repulsiven Polarons und des attraktiven Polarons beobachteten. Außerdem beobachteten wir eine leichte Veränderung des Kontrasts des Systems, als wir die Dichte der Minoritätsspezies veränderten. Als nächster Schritt wechselten wir das Isotop von K und begannen, das neue Fermi-Bose-System zu untersuchen. Wir fanden heraus, dass wir die kondensierten K-Atome als Thermometer für eine Untersuchung der Temperatur unserer Fermionen verwenden können. Bei der Erforschung der Interspezies-Feshbach-Resonanz fanden wir heraus, dass sich die beiden Spezies im Falle moderater repulsiver Wechselwirkungen, und wenn die Bosonen kondensiert sind, räumlich trennen. Wir charakterisierten das statische und dynamische Verhalten dieser Phasentrennung, wobei die Physik des gesamten Systems durch eine dünne Grenzfläche zwischen den beiden Spezies bestimmt wird. Schließlich fügten wir eine verdünnte Probe von Bosonen in das Fermi-Meer ein und untersuchten das Fermi-Polaron mit bosonischen Verunreinigungen. Wir fanden eine erstaunliche Überseinstimmung zwischen unseren Messungen mit einer endlicher Dichte der Minoritätskomponente und den theoretischen Voraussagen im Falle einer einzelnen Verunreinigung. Als wir allerdings die Dichte der Minoritätskomponente bis zu dem Punkt erhöhten, an dem die Bosonen kondensierten, beobachteten wir einen zusätzlichen Zweig im Polaronspektrum, der auf eine Koexistenz des Fermi- und des Bose-Polarons hindeutet.
In dieser Arbeit werden Messungen besprochen, die zur Untersuchung von stark wechselwirkenden Fermi-Fermi- und Fermi-Bose-Gemischen mit starkem Populationsungleichgewicht durchgeführt wurden. Wir verwenden eine Mischung aus fermionischem 6Li in Kombination mit entweder fermionischem 40K oder bosonischem 41K. Die letztere Spezies stellt die Minoritätskomponente dar und kann entsprechend als Verunreinigung in einem großen Fermi-Meer aus nichtwechselwirkenden Lithiumatomen angesehen werden. Zunächst untersuchten wir mit unserer Fermi-Fermi-Mischung die Echtzeitentwicklung des Fermi-Polarons, wobei wir die Koexistenz des metastabilen repulsiven Polarons und des attraktiven Polarons beobachteten. Außerdem beobachteten wir eine leichte Veränderung des Kontrasts des Systems, als wir die Dichte der Minoritätsspezies veränderten. Als nächster Schritt wechselten wir das Isotop von K und begannen, das neue Fermi-Bose-System zu untersuchen. Wir fanden heraus, dass wir die kondensierten K-Atome als Thermometer für eine Untersuchung der Temperatur unserer Fermionen verwenden können. Bei der Erforschung der Interspezies-Feshbach-Resonanz fanden wir heraus, dass sich die beiden Spezies im Falle moderater repulsiver Wechselwirkungen, und wenn die Bosonen kondensiert sind, räumlich trennen. Wir charakterisierten das statische und dynamische Verhalten dieser Phasentrennung, wobei die Physik des gesamten Systems durch eine dünne Grenzfläche zwischen den beiden Spezies bestimmt wird. Schließlich fügten wir eine verdünnte Probe von Bosonen in das Fermi-Meer ein und untersuchten das Fermi-Polaron mit bosonischen Verunreinigungen. Wir fanden eine erstaunliche Überseinstimmung zwischen unseren Messungen mit einer endlicher Dichte der Minoritätskomponente und den theoretischen Voraussagen im Falle einer einzelnen Verunreinigung. Als wir allerdings die Dichte der Minoritätskomponente bis zu dem Punkt erhöhten, an dem die Bosonen kondensierten, beobachteten wir einen zusätzlichen Zweig im Polaronspektrum, der auf eine Koexistenz des Fermi- und des Bose-Polarons hindeutet.
In der vorliegenden Arbeit werden die Möglichkeiten, stark korrelierte Quantensysteme anhand der Bose-Fermi Mischung von Natrium und Lithium experimentell umzusetzen, untersucht. Zu diesem Zweck wurden die intraspezies Wechselwirkung von Natrium sowie die interspezies Wechselwirkung zwischen Natrium und Lithium erforscht. Durch eine quantitative Analyse des Natrium Feshbach Resonanz Spektrums konnten wir dessen Wechselwirkungseigenschaften präzise bestimmen und insbesondere die Genauigkeit der Energie des letzten gebundenen Zustands um einen Faktor 50 erhöhen. Zur Untersuchung der interspezies Wechselwirkungseigenschaften haben wir einen allgemeingültigen Ansatz entwickelt, dessen Anwendbarkeit wir anhand der Natrium-Lithium Mischung zeigen konnten: Vorzeichen und Größe der Streulänge wurden bestimmt und dieser Wert verwendet, um die Energie des letzten gebundenen Zustands zu bestimmen, was als Ausgangspunkt für die Erklärung des gemessenen Feshbach Spektrums diente. Im Spezialfall Natrium-Lithium konnten wir 23 der 26 beobachteten Resonanzen als d-Wellen einordnen. Dieses unerwartete Ergebnis wurde durch eine Coupled-Channels Rechnung bestätigt, deren Resultate für die Wechselwirkungseigenschaften auch mit den unabhängig experimentell ermittelten Größen übereinstimmen. Als ergänzende Herangehensweise, um stark korrelierte Systeme zu untersuchen, haben wir unseren experimentellen Aufbau durch ein optisches Gitter ergänzt. Wir konnten Methoden, um die Bandbesetzung zu bestimmen und kohärent zu manipulieren, demonstrieren und den interspezies Energieübertrag auf verschiedene Weisen untersuchen. Die Gitterfrequenz wurde mit besonderem Augenmerk auf die erreichbare Genauigkeit bestimmt. Der ermittelte Wert in Kombination mit den Ergebnissen der Wechselwirkungsanalyse zeigt, dass Fröhlich Polaronen in der ultrakalten Bose-Fermi Mischung von Natrium und Lithium erfolgreich über den Anstieg in effektiver Masse detektiert werden könnten.
In dieser Dissertation wird das Verhalten sehr kalter stark korrelierter Quantengase, sowohl in optischen Gittern, als auch in rotierenden Fallen, untersucht.Im ersten Teil betrachten wir Fermionen auf einen bosonenischem Motthintergrund in einem zweidimensionalen optischen Gitter mit quadratischen Einheitszellen.Aufgrund der Wechselwirkung zwischen Fermionen und Bosonen bilden sich "Composite Fermions", Fermionen gepaart mit bosnischen Löchern oder mit Bosonen.Für eine kleine Tunnelrate leiten wir einen effektiven Hamiltonian her, der das Verhalten der "Composite Fermions" beschreibt.Mit Hilfe einer einfachen Mean-Field-Rechnung finden wir einen Mottisolator-Superflüssigkeit Phasenübergang, den wir nummerisch bestätigen Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit Quantengasen in optischen "trimerized" Kagomégittern.Für Bosonen finden wir einem Mottisolator mit einer rationalen Anzahl von Atomen (1/3, 2/3, 1, • • • ) in einer Zelle.Im Falle einer Fermion-Fermion-Mischung können wir einen effektiven Hamiltonian für einen Heisenbergantiferromagneten herleiten.Außerdem betrachten ein Gas bestehend aus polarisierten Fermion.Auch dieses System kann mit einem effektiven Hamiltonian dargestellt werden.Durch eine exakte Diagonalisierung gelangen wir zu einer, in frustrierten Systemen, unerwarteten Schlußfolgerung: Es gibt keine Energielücke zwischen Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand aber trotzdem finden wir eine langreichweitige Spin-Spin-Korrelation.Im letzten Kapitel untersuchen wir die Möglichkeit, Wignerkristallisation in schnell rotierenden polarisiertem Dipolgasen zu beobachten.Wir vergleichen die Energie eines Wignerkristalls mit der Energie eines Laughlinzustandes und stellen fest, dass unter einer kritischen Füllrate der Wignerkristall energetisch günstiger ist.Weiterhin beschäftigen wir uns mit der Stabilität einer solchen Kristalls und finden unter Berücksichtigung von Phonon-Phonon Wechselwirkungen heraus, dass der Wignerkristall schmilzt, wenn die Füllrate einen kritischen Wert überschreitet.Wir können nun das Lindemannkriterium für den schnell rotierenden dipolaren Wignerkristall formulieren.Die kritische Füllrate für den energetischen Phasenübergang ist etwas größer als für den Schmelzpunkt.
In dieser Dissertation werden das Anregungsspektrum und das Phasendiagramm wechselwirkender Fermi- und Bosegase untersucht. Zu diesem Zweck wird eine neuartige renormierte Kadanoff-Martin-Näherung vorgestellt, die Selbstwechselwirkung von Teilchen vermeidet und somit eine einheitliche Beschreibung sowohl der normalen als auch der kondensierten Phase ermöglicht. Für Fermionen findet man den BCS-Zustand, benannt nach Bardeen, Cooper und Schrieffer, welcher entscheidend ist für das Phänomen der Supraleitung. Charakteristisch für diesen Zustand ist eine Energielücke im Anregungsspektrum an der Fermi-Energie. Weiterhin tritt für Bosonen eine Bose-Einstein-Kondensation (BEC) auf, bei der das Anregungsspektrum für kleine Impulse linear ist. Letzteres führt zum Phänomen der Suprafluidität. Über die bereits bekannten Phänomene hinaus findet man eine dem BCS-Zustand ähnliche Kondensation von Zweiteilchenbindungszuständen, sowohl für Fermionen als auch für Bosonen. Für Fermionen tritt ein Übergang zwischen der Kondensation von Bindungszuständen und dem BCS-Zustand auf, der sogenannte BEC-BCS-Übergang. Die Untersuchung der Zustandsgleichung zeigt, dass im Gegensatz zu Fermi-Gasen und Bose-Gasen mit abstoßender Wechselwirkung Bose-Gase mit anziehender Wechselwirkung zu einer Flüssigkeit kondensieren oder sich verfestigen, bevor es zur Kondensation von Bindungszuständen oder zur Bose-Einstein-Kondensation kommt. Daher können diese Phänomene voraussichtlich nicht in der Gasphase beobachtet werden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das vorgestellte Näherungsverfahren sehr gut geeignet ist, die erwähnten Phänomene im Zusammenhang mit der Bose-Einstein-Kondensation zu beschreiben.
In den letzten Jahren haben Quantenpunkte viel Aufmerksamkeit erhalten, da ihre magnetischen Eigenschaften für Spintronik Geräte benutzt oder ein in einem Quantenpunkt eingesperrter Spin als Qubit für einen Quantencomputer verwendet werden könnte. In dieser Arbeit untersuchen wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften von verschiedenen Quantenstörstellensystemen (QIS). Als erstes wird das Kondo-Modell betrachtet, in dem das lokale magnetische Moment einer Störstelle über eine Heisenberg-Wechselwirkung an ein fermionisches Bad gekoppelt ist. Wir untersuchen, wie die Kondokorrelationen aufgebaut werden und wie sie sich durch das Leitungsband ausbreiten. Die Nichtgleichgewichtsergebnisse zeigen, dass die meisten Korrelationen sich innerhalb eines Lichtkegels ausbreiten, der bestimmt ist durch die Fermi-Geschwindigkeit. Interessanterweise sehen wir auch Korrelationen außerhalb des Lichtkegels. Mittels einer Störungstheorie in zweiter Ordnung in der Kopplung, können wir zeigen, dass diese Korrelationen mit den intrinsischen Korrelationen des Fermi-Sees zusammenhängen. Weiterhin stellen wir ein Experiment vor, in dem Metall-Molekül-Komplexe durch Reaktion von einem PTCDA Molekül, das auf einer Au(111) Oberfläche adsorbiert, mit einem einzelnen Au Atom gebildet werden. Dies führt zur Entstehung von Radikalen. Der beobachtete Kondoeffekt in den Rastertunnelmikroskopie (STM) Spektren ist ein eindeutiger Beweis für die Bildung eines lokalen Momentes. Die physikalisch korrekte Beschreibung der Bildung des lokalen Momentes und des Kondoeffekt ist jedoch mit der Dichtefunktionaltheorie (DFT) nicht möglich. Daher verwenden wir einen kombinierten DFT + Numerische Renormierungsgruppen (NRG) Ansatz, in dem wir die Ergebnisse der DFT als “ab initio” Eingangs-Parameter für unsere NRG verwenden. Wir zeigen, dass die Ergebnisse des Experiments und der NRG ohne Anpassungen der Modellparameter sehr gut übereinstimmen. Wenn zwei Au Atome auf benachbarten PTCDA Molekülen adsorbieren, weist das Spektrum in manchen Fällen eine Lücke um die Fermi-Energie, anstatt einer Kondoresonanz auf. Indem wir das System auf ein Zwei-Störstellen-Anderson-Modell (TIAM) abbilden, können wir zeigen, dass diese Lücke durch die starke nichtmagnetische chemische Wechselwirkung zwischen den beiden Komplexen entsteht. Mittels unserer NRG Ergebnisse liefern wir eine ausführliche Analyse des auftretenden Quantenphasenübergangs (QPT). Am Schluss betrachten wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften des Zwei-Störstellen-Kondo-Modells (TIKM), welches einen QPT aufweist, wenn man die Energieabhängigkeit der Kopplungen an das Leitungsband vernachlässigt. Wir zeigen, dass es möglich ist, diesen QPT in dem voll energieabhängigen Modell mittels passenden Potentialstreutermen wiederherzustellen. Danach wird die Zeitdynamik nach einem Quench in der direkten Spin-Spin-Wechselwirkung zwischen den beiden Störstellenspins untersucht. Es wird gezeigt, dass eine ausreichend große antiferromagnetische Wechselwirkung die Thermalisierung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion verhindert, da in diesem Fall die Störstellen vom Leitungsband entkoppeln.
Seit der Beobachtung von Bose-Einstein-Kondensation in einkomponentigen bosonischen Gasen und der Realisierung von spin-polarisierten idealen Fermigasen entwickelt sich das (noch sehr junge) Feld der ultrakalten Quantengase rasch in Richtung mehrkomponentiger Gase. Das letztendlich weiteste Spektrum an Moglichkeiten fur quantenmechanische Simulation, ultrakalte Chemie, exotische Paarbildungsmechanismen, Unordnungsphanomene und langreichweitige Wechselwirkung wird eroffnet durch Mischungen unterschiedlicher atomarer Elemente mit unterschiedlicher Statistik, unterschiedlichen Wechselwirkungen und Massen.
Diese Dissertation stellt Experimente in einem System wechselwirkender, entarteter Mischungen aus fermionischen 40K und bosonischen 87Rb Quantengasen vor. Ein zusammen mit S. Ospelkaus aufgebautes Experiment zur Erzeugung von Fermi-Bose Mischungen wird detailliert vorgestellt.
Bose-Einstein-Kondensation von 87Rb und die Erzeugung eines quantenentarteten Fermigases aus 40K wird demonstriert.
Im Rahmen dieser Arbeit wurden Mischungen aus 87Rb und 40K mit den bislang grosten Teilchenzahlen realisiert. Die entsprechend hohen Dichten fuhren zur Beobachtung starker kontrahierender Effekte der attraktiven Fermi-Bose-Wechselwirkung, die das Verhalten der Mischung fundamental beeinflussen. Eindeutige Signaturen eines Kollapses fur grose Mischungen werden aufgezeigt, und das dynamische Verhalten der kollabierenden Mischung wird untersucht. Die beobachteten Instabilitaten haben wichtige Konsequenzen fur die Bestimmung der Wechselwirkungsparameter.
Erstmalig wird die Durchstimmung heteronuklearer Wechselwirkung mittels Feshbach-Resonanzen demonstriert. Dies fuhrt zur Beobachtung aller Phasen harmonisch gespeicherter Mischungen: stabile, attraktiv oder repulsiv wechselwirkende Mischungen sowie Phasenseparation und ein kontrollierter Feshbach-induzierter Kollaps.
Das hier beschriebene Experiment wurde von Beginn an fur Messungen in dreidimensionalen optischen Gittern ausgelegt. Fur homonukleare Systeme hat weltweit eine beeindruckende Reihe von Ergebnissen gezeigt, dass solche perfekten optischen Kristallgitter als Quantensimulatoren fur Festkorperphanomene dienen konnen. In dieser Dissertation wurde erstmalig eine Fermi-Bose Mischung in ein dreidimensionales optisches Gitter geladen. Dabei wird beobachtet, dass schon eine kleine Beimengung von fermionischen Atomen die Koharenz der bosonischen Wolke in betrachtlichem Mase beeinflusst. Diese Beobachtung ist momentan Gegenstand intensiver theoretischer Untersuchungen; es werden Beziehungen zu Thermodynamik im Gitter, Modellen in Naherung und unordnungsgetriebenen Lokalisierungsphanomenen in Festkorpern diskutiert.
Als wichtiger Schritt fur heteronukleare Systeme wird die Erzeugung ultrakalter Feshbach-Molekule vorgestellt. Diese ultrakalte chemische Reaktion findet an einer heteronuklearen Feshbachresonanz statt. Das beobachtete Spektrum der Bindungsenergien und die Effizienz der Molekulassoziation werden im Rahmen eines universellen Modelles (in Zusammenarbeit mit F. Deuretzbacher, K. Plassmeier und D. Pfannkuche) untersucht. Die langlebigen Molekule werden an einzelnen Gitterplatzen eines dreidimensionalen optischen Gitters in einem wohldefinierten Rovibrationszustand erzeugt, was sie zu idealen Kandidaten fur einen weiteren Transfer in den absoluten internen und externen Grundzustand mittels Femtosekunden-Frequenzkammtechnologie macht. Solche ultrakalten polaren Molekuleeignen sich als Bausteine neuartiger skalierbarer Quantencomputer, fur Quantengase mit langreichweitiger Wechselwirkung und fur fundamentale Messungen zu diskreten Symmetrieverletzungen in Atomen.
Starting with the observation of Bose-Einstein condensation in single-component bosonic gases and Fermi degeneracy in spin-polarized Fermi gases, the (still relatively young) field of ultracold quantum gases is rapidly expanding to studies of mixed systems. Ultimately, mixtures of different atomic species with different statistics, different trapping properties, interactions and masses open up the widest spectrum of possibilities for quantum simulation, ultracold chemistry, exotic pairing phases, disorder-related many-body physics and long-range interacting systems.
This thesis presents experiments in a system of interacting quantum degenerate fermionic 40K and bosonic 87Rb atoms. An experimental setup for producing Fermi-Bose mixtures which has been set up together with S. Ospelkaus is described in detail. The observation of both bosonic and fermionic degeneracy is demonstrated; in the case of fermionic atoms, showing the quantum behavior requires thorough analysis, which is rewarded by the observation of an ideal macroscopic Fermi sea.
This thesis presents mixtures with the so far largest particle numbers for the 40K-87Rb system and discusses measurements with high densities where strong mean-field contracting interaction effects affect the behavior of the mixture. Clear signatures of the mean field collapse of large mixtures are observed, the dynamics of the collapsing sample is studied and important consequences for the interaction parameters are discussed.
Tuning of interactions in a harmonically trapped heteronuclear mixture by means of Feshbach resonances is demonstrated for the first time, allowing all phases of the harmonically trapped mixture to be observed: stable heteronuclear interaction and repulsion as well as phase separation and a controlled Feshbach-induced collapse.
From the very beginning, the setup described here has been designed for experiments in 3-dimensional optical lattices. In recent years, an impressive series on experiments with homonuclear systems has shown that such perfect optical crystals can be used as quantum simulators for condensed-matter phenomena. Within this thesis, a heteronuclear system, in particular a Fermi-Bose mixture, has been loaded into a 3D optical lattice for the first time, and only a very small fraction of fermionic impurities has been found to significantly reduce the coherence in the bosonic cloud. The observations are currently the subject of intense theoretical analysis, and there are important connections to thermodynamics, advanced mean field models and disorder physics.
As a long-awaited step for heteronuclear systems, formation of ultracold Feshbach molecules from two different atomic elements is demonstrated. This ultracold chemical reaction takes place at temperatures in the nK regime at a heteronuclear Feshbach resonance. A detailed understanding of the observed energy spectrum and the molecular association process has been developed in collaboration with F. Deuretzbacher, K. Plassmeier and D. Pfannkuche in terms of a universal model. Long-lived molecules are produced within single wells of the 3D-optical lattice in a well-defined rovibrational state, which makes them an ideal basis for coherent transfer into both the external and internal ground state using readily available femtosecond technology. Such all ground state polar molecules open up the way towards ultracold long-range dipolar interacting systems. They may be used as building blocks of novel quantum gases, scalable quantum computation schemes and for fundamental measurements of P and T violating effects in atoms.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Einfluss der Wechselwirkung zwischen extrem kalten Bosonen, die in einem optischem Gitter gehalten werden, auf des Streusignal eines Teilchens, welches als Sonde fungiert. Die Bosonen im Gitter werden durch das Bose-Hubbard-Modell beschrieben. Ausgangspunkt für unsere Untersuchungen ist ein allgemeiner Ausdruck für den Streuquerschnitt des Teilchens, der für beliebige Wechselwirkungsstärken gültig ist. Generell erfordert die Bestimmung der Streueigenschaften die numerische Diagonalisierung des Hamilton- Operators, welcher die Bosonen beschreibt. Um eine analytische Beschreibung des Problems zu erhalten, machen wir von verschiedenen Näherungen Gebrauch, die für unterschiedliche Stärken der Wechselwirkung gültig sind. Numerische Simulationen zeigen, daß sich die Wechselwirkungsstärke im inelastischen Streuquerschnitt offenbart, welcher mit zunehmender Wechselwirkungsenergie abnimmt. Im Regime schwacher Wechselwirkungen können die Bosonen im Gitter durch eine makroskopisch besetzte Wellenfunktion – dem sogenannten Kondensat – beschrieben werden, vorausgesetzt die Zahl der Bosonen, die sich nicht im Kondensat befinden, ist klein im Vergleich zu ihrer Gesamtzahl. In der Bogoliubov-Näherung wird der Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter durch eine klassische Hamilton-Funktion ersetzt, und Quantenfluktuationen um das klassische Feld (welches das Kondensat beschreibt) werden als Störung betrachtet. Dies erlaubt die analytische Bestimmung des Streuquerschnitts, der aufgrund der Anregung von Dichtefluktuationen einen nichtverschwindenden inelastischen Anteil aufweist. Wir zeigen, daß dieser für kleine Werte der Wechselwirkung linear abnimmt. Dieser lineare Zerfall ist universell insofern, als seine Steigung unabhängig von der bosonischen Dichte und der Größe des Gitters ist. Im Falle starker repulsiver Wechselwirkungen wird ein Quantenphasenübergang der Bosonen von einem superfluiden in einen isolierenden Zustand erwartet. In diesem Regime lässt sich das System störungstheoretisch behandeln, wobei der Wechselwirkungsterm im Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter als Operator des ungestörten Systems betrachtet wird, und die kinetische Energie in Form des quantenmechanischen Tunnelns der Teilchen als Störung. Große Wechselwirkungsstärken führen zu einer Unterdrückung von Dichtefluktuationen – aufgrund der Abstoßung, welche die Lokalisierung der Atome energetisch favorisiert – und damit zur Abnahme des inelastischen Streusignals. Wir leiten eine Näherung für den inelastischen Streuquerschnitt in niedrigster Ordnung in der Tunnelstärke her. Im Gegensatz zum schwach wechselwirkenden Regime zerfällt das Streusignal hier quadratisch als Funktion der Wechselwirkung. Insbesondere ist in dieser Ordnung der Näherung keine qualitative änderung des Zerfalls am erwarteten Punkt des Quantenphasenübergangs zu beobachten. Um die Genauigkeit unserer Näherungen zu prüfen und ihre Aussagekraft zu untermauern, führen wir in sämtlichen Fällen numerische Simulationen des exakten Streuproblems durch und vergleichen die erhaltenen Daten mit den Näherungsformeln. So können wir zeigen, daß die von uns hergeleitete analytische Beschreibung innerhalb der jeweiligen Grenzen ihrer Gültigkeit die numerisch erhaltenen Daten zu reproduzieren vermag. Entsprechend diskutieren und erläutern wir Abweichungen, die auftreten, wenn diese Grenzen überschritten werden.