O entendimento de sistemas quânticos fora do equilibrio e, mais especificamente, de
propriedades de suas correntes de energia e spin possui nao so um grande interesse teorico
mas tambem tecnologico. Nesta dissertacao, deixaremos mais claro a importância dessa
area ao estudarmos certos modelos que apesar de simples ja apresentam a ocorrencia
de fenomenos interessantes. Estudou-se cadeias unidimensionais de spins do modelo de
Heisenberg e do modelo XXZ com uma estrutura graduada e que estao acopladas a
reservatorios que tendem a fixar os spins das bordas em determinadas direcoes (“target
polarization”). A retificacao de corrente de spin e de energia e o recem descoberto fenomeno
“one-way street” [1] foram analisados tendo em vista as condicoes necessarias para seu
surgimento e manutencao. Este ultimo, que consiste na nao alteracao do sentido da
corrente de energia ao invertermos os banhos de lugar, pode inicialmente parecer levar
a uma violacao da segunda lei da termodinâmica mas esse nao e o caso pois a corrente
de energia consiste nao apenas de uma contribuicao devido ao calor mas tambem uma
devido ao trabalho [2–4] o que nos leva a um paralelo com o emergente campo de estudo
da termodinâmica quântica que tambem foi discutido brevemente. Em particular, o uso de
simetrias da equacao de Lindblad foi feito na deducao da existencia desses fenomenos o que
permitiu que os resultados encontrados fossem independentes do regime de transporte e do
tamanho da cadeia. Alem disso, outros fenomenos interessantes ja descritos na literatura
encontrados atraves dessa abordagem tambem foram apresentados. Por ultimo, como um
resultado original da autora, com um artigo publicado na EPL (Europhysics Letters), foi
estendida a existencia do fenomeno one-way street para banhos mais gerais (mas ainda do
tipo “target polarization”) com pares de polarizacoes que incluem direcoes com ângulos
arbitrarios de um lado em relacao a uma direcao fixa do outro.
O entendimento de sistemas quânticos fora do equilibrio e, mais especificamente, de
propriedades de suas correntes de energia e spin possui nao so um grande interesse teorico
mas tambem tecnologico. Nesta dissertacao, deixaremos mais claro a importância dessa
area ao estudarmos certos modelos que apesar de simples ja apresentam a ocorrencia
de fenomenos interessantes. Estudou-se cadeias unidimensionais de spins do modelo de
Heisenberg e do modelo XXZ com uma estrutura graduada e que estao acopladas a
reservatorios que tendem a fixar os spins das bordas em determinadas direcoes (“target
polarization”). A retificacao de corrente de spin e de energia e o recem descoberto fenomeno
“one-way street” [1] foram analisados tendo em vista as condicoes necessarias para seu
surgimento e manutencao. Este ultimo, que consiste na nao alteracao do sentido da
corrente de energia ao invertermos os banhos de lugar, pode inicialmente parecer levar
a uma violacao da segunda lei da termodinâmica mas esse nao e o caso pois a corrente
de energia consiste nao apenas de uma contribuicao devido ao calor mas tambem uma
devido ao trabalho [2–4] o que nos leva a um paralelo com o emergente campo de estudo
da termodinâmica quântica que tambem foi discutido brevemente. Em particular, o uso de
simetrias da equacao de Lindblad foi feito na deducao da existencia desses fenomenos o que
permitiu que os resultados encontrados fossem independentes do regime de transporte e do
tamanho da cadeia. Alem disso, outros fenomenos interessantes ja descritos na literatura
encontrados atraves dessa abordagem tambem foram apresentados. Por ultimo, como um
resultado original da autora, com um artigo publicado na EPL (Europhysics Letters), foi
estendida a existencia do fenomeno one-way street para banhos mais gerais (mas ainda do
tipo “target polarization”) com pares de polarizacoes que incluem direcoes com ângulos
arbitrarios de um lado em relacao a uma direcao fixa do outro.
Sistemas unidimensionais desordenados destacam-se por apresentar fenomenos sem analogos nos casos sem desordem ou em dimensoes maiores. Fenomenos inerentes a sistemas com desordem incluem antiferromagneticas de sistemas de spins, onde o estado fundamental e formado por colecoes de singletos de pares de spins, e localizacao de Anderson, onde a funcao de onda apresenta decaimento exponencial. Nesta Tese, estudamos alguns casos onde a fisica de baixas energias e dramaticamente alterada quando o sistema e desordenado, incluindo os exemplos citados anteriormente. Alem de sistemas que apresentam as propriedades fisicas anteriores, elucidamos ainda um mecanismo generico que leva ao aumento de simetria de baixas energias em sistemas de spins desordenados, um tema nao explorado previamente. Investigamos os efeitos de desordem em cadeias de spin genericos em uma dimensao, sendo as interacoes invariantes por rotacao do sistema de coordenadas e por reversao temporal. Para tanto, consideramos todos os termos possiveis que preservam estas simetrias. Tais termos vao alem do habitual termo de Heisenberg, em cadeias de spin S>1/2. Em cadeias de spin 1, encontramos distintas antiferromagneticas onde o estado fundamental e composto de uma colecao de singletos de spins cujas posicoes sao aleatorias. Em baixas energias, a desordem efetiva nestas cresce sem limites; tais sao chamadas, portanto, de fases de desordem infinita. Mais surpreendentemente, verificamos que nas antiferromagneticas a simetria de baixas energias e aumentada, de SU(2) para SU(3). Tal verificacao e feita a partir do mapeamento de operadores de spin monopolares, dipolares e quadrupolares para geradores de representacoes de SU(3), e a posterior constatacao de que a fisica de baixas energias e invariante por rotacoes com tal grupo de geradores. Em analogia com a fisica de particulas, uma das e do tipo barionica, onde o estado fundamental e composto de singletos de colecoes de tres spins (ou quarks formando um singleto de cor, pela analogia com altas energias), enquanto outra fase e do tipo mesonica, sendo o estado fundamental uma sopa de pares de spins (ou pares quark-antiquark, pela analogia). Alem das antiferromagneticas, mapeamos o diagrama de completo da cadeia de spin 1 bilinear e biquadratica (nos operadores de spin) no regime de desordem finita, incluindo ferromagneticas e de spin alto. Nestas, o ferromagnetismo e o antiferomagnetismo competem, o que se reflete no crescimento de spin efetivos, que sao os graus de liberdade efetivos em baixas energias, ser mais lento que no caso ferromagnetico. Ao contrario das antiferromagneticas, nestas de spin alto, a desordem efetiva satura em um valor finito. Estendemos o estudo para spins S>1 atraves do uso de tensores esfericos irredutiveis, que se mostram a linguagem natural para construcao das regras de dizimacao e analise do fluxo do grupo de renormalizacao para desordem forte. Novamente, incluimos todos os termos possiveis que respeitam invariância por rotacao SU(2) e reversao temporal. Descobrimos que ha tambem simetria aumentada nas antiferromagneticas em baixas energias, agora para o grupo SU(2S+1), simetria esta herdada de um ponto no espaco de parâmetros onde o mapeamento para SU(2S+1) e exato em todas as escalas de energia. Esta e uma generalizacao da fase mesonica SU(3) de cadeias de spin 1. Nos tambem discutimos o porque da fase barionica ser muito mais restritiva e, portanto, especial da cadeia de spins 1. Outro objeto de nosso estudo foram sistemas de fermions nao-interagentes em uma dimensao. Os hoppings de longo alcance sao escolhidos tendo um desvio padrao com decaimento em funcao da distância entre sitios, em forma de lei de potencia. Para tal estudo, estendemos o metodo de Equacoes de Fluxo, pioneiramente proposto por Wegner, para sistemas desordenados. Acoplado a esta extensao do metodo, propusemos uma tecnica de grupo de renormalizacao. A combinacao do uso direto das Equacoes de Fluxo, mais o metodo de grupo de renormalizacao, permitiu o mapeamento completo do diagrama de fases, com uma fase estendida (nao-localizada) para expoentes de decaimento menores que um, e uma fase localizada para expoentes maiores que um. O carater localizado ou delocalizado de determinada fase e determinado tanto pela evolucao da distribuicao de acoplamentos, quanto pelos autovalores do Hamiltoniano, atraves da medida de sua repulsao mutua entre niveis
Ab
O ponto central desta dissertacao e explorar como a geometria em uma rede de spins pode influenciar nas correntes de magnetizacao, e se a imposicao de uma assimetria geometrica e capaz de induzir a ocorrencia de retificacao.
Sao investigadas redes de spin sem contato com reservatorios, descritos pelo modelo XX, com geometria triangular e sem campos magneticos externos. Foram analisadas as ocupacoes medias de spin em cada sitio para diferentes estados iniciais atraves de simulacoes numericas no intuito de verificar propensoes causadas pela geometria. Em todos os casos abordados foram observadas uma quantidade maior de ocupacoes no lado em que o sistema apresentava um numero maior de sitios.
Em seguida sao abordadas redes em contato com reservatorios de magnetizacao, descritos pelo modelo XX e XXZ, com diferentes geometrias, incluindo casos simetricos e assimetricos, com suas dinâmicas regidas pela equacao mestra de Lindblad. Para esses foram incluidos campos magneticos externos homogeneos e nao-homogeneos e tambem diferentes configuracoes dos reservatorios nos quais o sistema e acoplado. Foram calculadas, atraves de simulacoes numericas, as correntes nessas redes e tambem coeficientes de retificacao para cada caso. Foi observada a ocorrencia de retificacao em todos os casos geometricamente assimetricos em que um campo nao-homogeneo e aplicado, tanto no modelo XX quanto no XXZ.
Esta tese dedica-se ao estudo de sistemas que apresentam transições de fase quânticas contínuas sujeitos a um protocolo termodinâmico de trabalho. Particularmente, investigamos como as coerências quânticas criadas por uma perturbação repentina na Hamiltoniana do sistema podem ser quantificadas e sua relação com o comportamento crítico. Portanto, os resultados aqui apresentados residem no âmbito da termodinâmica quântica. Os efeitos da criticalidade quântica em protocolos de trabalho têm sido consideravelmente investigados nos últimos anos. Ainda assim, pouco ou nada se sabia sobre o papel das coerências quânticas. Para entender isso, examinamos duas divisões da produção de entropia em uma parte clássica e outra quântica, a última relacionada às coerências quânticas. A primeira divisão já foi usada em vários contextos e mantém uma conexão íntima com a teoria de recursos da termodinâmica. No entanto, aplicando-o a um modelo de Ising quântico submetido a uma perturbação repentina, verificamos algumas deficiências: a saber, um comportamento contraintuitivo e imutável em baixas temperaturas e não analiticidades inesperadas não relacionadas a fenômenos críticos. Isso nos motivou a introduzir uma nova e complementar separação para entropia produzida seguindo um protocolo de trabalho. Uma propriedade surpreendente e intrigante dessas divisões quando aplicadas a sistemas críticos é o fato de exibirem assinaturas do ponto crítico independentemente da temperatura inicial do sistema. Na nova divisão, podemos explicar isso como uma consequência de sua estreita relação com as derivadas do espectro de energia.
Desde a descoberta de Stanley de que o modelo esférico é o limite de dimensionalidade de spin infinita do modelo de Heisenberg clássico, o modelo esférico tem atraído mais atenção do que meramente ser uma alternativa ao modelo de Ising. Como é bem conhecido, o modelo esférico clássico contradiz a terceira lei da Termodinâmica. Este defeito pode ser corrigido através de uma quantização do modelo. Nesta tese, escolhemos a proposta de Obermair que permite o controle das flutuações quânticas através do parâmetro g. Nesta tese, utilizamos o modelo esférico quântico de spin como laboratório da influência das flutuações quânticas sobre o comportamento magnético e termodinâmico da rede hipercúbica d-dimensional e das cadeias AB e AB2 antiferromagnéticas. A cadeia AB2 tem como motivações experimentais polímeros ferrimagnéticos e compostos de oxocupratos, dentre outras. Através da análise de observáveis como magnetização, susceptibilidade, comprimento de correlação e funções de correlação obtivemos no caso da rede hipercúbica que o modelo apresenta quebra espontânea de simetria a temperatura finita e para o estado fundamental (T=0). Através de cálculos detalhados dos observáveis mencionados acima pudemos obter os expoentes críticos associados às transições de fase térmica e quântica (T=0) da rede hipercúbica d-dimensional. Verificamos também que o calor específico em baixas temperaturas não viola a terceira lei da termodinâmica. Para o caso da cadeia AB, o estado fundamental antiferromagnético é obtido com a presença, e posterior anulamento, de campo magnético staggered e nas ausências de flutuações térmicas e quânticas e de campo uniforme. Por outro lado, o modelo esférico na cadeia AB3 apresenta estado fundamental ferrimagnético para g=T=h=0 mesmo na ausência de campo staggered. Entretanto, apesar das cadeias AB e AB2 não apresentarem transição de fase térmica ou quântica, os valores locais de spin da cadeia AB podem apresentar um comportamento antiferromagnético de curto alcance para flutuações térmicas e quânticas pouco intensas e baixos valores do campo magnético uniforme quando comparados com os do campo magnético staggered; no caso da cadeia AB2, destacamos comportamento ferrimagnético de curto alcance para fracas flutuações quânticas e térmicas e campo magnético baixo. Esses comportamentos antiferromagnético e ferrimagnético desaparecem com o aumento das flutuações térmicas e quânticas ou da presença do campo magnético. Tais resultados foram confirmados pelo comportamento assintótico das funções de correlação. Finalmente, obtivemos que os comportamentos em baixas temperaturas do modelo esférico quântico podem ser comparados com aquele da cadeia Heisenberg quântica XXZ, através da análise de observáveis como entropia e calor específico. A termodinâmica de altas temperaturas do modelo esférico quântico se assemelha à de um oscilador harmônico quântico, cuja freqüência depende da temperatura e do parâmetro quântico g
Este trabalho emprega um método de matriz de transferência para estudar a cadeia linear de Ising com interações de longo alcance, podendo estas interações serem do tipo ferromagnéticas ou antiferromagnéticas; o tipo de interação varia periodicamente de acordo com a distância e sua intensidade com a distância como uma lei de potência. Deste modo foi possível obter propriedades termodinâmicas do sistema como a energia livre, a entropia e o calor específico. Alguns resultados interessantes foram obtidos com o cálculo destas propriedades como a ocorrência de entropia residual. Contudo o objeto de investigação principal desta dissertação é a validade de uma conjectura proposta por Tsallis que estabelece que sistemas com interações de longo alcance, como os deste trabalho, obedecem a um escalamento proposto por ele, a ser explicado ao longo deste trabalho. Estes tipos de sistema geralmente não obedecem ao escalamento usual, para todo valor do expoente de decaimento das interações, ocasionando divergências nas funções termodinâmicas intensivas usuais.Também se iniciou um estudo da transição de fase para uma das cadeias apresentadas. Este estudo não é muito conclusivo, mas indica como se proceder em trabalhos futuros. Este estudo envolve análise da função de correlação, que é obtida com o método da matriz de transferência apresentado nesta dissertação. Foi obtida uma série de temperaturas críticas para cadeia finitas em uma das situações mostradas, e, com esses valores pode-se estimar a temperatura críitica da cadeia infinita com técnicas como a dos aproximantes do Padé.
As transições de fase quânticas ocorrem no limite de temperatura T → 0 K. Neste caso, não temos mais flutuações térmicas, mas ainda temos flutuações de origem quântica devido ao princípio da incerteza de Heisenberg. Estas flutuações podem levar a uma transição de fase ou destruição da ordem em um sistema ordenado. Neste caso, a transição entre uma fase e outra não é governada pela temperatura, mas por um parâmetro do hamiltoniano, que pode ser um campo magnético ou frustração geométrica. Dentro deste contexto, estão as cadeias de spin do tipo escada, as quais possuem comportamentos físicos fascinantes. Em particular, para cadeias escadas com duas pernas, as transições de fase quânticas entre as fases com e sem gap de excitação podem ser induzidas por meio de um campo magnético. Outras fases e transições podem surgir ao adicionar frustração na cadeia. Esta dissertação consiste no estudo de uma cadeia escada frustrada de spin 1/2, um modelo antiferromagnético unidimensional com interações do tipo Heisenberg. Determinamos as propriedades físicas através de resultados utilizando o grupo de renormalização da matriz densidade. A curva de magnetização apresenta até três platôs, dois platôs inteiros m = 0 e m = 1, e um platô fracionário m = 1/2 relacionado com uma quebra espontânea de simetria. Construímos um diagrama de fases campo magnético versus frustração, e identificamos linhas de transição de segunda ordem e uma linha de transição de primeira ordem.