Lange waren Quantencomputer – also Computer, die nicht der Logik von „0“ und „1“ folgen, sondern auf Basis quantenmechanischer Zustände arbeiten – ein Thema für Theoretiker und Grundlagenforscher. Inzwischen wagen Forscherinnen und Forscher weltweit erste Realisierungen der Rechner mit dem Science Fiction-Touch. „Quantencomputer werden die klassischen Computer nicht ersetzen, aber ergänzen für die Lösung spezieller Probleme“, prognostiziert der vielfach ausgezeichnete Experimentalphysiker Wolfgang Wernsdorfer. Ihn und drei weitere Quanten-Pioniere hat Podcaster Heiko Behr im Physik-Hochhaus des KIT aufgesucht und sie zu ihrer Forschung und den Anwendungsperspektiven von Quantencomputern befragt. Zwischen Kryostaten und einer berühmten Katzenkiste ist er dabei zu neuen Einsichten gelangt.
Lange waren Quantencomputer – also Computer, die nicht der Logik von „0“ und „1“ folgen, sondern auf Basis quantenmechanischer Zustände arbeiten – ein Thema für Theoretiker und Grundlagenforscher. Inzwischen wagen Forscherinnen und Forscher weltweit erste Realisierungen der Rechner mit dem Science Fiction-Touch. „Quantencomputer werden die klassischen Computer nicht ersetzen, aber ergänzen für die Lösung spezieller Probleme“, prognostiziert der vielfach ausgezeichnete Experimentalphysiker Wolfgang Wernsdorfer. Ihn und drei weitere Quanten-Pioniere hat Podcaster Heiko Behr im Physik-Hochhaus des KIT aufgesucht und sie zu ihrer Forschung und den Anwendungsperspektiven von Quantencomputern befragt. Zwischen Kryostaten und einer berühmten Katzenkiste ist er dabei zu neuen Einsichten gelangt.
Die Quantenmechanik ist eine der wichtigsten Theorien der modernen Physik.Mit ihr lassen sich nicht nur grundlegende Phänomene wie z.B. das Emissionsspektrum von Atomen oder die Stabilität von Materie erklären, sondern sie steckt auch in vielen technischen Anwendungen vom MP3-Player bis zum Tunnelmikroskop, und in Zukunft werden wir vermutlich Technologien wie Quantenkryptographie oder Quantencomputer mit großer Selbstverständlichkeit einsetzen.Die Kenntnis der Quantenmechanik ist daher nicht nur ein Schlüssel für das Verständnis unserer Welt, sondern unabdingbar für die Entwicklung moderner Technologien.Folgerichtig wird die Quantenmechanik heute oft schon in der Schule gelehrt; in jedem Fall jedoch an Universitäten, wo sie in den meisten Naturwissenschaften und auch in vielen Ingenieurwissenschaften zum Curriculum gehört.Eine große Hürde bei der Vermittlung und damit auch auf dem Weg zum Verständnis der Quantenmechanik ist nun nicht, wie man etwa vermuten könnte, die Mathematik, auch wenn diese an der einen oder anderen Stelle sicherlich einige Herausforderungen beinhaltet, sondern die Sprache.Der Grund dafür liegt darin, dass Sprache kein gegebenes Konstrukt ist, welches unabhängig vom Menschen und dessen Wissen über die Welt existiert, sondern sich vielmehr im Laufe der Menschheitsgeschichte durch die Auseinandersetzung des Menschen mit seiner Umwelt entwickelt hat.Sprache ist damit auch immer ein Abbild der Welt, so wie sie der Mensch wahrnimmt.Und dass diese Wahrnehmung gelegentlich trügt, wissen wir spätestens seit Einstein, der uns gezeigt hat, dass unsere Vorstellung von Raum und Zeit nicht der physikalischen Wirklichkeit entspricht.Die Quantenmechanik führt uns nun, mehr noch als die Relativitätstheorie, weg von den uns vertrauten Vorstellungen von der physikalischen Wirklichkeit.Damit verliert aber auch die Sprache ihre Legitimation als ein Werkzeug zur Beschreibung der Quantenmechanik.Streng genommen verbleibt als einzig legitimer Zugang zur Quantenmechanik daher die Mathematik.Mit ihr lassen sich, aufbauend auf einer Handvoll Axiome, alle Gesetze der Quantenmechanik ableiten und damit alle physikalischen Beobachtungen korrekt und widerspruchsfrei beschreiben.Allerdings sind diese Axiome, im Gegensatz zu z.B. denen der Newton'schen Mechanik, alles andere als unmittelbar einsichtig.Um daher auch solchen Leserinnen und Lesern den Zugang zur Quantenmechanik zu ermöglichen, welche die Quantenmechanik nicht als Teildisziplin der Mathematik oder der theoretischen Physik betreiben wollen, werden wir in diesem Buch trotz aller Gefahren den Weg der Sprache und der Bilder beschreiten.Dabei gehen wir von wenigen einfachen Schlüsselexperimenten aus, mit denen sich die Grundgleichungen der Quantenmechanik anschaulich begründen lassen.Im Gegensatz zu vielen anderen Lehrbüchern greifen wir jedoch nicht auf das berühmte Doppelspaltexperiment mit Elektronen oder das Experiment von Stern-Gerlach zurück, sondern wir arbeiten in den ersten Kapiteln ausschließlich mit einem Interferometer und Polarisationsfiltern
Quantencomputer besitzen das Potenzial, um in naher Zukunft Probleme, die mit herkömmlichen Computern und Supercomputern nicht bewältigbar sind, zu lösen. Bisher ist die Umsetzung dieser Technologie in der Industrie noch in der Anfangsphase, wodurch der Einsatz von Quantencomputern bisher nur für Forschungsprojekte möglich ist. Dennoch ermöglichen es große IT-Unternehmen, interessierten Personen einen indirekten Zugang zu Quantencomputern über deren Services. Da die Technologien und Konzepte, auf denen Quantencomputern basieren, sehr umfangreich und komplex sind, ist es für interessierte Personen, die sich in diese neue Materie vertiefen wollen, oft schwierig, die Hauptkonzepte, die benötigt werden, um Quantencomputern zu verstehen, zu identifizieren und somit ein Grundverständnis von Quantencomputern zu erlangen. Aus diesem Grund besteht der Hauptzweck dieser Arbeit darin, die benötigten Grundkonzepte und Themen auf denen Quantencomputer aufbauen, zu identifizieren und auszuarbeiten. Hierfür werden die Konzepte von bekannten Lehrbüchern im Bereich Quantencomputer herangezogen und systematisch nach deren Wichtigkeit für das Verständnis von Quantencomputern gegliedert, aufgelistet und ausgearbeitet. Für den praktischen Teil der Arbeit werden zwei Quantenbeispiele anhand des zuvor erarbeiteten Wissens beschrieben und erweitert. Die zuvor identifizierten und beschriebenen Grundkonzepte werden anschließend grafisch mittels einer Concept-Map dargestellt, diese bietet einen systematischen Überblick über die einzelnen Konzepte und deren Abhängigkeiten zueinander. Der Vorteil in der Darstellung von Wissen mittels einer Concept-Map besteht darin, dass die Visualisierung der Verbindungen zwischen den einzelnen Konzepten hervorgehoben wird. Zusätzlich wird auf Basis des erarbeiteten Wissens ein Beispiel-Curriculum für eine Lehrveranstaltung, die das Ziel hat, die Grundkonzepte von Quantencomputern zu vermitteln, erstellt. Das Ergebnis dieser Arbeit zeigt, dass die Konzepte, auf denen Quantencomputer aufbauen, in drei Grundkompetenzen unterteilt werden können. Zum einen die Kompetenz der linearen Algebra, in dem die meisten Konzepte und Themen bereits in einem vorangegangenen Studium behandelt wurden. Zum anderen die der Informatik-Konzepte, wobei hier wie bei der linearen Algebra das Verständnis im Bereich der Programmierung angenommen werden kann. Die Kompetenz der Quantenmechanik stützt sich auf die Konzepte, die von Quantencomputern genutzt wird und auf die Kompetenzen und das Wissen der beiden anderen Kompetenzen. Zusammenfassend zeigt diese Arbeit, dass für das reine Verständnis von Quantencomputern und dem Replizieren von bereits erstellten Quantenalgorithmen eine große Anzahl an unterschiedlichen Konzepten benötigt wird. Für die Fähigkeit der Entwicklung von eigenen Quantenalgorithmen reicht das erarbeitet Wissen nicht aus, sondern wird als Grundwissen angesehen.
Die Quantenmechanik zeigt ungewohnte und mitunter bizarre Phänomene, die auch in ihrer technischen Umsetzung dem Alltagsverständnis nur schwer zugänglich sind. Umso wichtiger ist es, den strukturellen Rahmen und die mathematische Sprache, in der diese neuen Phänomene eingeordnet und beschrieben werden, an Bekanntes anzulehnen.In einer Herangehensweise, in der die mathematische Modellierung physikalischer Sachverhalte bereits in der klassischen Physik auf der Geometrischen Algebra aufbaut, kann die konzeptionelle Beschreibung der Quantenmechanik erleichtert werden, da die von David Hestenes didaktisch aufbearbeitete Geometrische Algebra aufgrund ihrer inneren Struktur als inhärente Algebra der Quantenmechanik verstanden werden kann.In diesem Beitrag wird gezeigt, wie mit Hilfe der Geometrischen Algebra das Quanten-Computing als ein typisches quantenmechanisches Phänomen beschrieben werden kann. Dabei steht nicht ein abstrakt statistischer Zugang im Zentrum dieses didaktischen Ansatzes, sondern die elementare Frage ’Was ist ein Zustand in der Quantenmechanik?’
Nicht einmal Albert Einstein mochte die Welt für so verrückt halten. Für ihn war es Spuk, nicht mehr und nicht weniger, was sich die Quantenmechanik da ausgedacht hatte. »Verschränkte« Teilchen. Absolut getrennt und dennoch permanent verbunden. Egal, wie weit die Teilchen voneinander entfernt sind, wenn wir das eine messen, kennen wir den Wert des anderen. Verändern wir den Drehimpuls des einen oder dessen Polarisation, ändert sich die Eigenschaft des anderen Teilchens entsprechend. Und zwar augenblicklich und, wenn es sein muss, über tausende Kilometer Entfernung. Es fließt kein Strom, kein Licht, keine Information, nichts, was diese »spukhafte Fernwirkung« mit der klassischen Physik erklären oder messen könnte. Fest steht nur: Sie ist inzwischen unabweisbar. Die Verschränkung der Quantenzustände von Teilchen ist in den letzten Jahrzehnten zu einem Thema mit geradezu soziokultureller Sprengkraft geworden; denn in dem Phänomen steckt womöglich der Schlüssel für prinzipiell abhörsichere superschnelle Quantencomputer, die von nichts und niemandem geknackt werden können. Was aber, wenn es das Phänomen — oder ein prinzipiell ähnliches — nicht nur in der Quantenwelt gibt, sondern es ein Teil der Evolution ist und ins Leben eingreift?
Diese Bachelorarbeit erläutert die Grundlagen von Quantencomputern und ihr Potential sowie die Vorteile, die eine Auseinandersetzung mit diesem Thema mit sich bringt. Sie richtet sich an Leser ohne Vorwissen auf diesem Gebiet und stellt die Konzepte auf eine Art vor, die für jede Person mit einem Grundwissen im Softwarebereich zugänglich ist. Es werden dabei die Unterschiede zwischen klassischen Computern und Quantencomputern besprochen, sowie die grundlegende Funktionsweise, wie die Basiseinheiten (Qubits) und die Gatter, die auf diese angewendet werden. Um diese Grundbausteine und Funktionsweise zu veranschaulichen sowie die Potentiale von Quantencomputern nachzuvollziehen, werden drei Algorithmen näher besprochen. Der Deutsch-Algorithmus zeigt, dass Quantencomputer manche Probleme schneller als klassische Computer lösen können. Der Shor-Algorithmus kann RSA verschlüsselte Nachrichten schnell entschlüsseln. Der Grover-Algorithmus bietet eine schnelle Methode eine bestimmte Information in unsortierten Daten zu suchen. Die drei Algorithmen decken bereits ein recht breites Spektrum von Anwendungsmöglichkeiten von Quantencomputern ab. Dieses Potential sowie die Wichtigkeit der Auseinandersetzung mit der Mächtigkeit von Quantencomputern und ein kurzer Einblick in mögliche zukünftige Entwicklungen schießen die Arbeit ab. Diese Bachelorarbeit erläutert die Grundlagen von Quantencomputern und ihr Potential sowie die Vorteile, die eine Auseinandersetzung mit diesem Thema mit sich bringt. Sie richtet sich an Leser ohne Vorwissen auf diesem Gebiet und stellt die Konzepte auf eine Art vor, die für jede Person mit einem Grundwissen im Softwarebereich zugänglich ist. Es werden dabei die Unterschiede zwischen klassischen Computern und Quantencomputern besprochen, sowie die grundlegende Funktionsweise, wie die Basiseinheiten (Qubits) und die Gatter, die auf diese angewendet werden. Um diese Grundbausteine und Funktionsweise zu veranschaulichen sowie die Potentiale von Quantencomputern nachzuvollziehen, werden drei Algorithmen näher besprochen. Der Deutsch-Algorithmus zeigt, dass Quantencomputer manche Probleme schneller als klassische Computer lösen können. Der Shor-Algorithmus kann RSA verschlüsselte Nachrichten schnell entschlüsseln. Der Grover-Algorithmus bietet eine schnelle Methode eine bestimmte Information in unsortierten Daten zu suchen. Die drei Algorithmen decken bereits ein recht breites Spektrum von Anwendungsmöglichkeiten von Quantencomputern ab. Dieses Potential sowie die Wichtigkeit der Auseinandersetzung mit der Mächtigkeit von Quantencomputern und ein kurzer Einblick in mögliche zukünftige Entwicklungen schießen die Arbeit ab. Diese Bachelorarbeit erläutert die Grundlagen von Quantencomputern und ihr Potential sowie die Vorteile, die eine Auseinandersetzung mit diesem Thema mit sich bringt. 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Der Deutsch-Algorithmus zeigt, dass Quantencomputer manche Probleme schneller als klassische Computer lösen können. Der Shor-Algorithmus kann RSA verschlüsselte Nachrichten schnell entschlüsseln. Der Grover-Algorithmus bietet eine schnelle Methode eine bestimmte Information in unsortierten Daten zu suchen. Die drei Algorithmen decken bereits ein recht breites Spektrum von Anwendungsmöglichkeiten von Quantencomputern ab. Dieses Potential sowie die Wichtigkeit der Auseinandersetzung mit der Mächtigkeit von Quantencomputern und ein kurzer Einblick in mögliche zukünftige Entwicklungen schießen die Arbeit ab.
In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung zahlentheoretischer Probleme für klassische Computer und Quantencomputer entwickelt und analysiert sowie ihre Auswirkungen auf Public-Key-Kryptosysteme untersucht. Im Jahr 1994 veröffentliche Shor einen Quantenalgorithmus [Shor, 1994], der das Periodengitter einer gegebenen Funktion in Quanten-Polynomzeit bestimmt. Mit diesem Algorithmus läßt sich das Faktorisierungs- und das Diskreter-Logarithmus-Problems in endlichen abelschen Gruppen in Quanten-Polynomzeit lösen. Dadurch werden die meisten heutzutage verwendeten Public-Key-Kryptoverfahren unsicher, sollten hinreichend große Quantencomputer eines Tages gebaut werden können. Der erste Quantencomputer wurde 1998 gebaut [Chuang/Vandersypen/Zhou/Leung/Lloyd, 1998]. Er bestand aus zwei Qubits. Der größte Quantencomputer, der bis heute gebaut wurde, besteht aus nur sieben Qubits [Vandersypen/Steffen/Breyta/Yannoni/Sherwood/Chuang, 2001]. Es hat sich herausgestellt, daß das Bauen von großen Quantencomputern ein extrem schwieriges Problem ist. Aus diesem Grund kann davon ausgegangen werden, daß die Größe der Quantencomputer, d.h. die Anzahl der Qubits, aus denen ein Quantencomputer besteht, nur langsam wachsen wird. Deshalb ist es von Interesse, Shors Quantenalgorithmus an verschiedene abelsche Gruppen sowie gruppenähnliche Strukturen zu adaptieren und ihre genaue Komplexität zu untersuchen, um daraus die Bedrohungen für die betroffenen Kryptosysteme genau zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Quantenalgorithmen zur Lösung des Ordnungsproblems und des DL-Problems in der Klassengruppe der Ideale eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers angegeben und ihre Komplexität, d.h. die Anzahl der Qubits und der elementaren Quantenoperationen, bestimmt. Darüberhinaus werden Algorithmen zur Bestimmung des Regulators und zur Lösung des Hauptidealproblems und des erweiterten Diskreter-Logarithmus-Problems in reell-quadratischen Zahlkörpern präsentiert. Shors Algorithmus wird dabei auf Funktionen angewendet, die nicht injektiv innerhalb einer Periode sind. Auch in diesem Fall wird die Komplexität der Algorithmen genau bestimmt. Im Falle von Zahlkörpern eines beliebigen Grades wird eine weitere Modifikation von Shors Algorithmus entwickelt: Es wird das Periodengitter einer Funktion bestimmt, deren Periodengitter irrational ist. Dieser Algorithmus wird benutzt, um die Einheitengruppe eines beliebigen endlich-dimensionalen Zahlkörpers zu berechnen. Als nächstes werden die Auswirkungen von Quantenalgorithmen auf die Sicherheit von Public-Key-Kryptosystemen untersucht. Es wird ein neuer Sicherheitsbegriff eingeführt. Die Sicherheit zweier Kryptosysteme wird als gleich definiert, wenn die Anzahl der Qubits zum Brechen dieser Kryptosysteme gleich ist. Basierend auf der neuen Sicherheitsdefinition wird die Geschwindigkeit und die Schlüsselgröße von einigen Kryptosystemen verglichen. Im letzten Kapitel wird ein deterministischer klassischer Algorithmus zur Berechnung der Struktur einer endlichen abelschen Gruppe aus einem Erzeugendensystem präsentiert, dessen Laufzeit nur linear von der Anzahl der gegebenen Erzeuger abhängt und dessen Speicherplatzkomplexität unabhängig von der Anzahl der gegebenen Erzeuger ist. Das stellt eine exponentielle Verbesserung zu früheren Algorithmen dar, bei denen sowohl die Laufzeit als auch die Speicherplatzkomplexität exponentiell von der Anzahl der Erzeuger im gegebenen Erzeugendensystem abhängt [Buchmann/Jacobson/Teske, 1997].