DANS CETTE THESE, NOUS ETUDIONS NUMERIQUEMENT DEUX MODELES DE HUBBARD BIDIMENSIONNELS. CES MODELES REPRESENTENT DES PARTICULES QUANTIQUES EN INTERACTION SUR UN RESEAU. NOUS DETERMINONS LES DIFFERENTES PHASES PRESENTES DANS L'ETAT FONDAMENTAL DE CES SYSTEMES, AINSI QUE LA NATURE DES TRANSITIONS QUANTIQUES ENTRE CES PHASES GRACE A DES METHODES DE MONTE CARLO QUANTIQUES EXACTES OU APPROCHEES. LE PREMIER MODELE REPRESENTE DES BOSONS DE CUR DUR SE DEPLACANT DANS UN RESEAU CARRE ET SOUMIS A DES INTERACTIONS REPULSIVES ENTRE PREMIERS ET SECONDS VOISINS. CE MODELE EST EXACTEMENT EQUIVALENT A UN MODELE DE HEISENBERG QUANTIQUE. NOUS UTILISONS POUR CETTE ETUDE DEUX ALGORITHMES RECENTS DONT L'UN EST DEVELOPPE PAR NOTRE EQUIPE. ILS PERMETTENT TOUS DEUX LE CALCUL DU CONDENSAT ET DES FONCTIONS DE GREEN. CECI NOUS A PERMIS DE DETERMINER LES PHASES PRESENTES DANS CE SYSTEME (SOLIDES, SUPERFLUIDE OU SUPERSOLIDE), LEUR DIAGRAMME, ET D'ETUDIER LA PLUPART DES TRANSITIONS QUANTIQUES. LE SECOND MODELE EST UN MODELE DE FERMIONS SUR RESEAU CARRE AVEC UNE INTERACTION REPULSIVE SUR SITE ET DEUX FORMES DE DESORDRE (PAR UN POTENTIEL EXTERNE OU DANS LE PARAMETRE DE SAUT). NOUS ETUDIONS LA DESTRUCTION PAR LE DESORDRE DE LA PHASE ANTIFERROMAGNETIQUE PRESENTE AU DEMI-REMPLISSAGE. LE PROBLEME DU SIGNE RENDANT LES SIMULATIONS EXACTES IMPOSSIBLES, NOUS UTILISONS DEUX APPROXIMATIONS : CELLES DE CHAMP MOYEN ET DU CHEMIN CONTRAINT. LA PREMIERE NOUS DONNE RAPIDEMENT UNE IDEE DU DIAGRAMME DE PHASE MAIS SURESTIME LARGEMENT LE ROLE DES INTERACTIONS. LA SECONDE A ETE COMPAREE A DES RESULTATS EXACTS POUR DETERMINER LES PARAMETRES (FONCTION D'ESSAI, INTERACTION EFFECTIVE) REPRODUISANT CORRECTEMENT LES CORRELATIONS MAGNETIQUES DU SYSTEME. INCORPORANT L'EFFET DES FLUCTUATIONS QUANTIQUES, ELLE MENE A DES RESULTATS QUALITATIVEMENT CORRECTS ET DONNE UNE VALEUR CRITIQUE DU DESORDRE POUR LA DISPARITION DE L'ORDRE A LONGUE PORTEE.
L'OBJET DE CETTE THESE EST DE DEFINIR LES BASES D'UNE NOUVELLE METHODE DE CALCUL DES FONCTIONS DE CORRELATION DES MODELES INTEGRABLES QUANTIQUES. UTILISANT LE FORMALISME DE L'ANSATZ DE BETHE ALGEBRIQUE, ELLE EST FONDEE SUR LA RESOLUTION DU PROBLEME INVERSE DE LA DIFFUSION QUANTIQUE, C'EST-A-DIRE LA RECONSTRUCTION DES OPERATEURS LOCAUX EN FONCTION DES ELEMENTS DE LA MATRICE DE MONODROMIE : NOUS AVONS MONTRE QU'IL EST POSSIBLE DE RESOUDRE EXPLICITEMENT CE PROBLEME INVERSE POUR TOUTE UNE CLASSE DE MODELES INTEGRABLES QUANTIQUES SUR RESEAU. LES OPERATEURS LOCAUX DONT ON VEUT CALCULER LES FONCTIONS DE CORRELATION SONT AINSI PLONGES DANS LA MEME STRUCTURE ALGEBRIQUE (L'ALGEBRE DE YANG-BAXTER) QUE LES OPERATEURS DE CREATION ET D'ANNIHILATION DES ETATS PROPRES DU HAMILTONIEN, SI BIEN QU'IL EST POSSIBLE DE DETERMINER LEUR ACTION SUR CES ETATS EN UTILISANT UNIQUEMENT LES RELATIONS DE COMMUTATION QUADRATIQUES DONNEES PAR LA MATRICE-R SOLUTION DE L'EQUATION DE YANG-BAXTER. CECI RAMENE EN GENERAL LE PROBLEME DE L'EVALUATION DES FONCTIONS DE CORRELATION AU CALCUL DES PRODUITS SCALAIRES DE DEUX ETATS DONT L'UN EST UN ETAT DE BETHE. L'UTILISATION DE LA NOTION DE TWIST, INSPIREE DE LA THEORIE DES GROUPES QUANTIQUES, PERMET ALORS DE DEFINIR UNE NOUVELLE BASE DE L'ESPACE DES ETATS DANS LAQUELLE LA COMBINATOIRE DES OPERATEURS CREATION ET ANNIHILATION SE SIMPLIFIE CONSIDERABLEMENT, ET QUI PERMET LE CALCUL DE CES PRODUITS SCALAIRES SOUS FORME DE DETERMINANTS. SUR L'EXEMPLE REPRESENTATIF DE LA CHAINE DE HEISENBERG XXZ DE SPINS 1/2 AVEC ANISOTROPIE > 1, LA METHODE QUE NOUS AVONS PROPOSEE ABOUTIT A DES RESULTATS EXPLICITES, EN PARTICULIER A LA LIMITE THERMODYNAMIQUE : NOUS RETROUVONS LA FORMULE DE BAXTER POUR LA MAGNETISATION SPONTANEE (REGIME MASSIF > 1), ET LES FONCTIONS DE CORRELATION GENERALES A TEMPERATURE NULLE ET EN CHAMP MAGNETIQUE SONT OBTENUES SOUS LA FORME D'INTEGRALES MULTIPLES DE FONCTIONS USUELLES ( > 1).
PREMIERE PARTIE : LES EFFETS D'INTERFERENCES LORS DES DIFFUSIONS MULTIPLES D'UNE ONDE DANS UN POTENTIEL ALEATOIRE PEUVENT CONDUIRE AU PHENOMENE DE LOCALISATION D'ANDERSON, CE QUI MODIFIE PROFONDEMENT LES PROPRIETES DE TRANSPORT. NOUS ETUDIONS LA POSSIBILITE D'OBSERVER DES EFFETS DE LOCALISATION DE LA LUMIERE DANS UN CONDENSAT ATOMIQUE GAZEUX. NOUS VOULONS DETERMINER LA DISTRIBUTION DES TEMPS DE SORTIE D'UN PHOTON INITIALEMENT PLACE DANS UN NUAGE ATOMIQUE. POUR CELA, NOUS MODELISONS LA DYNAMIQUE DE CE SYSTEME A L'AIDE DE L'EQUATION PILOTE QUI DECRIT L'EVOLUTION DE LA MATRICE DENSITE ATOMIQUE. DANS L'HYPOTHESE OU LE MOUVEMENT DES ATOMES PEUT ETRE NEGLIGE, L'APPARITION D'ECHELLES DE TEMPS QUI VARIENT EXPONENTIELLEMENT AVEC LA TAILLE DU NUAGE PERMET D'OBTENIR UNE SIGNATURE D'UN EFFET DE LOCALISATION. DEUXIEME PARTIE : NOUS ETUDIONS LE REFROIDISSEMENT PAR EVAPORATION D'UN JET ATOMIQUE EN VUE DE L'OBTENTION D'UN LASER A ATOMES CONTINU. POUR ESTIMER LA LONGUEUR DU JET PERMETTANT D'ATTEINDRE LE REGIME DE DEGENERESCENCE QUANTIQUE, ON DEVELOPPE DEUX METHODES DE RESOLUTION DE L'EQUATION DE BOLTZMANN : L'UNE, PUREMENT NUMERIQUE, UTILISE UNE SIMULATION MONTE-CARLO ; L'AUTRE, ESSENTIELLEMENT ANALYTIQUE, REPOSE SUR UN ANSATZ DE LA DENSITE DANS L'ESPACE DES PHASES. NOUS DECRIVONS ALORS LES PRINCIPALES PROPRIETES DE COHERENCE DU FAISCEAU ATOMIQUE AINSI OBTENU EN PRENANT EN COMPTE LES EFFETS DE LA STATISTIQUE QUANTIQUE ET DES INTERACTIONS ENTRE LES ATOMES.