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Physik in unserer Zeit

Die Schrödinger‐Gleichung

Franz Bader

Published Jan 1, 1998• 0 citations
Publisher

Abstract

Abstract In der Quantenmechanik werden Teilchen als Wellenpakete dargestellt. Das mathematische Werkzeug, mit dem sie sich beschreiben lassen, ist die Schrödinger‐Gleichung. Der PC ermöglicht es, die Schrödinger‐Gleichung für bestimmte Fälle zu lösen und vermittelt so einen Einblick in die Quantenwelt.
DOI
10.1002/piuz.19980290305

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Die Schrödinger-Gleichung

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Wie können wir wissen, wo sich ein Teilchen wirklich aufhält, wenn es als Welle über den ganzen Raum verteilt ist? Erwin Schrödinger formulierte eine Gleichung, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, ein solches Wellen-Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden. Mit ihrer Hilfe lassen sich auch die Energieniveaus von Elektronen in Atomen erklären. Damit bereitete Schrödinger sowohl der Quantenmechanik als auch der modernen Chemie den Weg.

Spektrum Akademischer Verlag eBooks•Jan 1, 2009•0 citations

Die Schrödinger-Gleichung

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Aufgrund der beobachteten Welleneigenschaften eines Teilchens stellt sich die Frage, wie sich das Teilchen beschreiben läßt. In Abschn. 1.2.3 wurde bereits erläutert, daß dem Teilchen eine Wellenfunktion $$\psi \left( {\vec r,t} \right)$$ zugeordnet wird, deren Absolutquadrat nach der Deutung von Max Born die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens angibt. Von welcher Gestalt diese Welle ist, ob es sich z.B. um eine ebene Welle, eine Kugelwelle oder um andere Wellen handelt, hängt sicher vom jeweils gestellten physikalischen Problem ab. In der klassischen Physik werden Wellenphänomene durch Lösungen einer Differentialgleichung — Wellengleichung — beschrieben. So ist es plausibel, daß auch in der Quantenphysik eine Differentialgleichung, nämlich die Schrödinger—Gleichung, die Ausgangsbasis für eine Materiewelle ist. Sie wurde von Schrödinger 1925 aufgrund der allgemeinen Eigenschaften der Materiewellen aufgestellt. Die Schrödinger—Gleichung läßt sich nicht herleiten, sondern nur plausibel machen. Diese Eigenschaft hat sie mit allen grundlegenden Gleichungen der Physik, z.B. mit den Maxwell—Gleichungen der Elektrodynamik gemeinsam. Die Bedeutung der Schrödinger—Gleichung liegt ebenso wie bei den Maxwell—Gleichungen darin, daß die aus ihr hergeleiteten Ergebnisse mit den Experimenten übereinstimmen.

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Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.

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Zusammengesetzte Systeme

P. Gombás

Die Lösung des allgemeinen Mehrkörperproblems stößt naturgemäß auch in der Wellenmechanik auf unüberwindliche mathematische Schwierigkeiten, da die exakte Lösung der Schrödinger-Gleichung eines beliebigen zusammengesetzten Systems vollkommen aussichtslos ist. Bei zusammengesetzten Systemen ist es aber häufig der Fall, daß für die einzelnen Teilchen, aus denen sich das System zusammensetzt, die Schrödinger-Gleichung streng lösbar ist, d. h. daß für die einzelnen Teilchen die Eigenfunktionen und Eigenwerte bekannt sind. Die Lösung des Problems im Fall eines solchen zusammengesetzten Systems kann in der Wellenmechanik häufig in der Weise erzielt werden, daß man in der sogenannten nullten Näherung die Teilchen voneinander als unabhängig betrachtet und die gegenseitige Wechselwirkung der Teilchen in den höheren Näherungen auf Grund der Störungsrechnung in Betracht zieht.

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Um den Beginn des 19. Jahrhunderts erhob sich die mathematische Theorie der Wahrscheinlichkeit durch die Schriften von Laplace, Gauß und anderen großen Mathematikern zu einem hohen Rang. Sie hat in der Physik viele Anwendungen gefunden. Zuerst war sie fast ganz auf die Behandlung der Beobachtungsfehler beschränkt, — besonders in der Astronomie, die den zweifelhaften Ruhm genossen zu haben scheint, daß sie einer Fehlertheorie den größten Spielraum gewährte. Mit dem Aufschwung der Thermodynamik und der Zerlegung der Materie in eine große Zahl von unabhängigen Teilchen, die sich ganz ungeordnet bewegen, ist die Wahrscheinlichkeit in eine engere Beziehung zu den Grund-Problemen der Physik getreten. Heute wird das vornehmste Symbol der Wellenmechanik, das geheimnisvolle Ψ, das der Quantenphysiker von Gleichung zu Gleichung verfolgt, mit einer Wahrscheinlichkeit identifiziert — soweit wir das undefinierbare definieren können. In den allerneuesten Theorien der Physik scheint die Wahrscheinlichkeit den Äther in seiner Rolle als „Hauptwort für das Zeitwort schwingen“ ersetzt zu haben.

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ZusammenfassungIn physikalischen Veröffentlichungen ist es sein Name, der am häufigsten zitiert wird. Die heutige Physik und Chemie sind undenkbar ohne die Schrödinger-Gleichung und die Schrödingersche Wellenfunktion. Beide bilden das Kernstück der sogenannten Wellenmechanik, die 1926 in Form von vier Mitteilungen über die Quantisierung als Eigenwertproblem veröffentlicht wurde. Sch. versuchte mit seiner Theorie ein klassisches und anschauliches Bild der Atome zu skizzieren und die im Jahr zuvor von Werner Heisenberg konzipierte Atommechanik zu überwinden, von der er sich »abgeschreckt, um nicht zu sagen abgestoßen« fühlte. Sch. wollte sich nicht mit den Unstetigkeiten, jenen »Quantensprüngen« abfinden, zu denen Atome als Konsequenz der Plankschen Quantenhypothese gezwungen wurden. Als sich zur allgemeinen Überraschung noch 1926 herausstellte, daß die Theorien von Sch. und Heisenberg äquivalent waren, wurde der Weg frei für die philosophische Interpretation der Quantenmechanik, die vor allem auf Niels Bohr zurückgeht und durch den Begriff der Komplementarität charakterisiert werden kann. Sch. konnte die in diesem Rahmen erfolgte Aufhebung einer kausalen Determiniertheit im atomaren Geschehen nicht akzeptieren. Unter seinen Bemühungen, die erkenntnistheoretische Lektion der Atome zu lernen, ragt eine Diskussion über Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik (1935) hervor.

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Aufgrund der beobachteten Welleneigenschaften eines Teilchens stellt sich die Frage, wie sich das Teilchen beschreiben läßt. In Abschn. 1.2.3 wurde bereits erläutert, daß dem Teilchen eine Wellenfunktion ψ(r⃗,t)\psi \left( {\vec r,t} \right)ψ(r,t) zugeordnet wird, deren Absolutquadrat nach der Deutung von Max Born die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens angibt. Von welcher Gestalt diese Welle ist, ob es sich z.B. um eine ebene Welle, eine Kugelwelle oder um andere Wellen handelt, hängt sicher vom jeweils gestellten physikalischen Problem ab. In der klassischen Physik werden Wellenphänomene durch Lösungen einer Differentialgleichung — Wellengleichung — beschrieben. So ist es plausibel, daß auch in der Quantenphysik eine Differentialgleichung, nämlich die Schrödinger—Gleichung, die Ausgangsbasis für eine Materiewelle ist. Sie wurde von Schrödinger 1925 aufgrund der allgemeinen Eigenschaften der Materiewellen aufgestellt. Die Schrödinger—Gleichung läßt sich nicht herleiten, sondern nur plausibel machen. Diese Eigenschaft hat sie mit allen grundlegenden Gleichungen der Physik, z.B. mit den Maxwell—Gleichungen der Elektrodynamik gemeinsam. Die Bedeutung der Schrödinger—Gleichung liegt ebenso wie bei den Maxwell—Gleichungen darin, daß die aus ihr hergeleiteten Ergebnisse mit den Experimenten übereinstimmen.
Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.
Die Lösung des allgemeinen Mehrkörperproblems stößt naturgemäß auch in der Wellenmechanik auf unüberwindliche mathematische Schwierigkeiten, da die exakte Lösung der Schrödinger-Gleichung eines beliebigen zusammengesetzten Systems vollkommen aussichtslos ist. Bei zusammengesetzten Systemen ist es aber häufig der Fall, daß für die einzelnen Teilchen, aus denen sich das System zusammensetzt, die Schrödinger-Gleichung streng lösbar ist, d. h. daß für die einzelnen Teilchen die Eigenfunktionen und Eigenwerte bekannt sind. Die Lösung des Problems im Fall eines solchen zusammengesetzten Systems kann in der Wellenmechanik häufig in der Weise erzielt werden, daß man in der sogenannten nullten Näherung die Teilchen voneinander als unabhängig betrachtet und die gegenseitige Wechselwirkung der Teilchen in den höheren Näherungen auf Grund der Störungsrechnung in Betracht zieht.
Um den Beginn des 19. Jahrhunderts erhob sich die mathematische Theorie der Wahrscheinlichkeit durch die Schriften von Laplace, Gauß und anderen großen Mathematikern zu einem hohen Rang. Sie hat in der Physik viele Anwendungen gefunden. Zuerst war sie fast ganz auf die Behandlung der Beobachtungsfehler beschränkt, — besonders in der Astronomie, die den zweifelhaften Ruhm genossen zu haben scheint, daß sie einer Fehlertheorie den größten Spielraum gewährte. Mit dem Aufschwung der Thermodynamik und der Zerlegung der Materie in eine große Zahl von unabhängigen Teilchen, die sich ganz ungeordnet bewegen, ist die Wahrscheinlichkeit in eine engere Beziehung zu den Grund-Problemen der Physik getreten. Heute wird das vornehmste Symbol der Wellenmechanik, das geheimnisvolle Ψ, das der Quantenphysiker von Gleichung zu Gleichung verfolgt, mit einer Wahrscheinlichkeit identifiziert — soweit wir das undefinierbare definieren können. In den allerneuesten Theorien der Physik scheint die Wahrscheinlichkeit den Äther in seiner Rolle als „Hauptwort für das Zeitwort schwingen“ ersetzt zu haben.
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