Hopf-algebraic structures inspired by Kitaev models : defects, comodule algebras and idempotents for non-semisimple Hopfalgebras
Vincent Koppen
In this thesis we study algebraic structures that are important for models of commuting-projector Hamiltonians which realize topological phases of matter. The Kitaev model is such a model, where the projectors are defined using the structure of a semisimple Hopf algebra. In the first part of the thesis we construct a Kitaev model based on more general Hopf-algebraic data – semisimple bicomodule algebras – thereby implementing defects and boundaries. In the second part of the thesis we find generalizations of the idempotents used in the standard Kitaev model to non-semisimple Hopf algebras.
More precisely, in the first part of the thesis, we construct a Kitaev model, consisting of a Hamiltonian which is the sum of commuting local projectors, for surfaces with boundaries and defects of dimension 0 and 1. Specifically, we show that one can consider cell decompositions of surfaces whose 2-cells are labeled by semisimple Hopf algebras and 1-cells are labeled by semisimple bicomodule algebras. We introduce an algebra whose representations label the 0-cells and which reduces to the Drinfeld double of a Hopf algebra in the absence of defects. In this way we generalize the algebraic structure underlying the standard Kitaev model without defects or boundaries, where all 1-cells and 2-cells are labeled by a single Hopf algebra and where point defects are labeled by representations of its Drinfeld double. In the standard case, commuting local projectors are constructed using the Haar integral for semisimple Hopf algebras. A central insight we gain in this theis is that in the presence of defects and boundaries, the suitable generalization of the Haar integral is given by the unique symmetric separability idempotent for a semisimple (bi-)comodule algebra. This enables us to provide an explicit construction of a Kitaev model allowing for defects and boundaries.
In the second part of the thesis we obtain representation-theoretic results. We study the isotypic decomposition of the regular module of a not necessarily semisimple, finite-dimensional Hopf algebra over an algebraically closed field of characteristic zero. For a semisimple Hopf algebra, it is known that the idempotents realizing the isotypic decomposition can be explicitly expressed in terms of characters and the Haar integral. Here we investigate Hopf algebras with the Chevalley property, which are not necessarily semisimple. We find explicit expressions for idempotents in terms of Hopf-algebraic data, where we replace the Haar integral by the regular character of the dual Hopf algebra. For a large class of Hopf algebras we show that these form a complete set of orthogonal idempotents. Finally, we give an example which illustrates that the Chevalley property is crucial.
In dieser Arbeit untersuchen wir algebraische Strukturen, die wichtig sind fur Modelle von Hamilton-Operatoren mit kommutierenden Projektoren, welche topologische Phasen der Materie realisieren. Das Kitaev-Modell ist ein solches Modell, bei dem die Projektoren mithilfe der Struktur einer halbeinfachen Hopf-Algebra definiert werden. Im ersten Teil der Arbeit konstruieren wir ein Kitaev-Modell, das auf allgemeineren Hopf-algebraischen Daten basiert -- halbeinfache Bikomodul-Algebren - und dabei Defekte und Rander implementiert. Im zweiten Teil der Arbeit finden wir Verallgemeinerungen der im Standard-Kitaev-Modell verwendeten Idempotenten fur nicht-halbeinfache Hopf-Algebren.
Genauer gesagt konstruieren wir im ersten Teil der Arbeit ein Kitaev-Modell, das aus einem Hamilton-Operator besteht, der eine Summe von kommutierenden lokalen Projektoren ist, fur Flachen mit Randern und Defekten von Kodimension 0 und 1. Insbesondere zeigen wir, dass man Zellzerlegungen von Flachen betrachten kann, deren 2-Zellen mit halbeinfachen Hopf-Algebren und deren 1-Zellen mit halbeinfachen Bikomodul-Algebren dekoriert sind. Wir fuhren eine Algebra ein, deren Darstellungen die 0-Zellen dekorieren und die sich im Spezialfall ohne Defekte auf das Drinfeld-Doppel einer Hopf-Algebra reduziert. Auf diese Weise verallgemeinern wir die algebraische Struktur, die dem Standard-Kitaev-Modell ohne Defekte oder Rander zugrunde liegt, bei dem alle 1-Zellen und 2-Zellen mit einer einzigen Hopf-Algebra und Punkt-defekte mit Darstellungen seines Drinfeld-Doppels dekoriert werden. Im Standardfall werden kommutierende lokale Projektoren mithilfe des Haar-Integrals fur halbeinfache Hopf-Algebren konstruiert. Eine zentrale Einsicht dieser Arbeit ist, dass bei Vorhandensein von Defekten und Randern die geeignete Verallgemeinerung des Haar-Integrals durch die eindeutige symmetrische Separabilitatsidempotente einer halbeinfachen (Bi-)Komodul-Algebra gegeben ist. Dies ermoglicht es uns, eine explizite Konstruktion eines Kitaev-Modells anzugeben, welches Defekte und Rander zulasst.
Im zweiten Teil der Arbeit erlangen wir darstellungstheoretische Resultate. Wir untersuchen die isotypische Zerlegung des regularen Moduls einer nicht unbedingt halbeinfachen, endlichdimensionalen Hopf-Algebra uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper in Charakteristik 0. Fur eine halbeinfache Hopf-Algebra ist bekannt, dass die Idempotenten, die die isotypische Zerlegung realisieren, explizit durch Charaktere und das Haar-Integral ausgedruckt werden konnen. Hier untersuchen wir Hopf-Algebren mit der Chevalley-Eigenschaft, die nicht unbe-dingt halbeinfach sind. Wir finden explizite Ausdrucke fur Idempotente durch Hopf-algebraische Daten, wobei wir das Haar-Integral durch den regularen Charakter der dualen Hopf-Algebra ersetzen. Fur eine grose Klasse von Hopf-Algebren zeigen wir, dass diese einen vollstandigen Satz orthogonaler Idempotente bilden. Abschliesend geben wir ein Beispiel, das zeigt, dass die Chevalley-Eigenschaft von entscheidender Bedeutung ist.
•Jul 27, 2020•0 citations