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Un exemple de modélisation : le condensat de Bose-Einstein

Ionut Danaila

Published Sep 15, 2010• 0 citations
OpenAlex

Abstract

La simulation numérique repose sur la mise en œuvre de modèles théoriques. Elle sert à étudier les propriétés d’un système et à en prédire l’évolution.

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Depuis la description de la condensation d'un gaz de boson refroidit à 0K par Bose puis Einstein au début du XXe siècle, de nombreux travaux mathématiques, physiques et numériques ont été dédiés à l'étude des condensats de Bose-Einstein, et plus généralement de la superfluidité. Nous proposons dans cette étude des outils numériques dédiés à l'étude des excitations dans les condensats, ainsi qu'un modèle de la friction mutuelle dans l'hélium-II. Le modèle de Gross-Pitaevskii, consistant en une équation de Schrödinger non-linéaire, est utilisé pour décrire les superfluides. Des algorithmes basés sur les éléments finis, accompagnées d'une implémentation via le logiciel FreeFem++, sont proposées pour identifier les vortex dans des simulations numériques 2D et 3D ainsi que dans des images expérimentales. Diverses propriétés des vortex identifiés sont calculées: rayon des vortex, spectre de Kelvin, courbure, etc. Le problème aux valeurs propres de Bogoliubov-de Gennes, décrivant la stabilité d'un état stationnaire grâce à une linéarisation de l'équation de Gross-Pitaevskii autour de cet état, est ensuite étudié en couplant une méthode de Newton pour la recherche de l'état stationnaire et une bibliothèque de calcul de valeurs propres (ARPACK ou SLEPc) pour la résolution de l'équation de Bogoliubov-de Gennes. Deux codes FreeFem++ utilisant l'adaptation de maillage, l'un séquentiel, l'autre parallèlisé avec PETSc, sont proposés. Leur fonctionnement est validé sur des cas tests issus de la littérature pour des condensats à une et deux composantes. En ce qui concerne la friction mutuelle dans l'hélium-II, un modèle phénoménologique couplant les équations de Navier-Stokes et de Gross-Pitaevskii est proposé. Ce modèle est implémenté dans un code pseudo-spectral Fortran parallélisé et testé en deux et trois dimensions sur des exemples où des résultats analytiques dans le cas d'un couplage dans une seule direction permettent la détermination des paramètres numériques. Des résultats connus sont retrouvés pour valider le travail de modélisation effectué et des simulations de structures formées de trois anneaux de vortex et de reconnection de lignes de vortex sont réalisées.

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