El trabajo estudia las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica, enfocándose especialmente en una formulación en la que el conjunto de observables es una C*-álgebra, y estudia la conjetura de Kadison-Singer dentro de este marco de trabajo. Este problema fue propuesto en 1959 por Kadison y Singer, y había surgido en el trabajo previo de Paul Dirac sobre formulación de la Mecánica Cuántica. El problema afirma que un estado puro sobre la C*-álgebra operadores lineales diagonales sobre un espacio de Hilbert separable tiene una única extensión a la C*-álgebra de todos los operadores de dicho espacio. Se había mostrado que el problema es equivalente a la prueba de enunciados sobre espacios de Hilbert de dimensión finita y, en particular, al formulado en 2004 por Weaver.
El trabajo estudia las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica, enfocándose especialmente en una formulación en la que el conjunto de observables es una C*-álgebra, y estudia la conjetura de Kadison-Singer dentro de este marco de trabajo. Este problema fue propuesto en 1959 por Kadison y Singer, y había surgido en el trabajo previo de Paul Dirac sobre formulación de la Mecánica Cuántica. El problema afirma que un estado puro sobre la C*-álgebra operadores lineales diagonales sobre un espacio de Hilbert separable tiene una única extensión a la C*-álgebra de todos los operadores de dicho espacio. Se había mostrado que el problema es equivalente a la prueba de enunciados sobre espacios de Hilbert de dimensión finita y, en particular, al formulado en 2004 por Weaver.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
La presente tesis enfrenta la problemática de establecer si es posible construir una versión de la mecánica cuántica (MC) en espacios de Hilbert que trate al espacio y al tiempo en pie de igualdad, y considere a la simetría de Lorentz de manera explícita en teorías relativistas. La relevancia actual de este problema, intrínseco al área de fundamentos de la mecánica cuántica, radica en las potenciales implicancias para otras áreas como la información, la computación y la gravedad cuántica, y, sobre todo, para el reciente conjunto de ideas que yace en la intersección de las mismas. En la tesis se construye progresivamente un formalismo con las características deseadas, proporcionando así una respuesta afirmativa a la pregunta inicial. La construcción comienza con la generalización del formalismo de Page y Wootters al caso de partículas relativistas y luego al de varias partículas. Esto conlleva a introducir espacios de Hilbert ampliados a través de álgebras que tratan al tiempo y al espacio en pie de igualdad. A través del concepto de operador acción, una versión cuántica de la acción clásica, se establece la existencia de una correspondencia entre los espacios de Hilbert ampliados y la MC convencional. Se demuestra a su vez que la suma sobre historias de la formulación de Feynman adquiere un nuevo significado en estos espacios. Finalmente, se combinan todos los resultados anteriores en una discusión sobre las deficiencias del espacio de fases clásico para abarcar explícitamente simetrías del espacio-tiempo, y sobre como estas son heredadas por la MC, afectando incluso a su formulación ampliada. Se propone entonces una versión aumentada de la formulación Hamiltoniana clásica que involucra corchetes de Poisson simétricos en espacio-tiempo para campos de materia y corchetes de Poisson asociados a las posibles foliaciones del espacio-tiempo. Esta formulación clásica permite obtener ecuaciones de movimiento invariantes en el espacio de fase. Su cuantización lleva directamente a los espacios de Hilbert ampliados, dónde además la foliación es cuántica y la simetría de Lorentz explícita. Condicionando con respecto a autoestados de foliación, en analogía con el formalismo de Page y Wootters, se recupera la correspondencia con la MC convencional. Finalmente, se discuten las novedades introducidas por el formalismo, y su potencial para proporcionar nuevas intuiciones de carácter teórico, informacional y computacional, y para introducir teorías físicas que no encuentran una correspondencia con la MC usual.
En una serie de trabajos previos analizamos una formulación de la Mecánica Cuántica Relativista basada en una parametrización de la ecuación de Dirac originalmente propuesta por Feynman. En este trabajo discutimos la interpretación del producto escalar indefinido introducido anteriormente. El signo de la norma posibilita clasificar a los estados en estados de "partícula" y "antipartícula". Se utiliza la extensión del álgebra de Poincaré propuesta por Johnson de modo tal de incluir un cuadrioperador posición en la teoría y se discute el problema de la localización en este marco, el cual puede ser resuelto manteniendo la covariancia a expensas de considerar estados de masa indefinida
Un sistema físico híbrido es aquel consistente en dos subsistemas acoplados, uno clásico y uno cuántico. La modelización matemática de los mismos requiere el tratamiento de los dos subsistemas a través de un mismo formalismo matemático. Una vía para hacerlo es el denominado formalismo de Koopman, mediante el cual se construye un espacio de Hilbert que contiene a los estados del sistema clásico, de manera análoga a la formulación usual de la mecánica cuántica, y definir, así, un espacio de Hilbert de estados híbridos. Esto permite construir una representación del álgebra de observables híbridos como operadores lineales sobre el espacio de Hilbert y de los estados como matrices densidad sobre el mismo, definiendo dinámicas sobre estos espacios. Sin embargo, mientras que el álgebra de observables está bien caracterizado, considerar que el espacio de estados se corresponde con el conjunto completo de matrices densidad no es correcto. En este trabajo se trata de dar una mejor caracterización de este espacio. Así, se demuestra que diferentes matrices densidad representan el mismo estado físico y se construye una relación de equivalencia sobre el espacio de matrices densidad que permite definir un espacio cociente de estados híbridos, verificando que las dinámicas definidas sobre el espacio de matrices densidad completo están bien definidas sobre este nuevo espacio. La complejidad de esta relación de equivalencia, que impone una condición sobre todos los observables físicos, plantea el problema de la búsqueda de una relación más sencilla que facilite el análisis de la estructura del espacio cociente. Este problema se aborda en el trabajo desde dos perspectivas alternativas. La primera de ellas consiste en buscar escribir la relación de equivalencia en términos de transformaciones de matrices densidad. La segunda se basa en el uso de las denominadas funciones de Wigner, que permiten trasladar los estados del espacio de matrices densidad a un espacio de funciones sobre un espacio de fases. Finalmente, se exponen las limitaciones de ambos formalismos, concluyendo con las líneas de trabajo futuro que estas limitaciones proporcionan.
El análisis de los vínculos que pueden ser establecidos entre la lógica cuántica, las semánticas no deterministas de Nmatrices y las teorías de cuasiconjuntos es el núcleo central de este trabajo. La necesidad de tal análisis ha surgido de forma natural luego de que la relación entre Nmatrices y lógica cuántica quedó explicitada en un trabajo previo: los estados cuánticos, entendidos como medida de probabilidad, pueden ser interpretados como valuaciones de una cierta Nmatriz para el retículo cuántico de proyectores. El Teorema de Kochen-Specker priva a la lógica cuántica de veritativo funcionalidad, pero no de admitir una semántica no determinista Nmatricial. Esto es, la semántica de Nmatrices es compatible con los requerimientos semánticos y algebraicos del retículo de proyectores cuánticos. Si tenemos en cuenta que las teorías de cuasiconjuntos (Quasi-sets y Quasets) han surgido motivadas por la ontología cuántica, que las teorías de conjuntos están fuertemente vinculadas con la lógica y que originalmente uno de los objetivos de la teoría de quasets QST era brindar una semántica para los entes cuánticos, entonces el puente establecido entre la lógica cuántica y las semánticas no deterministas puede ser visto como el detonador que inicia la búsqueda de vínculos entre estas teorías. Por un lado, la lógica cuántica de Birkhoff y von Neumann está comprometida con la representación de espacios de Hilbert de la Mecánica cuántica. Por otro lado, esta representación (como quedará claro más adelante) está comprometida con una ontología de individuos. Por lo tanto, la lógica cuántica y la ontología están vinculadas a través del formalismo de espacios de Hilbert. Como dijimos, las teorías de cuasiconjuntos han surgido motivadas por la ontología de los entes del micromundo. Esto implica que los cuasiconjuntos y la lógica cuántica mantendrían de forma indirecta cierta relación.
La interpretación modal Hamiltoniana de la mecánica cuántica sostiene que los sistemas, en el ámbito de la realidad cuántica, son haces de propiedades posibles, sin sustancia subyacente. Las propiedades que se hacen actuales, es decir aquéllas que adquieren valor definido instante a instante, no pueden ser todas, ya que esto llevaría a inconsistencias, como lo muestra el Teorema de Kochen-Specker. Esto implica que debemos elegir un contexto de actualización, esto es, un subconjunto de todo el conjunto de propiedades posibles, cuyas propiedades adquieren valores definidos. En este sentido, la interpretación modal-Hamiltoniana elige como contexto de actualización la descomposición átomica del espacio de Hilbert en autosubespacios del Hamiltoniano y todas las composiciones de éstos. Esto permite explicar satifactoriamente varios problemas interpretativos de la mecánica cuántica: el problema de la medición, el problema de la contex- tualidad, el problema de la indistinguibilidad y el problema de la no-localidad, como también permite describir adecuadamente un conjunto de ejemplos físicos típicos de la práctica de la física. Durante el trabajo de esta tesis doctoral, se desarrolló una reformulación de la interpretación modal-Hamiltoniana de la mecánica cuántica. Para ello se aplicaron ideas de la teoría de grupos, con el fin de asegurar la invariancia del contexto de actualización ante el cambio de sistema de referencia. De modo natural, entonces, se definió el contexto de actualización como aquel identificado por los operadores de Casimir del grupo de simetría de la mecánica cuántica: el grupo de Galileo extendido centralmente. Posteriormente se estudió la posibilidad de extender estas ideas al ámbito de la teoría cuántica relativista, donde el grupo de simetría es el de Poincaré y algún otro grupo de simetría interna compacto. Finalmente, con el fin de asegurar que los observables con valores actuales en las teorías relativistas y no relativistas estuviesen correctamente relacionados a través de un límite adecuado, se empleó una contracción de Inönü-Wigner del grupo de Poincaré extendido trivialmente al grupo de Galileo extendido centralmente. De este modo, los operadores de Casimir de ambos grupos quedaron correctamente relacionados y se pudo definir la regla de actualización correspondiente al ámbito relativista