Die Lösung des allgemeinen Mehrkörperproblems stößt naturgemäß auch in der Wellenmechanik auf unüberwindliche mathematische Schwierigkeiten, da die exakte Lösung der Schrödinger-Gleichung eines beliebigen zusammengesetzten Systems vollkommen aussichtslos ist. Bei zusammengesetzten Systemen ist es aber häufig der Fall, daß für die einzelnen Teilchen, aus denen sich das System zusammensetzt, die Schrödinger-Gleichung streng lösbar ist, d. h. daß für die einzelnen Teilchen die Eigenfunktionen und Eigenwerte bekannt sind. Die Lösung des Problems im Fall eines solchen zusammengesetzten Systems kann in der Wellenmechanik häufig in der Weise erzielt werden, daß man in der sogenannten nullten Näherung die Teilchen voneinander als unabhängig betrachtet und die gegenseitige Wechselwirkung der Teilchen in den höheren Näherungen auf Grund der Störungsrechnung in Betracht zieht.
Die Lösung des allgemeinen Mehrkörperproblems stößt naturgemäß auch in der Wellenmechanik auf unüberwindliche mathematische Schwierigkeiten, da die exakte Lösung der Schrödinger-Gleichung eines beliebigen zusammengesetzten Systems vollkommen aussichtslos ist. Bei zusammengesetzten Systemen ist es aber häufig der Fall, daß für die einzelnen Teilchen, aus denen sich das System zusammensetzt, die Schrödinger-Gleichung streng lösbar ist, d. h. daß für die einzelnen Teilchen die Eigenfunktionen und Eigenwerte bekannt sind. Die Lösung des Problems im Fall eines solchen zusammengesetzten Systems kann in der Wellenmechanik häufig in der Weise erzielt werden, daß man in der sogenannten nullten Näherung die Teilchen voneinander als unabhängig betrachtet und die gegenseitige Wechselwirkung der Teilchen in den höheren Näherungen auf Grund der Störungsrechnung in Betracht zieht.
ZusammenfassungDas Mehrteilchenproblem der Atomphysik konnte, wie die meisten Probleme der Quantenphysik, erst auf Grund der modernen Quantenmechanik in Angriff genommen werden. Die ältere Bohrsche Quantentheorie hat bei der Behandlung des Mehrteilchenproblems vollkommen versagt, denn es zeigte sich, daß schon das einfachste Mehrteilchenproblem, das He-Problem, bei dem sich im Feld eines Kernes nur zwei Elektronen bewegen, zu unüberwindlichen Schwierigkeiten führte, und es ist auf Grund der Bohrschen Atomtheorie nicht gelungen, ein He-Modell zu konstruieren, das die Eigenschaften des He-Atoms zu erklären vermag. Durch die Entdeckung der Quantenmechanik, die man in erster Linie De Broglie, Heisenberg, Schrödinger und Dirac zu verdanken hat, änderte sich diese Lage mit einem Schlag. Durch die Quantenmechanik wurde für die gesamte Quantenphysik ein neues Fundament geschaffen, aus dem sich eine in sich geschlossene und widerspruchsfreie Theorie des Mehrteilchenproblems entwickeln konnte. Natürlich muß man gerade so wie beim berüchtigten astronomischen Drei- und Mehrkörperproblem darauf verzichten, das Problem in seinem vollen Umfang anzugreifen; es werden immer nur spezielle, in der Natur wichtige Teilprobleme zu lösen sein, und jedes dieser Teilprobleme erfordert wohlüberlegte und kunstvolle mathematische Approximationen.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
Nach den eher abstrakten Überlegungen des vorigen Kapitels zur Observablen Drehimpuls soll nun wieder ein Abschnitt folgen, in dem wir anhand von konkreten und wichtigen Beispielen praktische Lösungsmethoden erarbeiten wollen. Das theoretisch-quantenmechanische Grundproblem liegt stets in der Lösung der Schrödinger-Gleichung, d. h. in dem Eigenwertproblem des Hamilton-Operators. Die Schrödinger-Gleichung ist im allgemeinen eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung und damit fast nie streng lösbar. Für eindimensionale Problemstellungen geht sie dagegen in eine gewöhnliche Differentialgleichung über, die mathematisch wesentlich einfacher zu behandeln ist und in Kapitel 4 in der Tat für einige einfache Modellsysteme exakt gelöst werden konnte. Eine bisweilen erfolgreiche Lösungsmethode zielt deshalb darauf ab, komplizierte mehrdimensionale Schrödinger-Gleichungen durch geschickte Wahl der Variablen in mehrere unabhängige, gewöhnliche Differentialgleichungen zu zerlegen. Man nennt dieses Verfahren Separation der Variablen, das wir im übrigen schon an vielen Stellen dieses Grundkurs: Theoretische Physik angewendet haben. Natürlich lassen sich nicht alle Probleme separieren. Es gelingt allerdings insbesondere bei Teilchenbewegungen in einem Zentralpotential.
Obwohl die Bohrsche Theorie des Atombaues nicht in der Lage ist, den Atombau und die Spektren in allen Einzelheiten zu beschreiben, so gelten doch einige ihrer wichtigsten Grundzüge auch für Atome mit mehreren Elektronen. Zu diesen unverändert gültigen Grundlagen gehören die Existenz stationärer Zustände, die Quantelung der Energie und die Quantelung des Drehimpulses. Eine exakte Behandlung der Atome mit mehreren Elektronen muß streng wellenmechanisch erfolgen. Sie ist mathematisch schwierig und führt auch nicht zu einem Atommodell, das sich leicht veranschaulichen läßt. In der Wellenmechanik muß man ein Elektron der Atomhülle als dreidimensionale Welle betrachten, die den Kern umgibt. Es ist daher unzutreffend, ja sogar unmöglich, dem Elektron bei seiner Bewegung eine genau definierte Bahn zuzuschreiben. Stattdessen liefert die Wellenmechanik mittels der Wellenfunktion nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons für einen bestimmten Ort. Nichtsdestoweniger können wir aber, falls wir diese Einschränkungen beachten, eine gewisse Einsicht in die Ergebnisse der Wellenmechanik gewinnen, wenn wir diese auf ein streng klassisches Teilchenmodell anwenden. Zunächst wollen wir den klassischen Fall eines Teilchens behandeln, das sich im Felde einer anziehenden Kraft bewegt, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes abnimmt. Anschließend führen wir ohne Beweis einige wichtige Ergebnisse der Wellenmechanik an. Diese Ergebnisse können wir dann durch die Analogie zum entsprechenden klassischen Modell deuten.
Dass die Quantenchemie durch ihre speziellen Verfahren numerische Lösungen der Schrödinger-Gleichung zu molekularen Problemen hervorbringen kann, die sehr oft befriedigend mit experimentellen Resultaten übereinstimmen, ist allgemein bekannt. Im Gegensatz dazu wurden und werden aber auch unzählige Experimente durchgeführt, deren interessante Aufschlüsse über feinste Details molekularen Geschehens theoretisch prinzipiell nicht aus einer Beschreibung durch Wellenfunktionen gewonnen werden können. Dabei handelt es sich immer um Situationen, bei denen so alltägliche Phänomene wie Relaxation und Energiedissipation eine wichtige Rolle spielen, und bei denen Systeme nahe beim oder auch sehr fern vom Gleichgewicht im Brennpunkt des Interesses stehen. – Die Quantentheorie beansprucht für sich Allgemeingültigkeit. Wenn Wellenfunktionen versagen, hat dann nicht auch die ganze Theorie versagt? Oder gibt es im weitesten Rahmen dieser Theorie einen adäquaten Ersatz für die Schrödinger-Gleichung, falls irreversible Prozesse auf treten? Einige markante Aspekte dieses Fragenkomplexes sollen hier aus heutiger Sicht in möglichst allgemeinverständlicher Weise dargelegt werden.