In this thesis we study algebraic structures that are important for models of commuting-projector Hamiltonians which realize topological phases of matter. The Kitaev model is such a model, where the projectors are defined using the structure of a semisimple Hopf algebra. In the first part of the thesis we construct a Kitaev model based on more general Hopf-algebraic data – semisimple bicomodule algebras – thereby implementing defects and boundaries. In the second part of the thesis we find generalizations of the idempotents used in the standard Kitaev model to non-semisimple Hopf algebras.
More precisely, in the first part of the thesis, we construct a Kitaev model, consisting of a Hamiltonian which is the sum of commuting local projectors, for surfaces with boundaries and defects of dimension 0 and 1. Specifically, we show that one can consider cell decompositions of surfaces whose 2-cells are labeled by semisimple Hopf algebras and 1-cells are labeled by semisimple bicomodule algebras. We introduce an algebra whose representations label the 0-cells and which reduces to the Drinfeld double of a Hopf algebra in the absence of defects. In this way we generalize the algebraic structure underlying the standard Kitaev model without defects or boundaries, where all 1-cells and 2-cells are labeled by a single Hopf algebra and where point defects are labeled by representations of its Drinfeld double. In the standard case, commuting local projectors are constructed using the Haar integral for semisimple Hopf algebras. A central insight we gain in this theis is that in the presence of defects and boundaries, the suitable generalization of the Haar integral is given by the unique symmetric separability idempotent for a semisimple (bi-)comodule algebra. This enables us to provide an explicit construction of a Kitaev model allowing for defects and boundaries.
In the second part of the thesis we obtain representation-theoretic results. We study the isotypic decomposition of the regular module of a not necessarily semisimple, finite-dimensional Hopf algebra over an algebraically closed field of characteristic zero. For a semisimple Hopf algebra, it is known that the idempotents realizing the isotypic decomposition can be explicitly expressed in terms of characters and the Haar integral. Here we investigate Hopf algebras with the Chevalley property, which are not necessarily semisimple. We find explicit expressions for idempotents in terms of Hopf-algebraic data, where we replace the Haar integral by the regular character of the dual Hopf algebra. For a large class of Hopf algebras we show that these form a complete set of orthogonal idempotents. Finally, we give an example which illustrates that the Chevalley property is crucial.
In dieser Arbeit untersuchen wir algebraische Strukturen, die wichtig sind fur Modelle von Hamilton-Operatoren mit kommutierenden Projektoren, welche topologische Phasen der Materie realisieren. Das Kitaev-Modell ist ein solches Modell, bei dem die Projektoren mithilfe der Struktur einer halbeinfachen Hopf-Algebra definiert werden. Im ersten Teil der Arbeit konstruieren wir ein Kitaev-Modell, das auf allgemeineren Hopf-algebraischen Daten basiert -- halbeinfache Bikomodul-Algebren - und dabei Defekte und Rander implementiert. Im zweiten Teil der Arbeit finden wir Verallgemeinerungen der im Standard-Kitaev-Modell verwendeten Idempotenten fur nicht-halbeinfache Hopf-Algebren.
Genauer gesagt konstruieren wir im ersten Teil der Arbeit ein Kitaev-Modell, das aus einem Hamilton-Operator besteht, der eine Summe von kommutierenden lokalen Projektoren ist, fur Flachen mit Randern und Defekten von Kodimension 0 und 1. Insbesondere zeigen wir, dass man Zellzerlegungen von Flachen betrachten kann, deren 2-Zellen mit halbeinfachen Hopf-Algebren und deren 1-Zellen mit halbeinfachen Bikomodul-Algebren dekoriert sind. Wir fuhren eine Algebra ein, deren Darstellungen die 0-Zellen dekorieren und die sich im Spezialfall ohne Defekte auf das Drinfeld-Doppel einer Hopf-Algebra reduziert. Auf diese Weise verallgemeinern wir die algebraische Struktur, die dem Standard-Kitaev-Modell ohne Defekte oder Rander zugrunde liegt, bei dem alle 1-Zellen und 2-Zellen mit einer einzigen Hopf-Algebra und Punkt-defekte mit Darstellungen seines Drinfeld-Doppels dekoriert werden. Im Standardfall werden kommutierende lokale Projektoren mithilfe des Haar-Integrals fur halbeinfache Hopf-Algebren konstruiert. Eine zentrale Einsicht dieser Arbeit ist, dass bei Vorhandensein von Defekten und Randern die geeignete Verallgemeinerung des Haar-Integrals durch die eindeutige symmetrische Separabilitatsidempotente einer halbeinfachen (Bi-)Komodul-Algebra gegeben ist. Dies ermoglicht es uns, eine explizite Konstruktion eines Kitaev-Modells anzugeben, welches Defekte und Rander zulasst.
Im zweiten Teil der Arbeit erlangen wir darstellungstheoretische Resultate. Wir untersuchen die isotypische Zerlegung des regularen Moduls einer nicht unbedingt halbeinfachen, endlichdimensionalen Hopf-Algebra uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper in Charakteristik 0. Fur eine halbeinfache Hopf-Algebra ist bekannt, dass die Idempotenten, die die isotypische Zerlegung realisieren, explizit durch Charaktere und das Haar-Integral ausgedruckt werden konnen. Hier untersuchen wir Hopf-Algebren mit der Chevalley-Eigenschaft, die nicht unbe-dingt halbeinfach sind. Wir finden explizite Ausdrucke fur Idempotente durch Hopf-algebraische Daten, wobei wir das Haar-Integral durch den regularen Charakter der dualen Hopf-Algebra ersetzen. Fur eine grose Klasse von Hopf-Algebren zeigen wir, dass diese einen vollstandigen Satz orthogonaler Idempotente bilden. Abschliesend geben wir ein Beispiel, das zeigt, dass die Chevalley-Eigenschaft von entscheidender Bedeutung ist.
In this thesis we study algebraic structures that are important for models of commuting-projector Hamiltonians which realize topological phases of matter. The Kitaev model is such a model, where the projectors are defined using the structure of a semisimple Hopf algebra. In the first part of the thesis we construct a Kitaev model based on more general Hopf-algebraic data – semisimple bicomodule algebras – thereby implementing defects and boundaries. In the second part of the thesis we find generalizations of the idempotents used in the standard Kitaev model to non-semisimple Hopf algebras.
More precisely, in the first part of the thesis, we construct a Kitaev model, consisting of a Hamiltonian which is the sum of commuting local projectors, for surfaces with boundaries and defects of dimension 0 and 1. Specifically, we show that one can consider cell decompositions of surfaces whose 2-cells are labeled by semisimple Hopf algebras and 1-cells are labeled by semisimple bicomodule algebras. We introduce an algebra whose representations label the 0-cells and which reduces to the Drinfeld double of a Hopf algebra in the absence of defects. In this way we generalize the algebraic structure underlying the standard Kitaev model without defects or boundaries, where all 1-cells and 2-cells are labeled by a single Hopf algebra and where point defects are labeled by representations of its Drinfeld double. In the standard case, commuting local projectors are constructed using the Haar integral for semisimple Hopf algebras. A central insight we gain in this theis is that in the presence of defects and boundaries, the suitable generalization of the Haar integral is given by the unique symmetric separability idempotent for a semisimple (bi-)comodule algebra. This enables us to provide an explicit construction of a Kitaev model allowing for defects and boundaries.
In the second part of the thesis we obtain representation-theoretic results. We study the isotypic decomposition of the regular module of a not necessarily semisimple, finite-dimensional Hopf algebra over an algebraically closed field of characteristic zero. For a semisimple Hopf algebra, it is known that the idempotents realizing the isotypic decomposition can be explicitly expressed in terms of characters and the Haar integral. Here we investigate Hopf algebras with the Chevalley property, which are not necessarily semisimple. We find explicit expressions for idempotents in terms of Hopf-algebraic data, where we replace the Haar integral by the regular character of the dual Hopf algebra. For a large class of Hopf algebras we show that these form a complete set of orthogonal idempotents. Finally, we give an example which illustrates that the Chevalley property is crucial.
In dieser Arbeit untersuchen wir algebraische Strukturen, die wichtig sind fur Modelle von Hamilton-Operatoren mit kommutierenden Projektoren, welche topologische Phasen der Materie realisieren. Das Kitaev-Modell ist ein solches Modell, bei dem die Projektoren mithilfe der Struktur einer halbeinfachen Hopf-Algebra definiert werden. Im ersten Teil der Arbeit konstruieren wir ein Kitaev-Modell, das auf allgemeineren Hopf-algebraischen Daten basiert -- halbeinfache Bikomodul-Algebren - und dabei Defekte und Rander implementiert. Im zweiten Teil der Arbeit finden wir Verallgemeinerungen der im Standard-Kitaev-Modell verwendeten Idempotenten fur nicht-halbeinfache Hopf-Algebren.
Genauer gesagt konstruieren wir im ersten Teil der Arbeit ein Kitaev-Modell, das aus einem Hamilton-Operator besteht, der eine Summe von kommutierenden lokalen Projektoren ist, fur Flachen mit Randern und Defekten von Kodimension 0 und 1. Insbesondere zeigen wir, dass man Zellzerlegungen von Flachen betrachten kann, deren 2-Zellen mit halbeinfachen Hopf-Algebren und deren 1-Zellen mit halbeinfachen Bikomodul-Algebren dekoriert sind. Wir fuhren eine Algebra ein, deren Darstellungen die 0-Zellen dekorieren und die sich im Spezialfall ohne Defekte auf das Drinfeld-Doppel einer Hopf-Algebra reduziert. Auf diese Weise verallgemeinern wir die algebraische Struktur, die dem Standard-Kitaev-Modell ohne Defekte oder Rander zugrunde liegt, bei dem alle 1-Zellen und 2-Zellen mit einer einzigen Hopf-Algebra und Punkt-defekte mit Darstellungen seines Drinfeld-Doppels dekoriert werden. Im Standardfall werden kommutierende lokale Projektoren mithilfe des Haar-Integrals fur halbeinfache Hopf-Algebren konstruiert. Eine zentrale Einsicht dieser Arbeit ist, dass bei Vorhandensein von Defekten und Randern die geeignete Verallgemeinerung des Haar-Integrals durch die eindeutige symmetrische Separabilitatsidempotente einer halbeinfachen (Bi-)Komodul-Algebra gegeben ist. Dies ermoglicht es uns, eine explizite Konstruktion eines Kitaev-Modells anzugeben, welches Defekte und Rander zulasst.
Im zweiten Teil der Arbeit erlangen wir darstellungstheoretische Resultate. Wir untersuchen die isotypische Zerlegung des regularen Moduls einer nicht unbedingt halbeinfachen, endlichdimensionalen Hopf-Algebra uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper in Charakteristik 0. Fur eine halbeinfache Hopf-Algebra ist bekannt, dass die Idempotenten, die die isotypische Zerlegung realisieren, explizit durch Charaktere und das Haar-Integral ausgedruckt werden konnen. Hier untersuchen wir Hopf-Algebren mit der Chevalley-Eigenschaft, die nicht unbe-dingt halbeinfach sind. Wir finden explizite Ausdrucke fur Idempotente durch Hopf-algebraische Daten, wobei wir das Haar-Integral durch den regularen Charakter der dualen Hopf-Algebra ersetzen. Fur eine grose Klasse von Hopf-Algebren zeigen wir, dass diese einen vollstandigen Satz orthogonaler Idempotente bilden. Abschliesend geben wir ein Beispiel, das zeigt, dass die Chevalley-Eigenschaft von entscheidender Bedeutung ist.
We construct a Kitaev model, consisting of a Hamiltonian which is the sum of commuting local projectors, for surfaces with boundaries and defects of dimension 0 and 1. More specifically, we show that one can consider cell decompositions of surfaces whose 2-cells are labeled by semisimple Hopf algebras and 1-cells are labeled by semisimple bicomodule algebras. We introduce an algebra whose representations label the 0-cells and which reduces to the Drinfeld double of a Hopf algebra in the absence of defects. In this way we generalize the algebraic structure underlying the standard Kitaev model without defects or boundaries, where all 1-cells and 2-cells are labeled by a single Hopf algebra and where point defects are labeled by representations of its Drinfeld double. In the standard case, commuting local projectors are constructed using the Haar integral for semisimple Hopf algebras. A central insight we gain in this paper is that in the presence of defects and boundaries, the suitable generalization of the Haar integral is given by the unique symmetric separability idempotent for a semisimple (bi-)comodule algebra.
Diese Arbeit befasst sich mit den kohärenten Effekten in mesoskopischen Systemen, die eindimensional sind.Mesoskopische Systeme sind besonders interessant, da ihre Grösse an der Grenze zwischen die mikroskopische Welt, die von der Quantenphysik regiert wird, und die makroskopische Welt, die den Gesetzen der klassischen Physik gehorcht, liegt.Um genauer zu sein, wir handeln mit Systemen, die gross genug sind, um viele konstituierende Teilchen zu haben, aber klein genug, um die Effekte der Quantenkohärenz dieser Teilchen zu zeigen.Sobald die mesoskopischen Systeme nur noch eindimensional sind, hat jede Störung einen tiefgreifenden Einfluss auf ihre Physik und kann neuartige Effekte hervorrufen, die sowohl für die Grundlagenwissenschaft als auch für praktische Anwendungen wichtig sind.Wir untersuchen daher, wie die häufigsten Störungen wie Wechselwirkungen zwischen Teilchen, der Einfluss der Umgebung, des externen Potenzials und der nichttrivialen Bandstruktur zusammenwirken, um neuartige Effekte in eindimensionalen mesoskopischen Systemen zu erzeugen.Die Arbeit gliedert sich logischerweise in drei Hauptteile, die insgesamt fünf Projekte umfassen.Der Hauptdarsteller des ersten Teils ist der stark wechselwirkende Quantendraht.Es ist bekannt, dass Wechselwirkungen eine Fülle interessanter Effekte in eindimensionalen Systemen hervorrufen, und im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir, wie einige dieser Effekte verändert werden, wenn der Draht mit externen Leitungen verbunden wird.Wir gehen über die Standardbeschreibung der Leitungen als Markov'sche Bäder mit ohmschem Rauschleistungsspektrum hinaus und betrachten sie stattdessen als Bäder mit endlicher Kapazität oder als Bäder mit nicht-ohmschen Rauschleistungsspektren. Zunächst untersuchen wir die Tunnelspektroskopie des mit den kapazitiven Leitungen verbundenen Drahtes und entdecken neue Regime, die sich durch verstärktes Tunneln bei niedrigen Energien und ein universelles Abklingen des Tunnels bei hohen Energien auszeichnen.Darüber hinaus zeigen die lokalen Tunnelmessungen die einzigartige räumliche Abhängigkeit, die die Bildung von stehenden plasmonischen Wellen im Draht kennzeichnet.Wir nutzen dann die Ergebnisse des ersten Projekts und gehen im zweiten Projekt einen Schritt weiter und untersuchen, wie die nichtohmschen Leitungen den Transport durch einen interagierenden Draht, der eine einzige rückstreuende Verunreinigung enthält, beeinflussen.Ohne Elektroden verschwindet die Leitfähigkeit durch den interagierenden Draht bei abstossenden Wechselwirkungen zwischen Elektronen, während sie bei anziehenden Wechselwirkungen endlich bleibt.Bei Vorhandensein von Ableitungen entdecken wir, dass bei bestimmten Energieskalen das nichtohmsche Rauschleistungsspektrum dazu führen kann, dass sich ein abstossend wechselwirkender Draht wie ein anziehend wechselwirkender Draht verhält und umgekehrt.Dieser Effekt iii iv manifestiert sich in der Leitfähigkeit durch den Draht, die in Experimenten direkt gemessen werden kann.Im zweiten Teil dieser Arbeit entfernen wir die Leitungen und fügen dem unendlich langen Draht eine räumlich verteilte Unordnung hinzu.Als Unordnung wählen wir ein lokales Potential mit einer quasiperiodischen Modulation, so dass das ganze System zu einem Quasikristall wird.Quasikristalle haben keine Translationssymmetrie und sind nicht periodisch, aber dennoch geordnet und deterministisch.Dies führt zu reichen Lokalisierungseigenschaften, wie z.B. fraktalen kritischen Wellenfunktionen, die im Raum zerfallen, aber nicht vollständig lokalisiert sind.Bei Vorhandensein von Wechselwirkungen können quasiperiodische Modelle lokalisierte Phasen mit vielen Körpern enthalten, in denen die Dynamik des Systems selbst bei extrem hohen Temperaturen eingefroren ist.Im ersten Projekt dieses Teils der Arbeit untersuchen wir, wie die kritischen Zustände durch eine Kaskade von bandselektiven Lokalisierungs-/Delokalisierungsübergängen in dem spezifischen, nicht wechselwirkenden quasiperiodischen Modell gebildet werden.In Zusammenarbeit mit der experimentellen Gruppe erklären wir den für die Kaskade verantwortlichen Mechanismus und entdecken ein reichhaltiges Phasendiagramm.Im zweiten Projekt fügen wir die Wechselwirkungen zu demselben quasiperiodischen Modell hinzu und erhalten sein Mehrkörper-Lokalisierungsphasendiagramm.Wir zeigen, dass die Kaskade der Delokalisierungsübergänge, die im nicht interagierenden Fall gefunden wurde, selbst bei schwachen Interaktionen verschwindet.Das Thema des dritten Teils dieser Arbeit ist die Fabry-Pérot-Interferenz in zweidimensionalen Geräten.Obwohl das untersuchte Gerät nicht streng eindimensional ist, zeigen wir, dass die Physik durch ein effektives System von gekoppelten Quantendrähten mit unterschiedlichen Energiedispersionen beschrieben werden kann.Die Arbeit wurde in Zusammenarbeit mit den experimentellen Kollegen durchgeführt, wobei wir den Transport durch einen Hohlraum in einem zweidimensionalen Material untersuchen, das durch Band-Inversion und Elektron-Loch-Hybridisierung gekennzeichnet ist.Wir stellen fest, dass die Elektron-Loch-Hybridisierung in band-invertierten Systemen eine kohärente Interferenz bei Transportmessungen ermöglichen kann.In solchen Systemen haben Leitungs-und Volanzbänder die Form eines Sombrero-Hutes, der in Kombination mit einer dominanten Elektron-Loch-Streuung an den Hohlraum-Blei-Grenzflächen parallele eindimensionale Transportkanäle erzeugt.Diese parallelen Transportkanäle haben die gleichen Bedingungen für konstruktive Interferenz, was zu einem nicht verschwindenden Interferenzmuster führt, selbst nach Mittelwertbildung über mehrere Einfallswinkel.Auf diese Weise entdecken wir einen neuen Mechanismus zur Realisierung der Fabry-Pérot-Interferenz in zweidimensionalen mesoskopischen band-invertierten Systemen, der bisher nur in eindimensionalen Geräten, wie z.B. in Nanoröhren, und in zweidimensionalen graphenbasierten Geräten demonstriert wurde.
In der vorliegenden Arbeit behandeln wir verschiedene Themen aus dem Gebiet der Quanteninformationstheorie. Die unterschiedlichen Ergebnisse sollen entweder die Anwendung theoretischer Konzepte auf reale Experimente erleichtern oder bei der weiterfuhrenden Arbeit an zentralen Fragen helfen. Im Detail werden folgende Punkte untersucht: Wir wenden uns als Erstes der Fragestellung zu, unter welchen Vorraussetzungen eine gegebene Menge an Erwartungswerten mit den ersten beiden Momenten der Spinoperatoren eines Zustandes von Gesamtspin j kompatible ist. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf einer operationellen Beschreibung, so dass man direkt mit den Momenten arbeiten kann, anstatt den kompletten Dichteoperator zu verwenden. Wir zeigen, dass diese Charakterisierung physikalischer Momente zu dem Problem der Bose-symmetrischen Erweiterungen fur speziell bestimmte Zweiqubit Zustande aquivalent ist. Mittels dieser Umformulierung bestimmen wir operationelle Teil- und Ubermengen der exakten Menge, um somit auf einfache Art und Weise Momente identifizieren zu konnen, die sicher physikalisch sind, als auch andere, die eindeutig inkompatibel mit den Vorhersagen der Quantenmechanik sind. Diese approximative Losung gewinnt mit steigender Gesamtspinzahl j an Genauigkeit, und konvergiert im Limes gegen die exakte Losung. Im nachsten Abschnitt beschaftigen wir uns mit dem Konzept der Verschrankungszeugen; der gebrauchlichsten Methode zur Verschrankungsdetektion. Wir untersuchen, wie man die Qualitat eines linearen Verschrankungszeugen durch quadratische, nichtlineare Terme verbessen kann, so dass man mehr verschrankte Zustande auf einmal detektiert. Das betrachtete Verbessungsschema hat den Vorteil dass man es iterative benutzen kann. Dies liefert eine Abfolge von Verschrankungszeugen mit Nichtlinearitaten immer hoherer Ordnung, deren Starke in jedem Schritt zunimmt. Die entwickelte Iterationsmethode kann fur verschiedene Aufgaben verwendet werden und wir betrachten zwei ausgezeichnete Extremfalle: Entweder optimieren wir fur einen vorgegeben Zielzustand oder fur alle moglichen Zustande gleichmassig. Im restlichen Teil der Arbeit untersuchen wir verschiedene Moglichkeiten, wie man bereits vorhandene Ideen besser an reale Experimente anpasst. Hier sei angemerkt dass viele Anwendungen der Quanteninformationstheorie nur fur stark idealisierte Systeme vorgeschlagen und diskutiert wurden und somit nicht direkt fur das Experiment anwendbar sind. Dieser Punkt ist fur das Feld der Quantenschlusselverteilung von besonderer Bedeutung, da man die vorbehaltslose Sicherheit eines realen, durch ein Experiment generierten Schlussels zeigen mochte und nicht nur fur die einer idealisierten Version davon. Mit diesem Ziel im Hinterkopf untersuchen wir zuerst die theoretische Idee des Squash Modells. Dieses bietet einen eleganten Ausrechentrick', der es erlaubt, die Sicherheitsanalyse eines idealisierten Quantenschlusselverteilungsprotokolls direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Wir entwickeln einen Formalismus zur Prufung dieses Squash Modells fur einen gegebenen Messaufbau und betrachten relevante Messschemen mit und ohne dieser Eigenschaft. Im Gegensatz zu diesem theoretischen Modell behandlen wir auch eine experimentelle Moglichkeit, die es uns erlaubt, die Sicherheitsanalyse des idealisierten Systems direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Dazu benutzen wir die Idee, dass man durch die Kombination eines variablen Strahlteilers mit einem einfachen Click/No-Click' Detektor, die Statistik von photonauflosenden Detektoren erhalten kann. Durch diese Hardwareanderung ist es moglich, die sicherheitsrelevanten Parameter direkt abzuschatzen. Diese Methode bietet somit auch einen Weg, die Sicherheit eines realen Quantenschlusselverteilungsexperiments zu beweisen, fur das die theoretische Squash Modell Idee nicht funktioniert. Als Ergebnis erhalt man unter anderem einen neuen Distanzrekord fur ein reales Quantenschlusselverteilungsexperiment mit derzeitiger Technologie. Als letzten Punkt betrachten wir das Problem der experimentellen Verschrankungsverifizierung. Bei dieser Verifizierung hat man oftmals ein Praktikabilitatsproblem, weil man---ob verschiedener Grunde---meistens nur ein sehr vereinfachtes Modell fur die verwendenten Messapparate benutzt. Wir zeigen, dass man in diesem Fall der Fehlinterpretation der beobachteten Messausgange durchaus Fehler machen kann, allerdings untersuchen wir in erster Linie Bedingungen, unter denen ein falschlicher Verschrankungsnachweis ausgeschlossen werden kann. Zu diesem Zweck verwenden wir ein dem Squash Modell ahnliches, aber weniger restriktives Konzept. Eine interessante Anwendung liefern die ublicherweise mittels Tomographie durchgefuhrten Verschrankungstests, die man typischerweise fur parametrische Fluoreszenz Quellen oder fur photonische Mehrparteienexperimente verwendet. Wir zeigen, dass diese sehr einfach fehlerfrei gemacht werden konnen.
The construction of the topologically protected code space of Kitaev's model for fault-tolerant quantum computation is extended from complex semisimple to arbitrary finite-dimensional Hopf algebras admitting pairs in involution. One input of the model are ribbon graphs, that is, the combinatorial data of cellular decompositions of oriented closed surfaces. The other input are certain Hopf bimodules that are closely related to the coefficients in Hopf-cyclic homology. As in previous generalisations of the Kitaev model, a Yetter-Drinfeld module is constructed and shown to be a topological invariant of the surface with boundary that is obtained by "thickening" the graph. The generalisation of the protected space is defined using bitensor products of modules-comodules. Provided that the Hopf bimodule coefficients correspond to pairs in involution, this is shown to depend only on the genus of the graph. As examples, group algebras of finite groups and bosonisations of Nichols algebras are considered.
We provide a systematic treatment of boundaries based on subgroups K ⊆ G for the Kitaev quantum double D(G) model in the bulk. The boundary sites are representations of a *-subalgebra Ξ ⊆ D(G) and we explicate its structure as a quasi-Hopf *-algebra dependent on a choice of transversal R. We provide decomposition formulae for irreducible representations of D(G) pulled back to Ξ. As an application of our treatment, we study patches with boundaries based on K = G horizontally and K = {e} vertically and show how these could be used in a quantum computer using the technique of lattice surgery. More abstractly, we also provide explicitly the monoidal equivalence of the category of Ξ-modules and the category of G-graded K-bimodules and use this to prove that different choices of R are related by Drinfeld cochain twists. Examples include Sn−1 ⊂ Sn and an example related to the octonions where Ξ is also a Hopf quasigroup.
Abstract We construct topological quantum field theories (TQFTs) and commuting projector Hamiltonians for any 1+1d gapped phases with non-anomalous fusion category symmetries, i.e. finite symmetries that admit SPT phases. The construction is based on two-dimensional state sum TQFT whose input datum is an H-simple left H-comodule algebra, where H is a finite dimensional semisimple Hopf algebra. We show that the actions of fusion category symmetries C C on the boundary conditions of these state sum TQFTs are represented by module categories over C C . This agrees with the classification of gapped phases with symmetry C C . We also find that the commuting projector Hamiltonians for these state sum TQFTs have fusion category symmetries at the level of the lattice models and hence provide lattice realizations of gapped phases with fusion category symmetries. As an application, we discuss the edge modes of SPT phases based on these commuting projector Hamiltonians. Finally, we mention that we can extend the construction of topological field theories to the case of anomalous fusion category symmetries by replacing a semisimple Hopf algebra with a semisimple pseudo-unitary connected weak Hopf algebra.