Egy olyan kvantuminformatikai protokollt vizsgálunk, amely egy összefonó unitér kapu, majd mérés és a mérés eredményén alapuló szelekció homogén kezdőállapotú qubit-sokaságon történő ismételt alkalmazásán alapul [1].Az így létrejövő folyamat megfeleltethető egy komplex polinomok hányadosaként előálló komplex függvény iterált dinamikájának, ha a qubitet egy komplex számmal reprezentáljuk, ezért bizonyos kezdőfeltételek esetén kaotikus viselkedésre vezet [2].Az ilyen nemlineáris folyamatoknak számos kvantuminformatikai alkalmazása lehet, mint például a kvantumállapotok tisztítása [3] vagy a kvantumállapot-megkülönböztetés [4,5,6].Egy másik, érzékenységükön alapuló gyakorlati felhasználásuk lehet a kvantum-áramkörök, kvantum-chipek tesztelése, a fellépő zaj és hibaforrások feltérképezése.Az általunk tekintett sémában a homogén kezdőállapotú qubit-sokaságból (amelyben a qubitek ugyanolyan állapotúak és egymástól függetlenek) hármasával veszünk elemeket, amelyeket egy unitér művelettel összefonunk, majd a háromból két qubitet megmérünk.Ha a megmért qubiteket a kívánt állapotban találjuk, akkor a harmadik qubitet megtartjuk és rajta még egy további transzformációt végzünk (ellenkező esetben eldobjuk a harmadik qubitet is).A folyamatot az ilyen módon transzformált qubitekből képezett hármasokon tovább ismételjük, azaz iteráljuk.Feltesszük tehát, hogy kezdetben van három független qubitünk, mindegyik ugyanabban a |ψ 0 = N z (|0 + z|1 ) kezdeti állapotban, ahol z ∈ Ĉ = C ∪ ∞.Ekkor a teljes rendszer állapota:
Egy olyan kvantuminformatikai protokollt vizsgálunk, amely egy összefonó unitér kapu, majd mérés és a mérés eredményén alapuló szelekció homogén kezdőállapotú qubit-sokaságon történő ismételt alkalmazásán alapul [1].Az így létrejövő folyamat megfeleltethető egy komplex polinomok hányadosaként előálló komplex függvény iterált dinamikájának, ha a qubitet egy komplex számmal reprezentáljuk, ezért bizonyos kezdőfeltételek esetén kaotikus viselkedésre vezet [2].Az ilyen nemlineáris folyamatoknak számos kvantuminformatikai alkalmazása lehet, mint például a kvantumállapotok tisztítása [3] vagy a kvantumállapot-megkülönböztetés [4,5,6].Egy másik, érzékenységükön alapuló gyakorlati felhasználásuk lehet a kvantum-áramkörök, kvantum-chipek tesztelése, a fellépő zaj és hibaforrások feltérképezése.Az általunk tekintett sémában a homogén kezdőállapotú qubit-sokaságból (amelyben a qubitek ugyanolyan állapotúak és egymástól függetlenek) hármasával veszünk elemeket, amelyeket egy unitér művelettel összefonunk, majd a háromból két qubitet megmérünk.Ha a megmért qubiteket a kívánt állapotban találjuk, akkor a harmadik qubitet megtartjuk és rajta még egy további transzformációt végzünk (ellenkező esetben eldobjuk a harmadik qubitet is).A folyamatot az ilyen módon transzformált qubitekből képezett hármasokon tovább ismételjük, azaz iteráljuk.Feltesszük tehát, hogy kezdetben van három független qubitünk, mindegyik ugyanabban a |ψ 0 = N z (|0 + z|1 ) kezdeti állapotban, ahol z ∈ Ĉ = C ∪ ∞.Ekkor a teljes rendszer állapota:
A disszertáció különböző matematikai struktúrákon értelmezett megőrzési problémákat, valamint szeparációs tételeket tartalmaz. Az első fejezetben azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek invariánsan hagynak egy, a kvantum-információelméletben fontos szerepet játszó mennyiséget. Nevezetesen, a sűrűségoperátorokon értelmezett azon transzformációk szerkezete kerül leírásra, melyek egy adott, szigorúan konvex f függvény esetén invariánsan hagyják az ún. kvantum f-divergenciát. Jól ismert tény, hogy speciális f függvény választásával a kvantum f-divergencia definíciója az Umegaki relatív entrópia fogalmához vezet. A második fejezetben leírásra kerültek azon szürjektív transzformációk, melyek a pozitív definit mátrixok terén vannak értelmezve és megőriznek egy adott, unitér-invariáns normával illetve bizonyos feltételeknek eleget tevő folytonos valós függvénnyel paraméterezett, úgynevezett általánosított távolság mértéket. A harmadik fejezet az általánosított eloszlásfüggvények tere Kolmogorov-Smirnov izometriáinak alakjáról szól. A negyedik és ötödik fejezet szeparációs problémákat tartalmaz. Egy jól ismert szeparációs tétel szerint, ha egy konvex függvény egy konkáv “felett” helyezkedik el, akkor létezik a kettő között egy affin függvény. Sőt, két tetszőleges függvény esetén adható az affin szeparáció jellemzésére egy szükséges és elégséges feltétel. A negyedik fejezetben a fenti tétel általánosítása szerepel. Nevezetesen, azon valós függvény párokat jellemzése, melyek egy n-ed rendű konvex Beckenbach család tagjával szeparálhatóak. Az utolsó fejezet fő eredménye Baron, Matkowski és Nikodem valós függvénypárok konvex függvénnyel való szeparációjáról szóló tételét általánosítja. Karakterizálja azon valós függvénypárokat, amelyek egy kétdimenziós Csebisev rendszer valamely elemével szétválaszthatóak.
A közelmúltban a kvantumszámítógépek jelentős érdeklődést váltottak ki, ami nem csak potenciális technológiai jelentőségét tükrözi, de komoly kihívást is jelent fizikai megvalósítása. Egy kvantumszámítógép megépítésének nehézsége abban rejlik, hogy olyan fizikai rendszert találjunk, amely rendelkezik a informatikai számításokhoz szükséges nemlineáris kölcsönhatásokkal, és ezzel egyidejűleg vezérelhető is, de nem kapcsolódik olyan erősen a környezethez, hogy a kvantumkoherencia gyorsan elvesszen. Ezért dolgozatom első részében áttekintem egy kvantum-Turing gép főbb részeit és tulajdonságait. A mágneses magrezonancia (NMR) spektroszkópia sokáig vezető szerepet játszott abban, hogy kis méretben viszonylag egyszerű eszköze legyen a technológia demonstrálásának. A Bell-egyenlőtlenségek által leírt két kvantumos rendszer létrehozásával, egyszerű kvantum logikai áramkörök és logikai kapuk kialakításával és effektív tiszta állapotok megvalósításával olyan kísérletek hajthatóak végre, amelyekkel a kvantumösszefonódás és ennek hatása vizsgálható. Ezeknek a kísérleteknek a szimulálásával a kvantummechanika jobban megérthető és segítik az elméleti hátteret mélyebben megismerni. Így a második felében a dolgozatomnak ezeknek a technikáknak a sajátosságait vettem át.
A szakdolgozat során az olvasó részletes ismeretekre tesz szert a newtoni fizika, valamint a kvantumfizika megértéséhez szükséges alapfogalmakhoz. Továbbá olyan napjainkban is használt titkosítási módszereket is megismer, mint az AES, az RSA és az elliptikus görbe kriptográfia. Ezeknek a részletes elemzésével betekintést nyer a rejtelmeibe, továbbá a sebezhetőségeire is rávilágít, mivel a kvantumszámítógépek megjelenésével ezek a titkosítási módszerek védtelenné válnak. Emellett még a kvantum-Fourier transzformáció is ismertetésre kerül, ami a kvantumszámítógépen futó Shor algoritmusának az alapja. Ezen felül egy táblázat is megjelenítést nyer, amelyben a manapság használt és a poszt-kvantum algoritmusok vannak összehasonlítva különböző szempontok szerint. Végül egy Qiskit demó program kerül prezentálásra, amivel megismerhetjük a kvantumszámítógépen futó programok mikéntjét.
Félig eszközfüggetlen keretrendszert használva szeretnénk három qubitból álló konfigurációk aszimmetriáját hitelesíteni lineáris tanú használatával egy preparálás-és-mérés elrendezésben. Ehhez aszimmetrikus konfiguráció öntesztelésére megalkotott tanút tekintünk, és vizsgáljuk, hogy a szóban forgó konfigurációval kiértékelve meghaladja-e az értéke azt a maximális tanúértéket, amit szimmetrikus konfigurációval el lehet érni. A kettő különbsége definiálja a gap-et. Miután azt találtuk, hogy a gap legnagyobb értékei egy síkra eső konfigurációk esetében adódik, ábrázoljuk ezen a síkon a gapet. Ezt követően analitikusan bizonyítjuk a zérusvonalak létezését és az optimumok ekvivalenciáját. Bár nagyobb tanúértékbeli különbségek elméletben egyszerűbbé tehetik az aszimmetria hitelesítését, a gap nem lesz jó univerzális mérőszáma az aszimmetriának, mivel értéke függ a tanúfüggvény megalkotásának módjától, és a háromszög méretétől.
A mikroszkopikus rendszerek leírására a kvantumfizika nagyon sikeresnek bizonyult. Ennek lényege, hogy a rendszert egy állapotfüggvény (hullámfüggvény) írja le, a fizikai mennyiséget pedig operátorral feleltetik meg. Ezeknek az operátoroknak a sajátértékei adják meg a mérés lehetséges értékeit és az ezekhez tartozó sajátállapotokat, továbbá a számítások során megkapjuk a különböző lehetőségek valószínűségeit is. A kvantumfizika eredeti interpretációja szerint a mérés elvégzésekor a sok lehetőség közül csak az egyik realizálódik, vagyis az eredeti állapotfüggvény összeomlik a megvalósuló sajátállapotba. Ezzel az elképzeléssel több elvi probléma is adódik, ezért aztán az utóbbi évtizedekben egyre népszerűbbé vált a sokvilág-interpretáció, amely szerint mindegyik lehetőség egyformán valódinak tekintendő. A matematikai formalizmust tekintve a két elképzelés megegyezik, különbség mindössze az eredmények értelmezésében van. Egyértelmű kísérleti bizonyíték tehát nehezen szerezhető, de ez mégsem lehetetlen. Számos érv van a sokvilág-interpretáció mellet, különösképpen ilyen a működő kvantumszámítógép létezése. A jelen cikk célja, hogy egyfajta hiánypótlásként ezeket a modern eredményeket és elveket magyar nyelven összefoglalja, kiegészítve azokat néhány érdekességgel.
bevezetés a kvantumvilágba A számítástechnikai rendszerek és az ott kezelt adatok védelme elvitathatatlanul napjaink egyik legfontosabb feladata, követelménye.Az információ ellen irányuló támadások megelőzéséhez az informatikai rendszer magas fokú fizikai, személyi, logikai védelme mellett a támadások felismerése és az azokra adott válaszlépések azonnalisága is elvárt követelmény. 1 A kiberbiztonságot fenyegető "hagyományos" veszélyekről Az informatikai és az információvédelem folyamatos fejlesztése, ideértve a fizikai, logikai, humán védelmet egyaránt, az egyre kiterjedtebb és szofisztikáltabb támadások miatt elvitathatalanul szükséges.Lássunk néhány már ismert támadási formát!Ilyen az informatikai rendszerhez többféle technikával végrehajtható jogosulatlan hozzáférés (hacking, azaz "elektronikus betörés"), amely fenyegeti a rendszer működését, így például kódtörő programokkal vagy brute force-szal (nyers erővel -a jelszó próbálgatásaival).A social engineering körébe tartozik a színlelt vagy valódi bizalmi, érzelmi viszony kihasználásával történő adatszerzés, a másik személy jelszavainak, 1 Megkülönböztetünk informatikai és információ-, ezen belül adatvédelmet.Az informatikai védelem az abban kezelt adatok/információk védelmén túl az erre szolgáló technikai rendszer védelmét jelenti.Ennek részei az informatikai hálózatok, eszközök (számítógépek, perifériák, ezek mobil formában is stb.).A védelem alappillérei a fizikai, személyi, logikai.Az információvédelem azon adatokra terjed ki, amelyek valamilyen tartalommal rendelkeznek, és tartalmukat írásban, kép-, videófelvételen rögzítették, továbbá szóban közölve kommunikációs, informatikai és egyéb elektronikus rendszerekben, vagy bármilyen más módon kezelnek.Az információvédelmen belül az adatvédelem a személyes adatok védelmére szűkül.