Diese Arbeit ist aufgebaut wie folgt: Nach der Einführung behandelt Kapitel 2 den Nosé-Hoover Thermostaten und das Nosé-Theorem, in seiner ursprünglichen Herleitung. Das Nosé-Theorem beschreibt ein physikalisches N-Teilchen System in Wechselwirkung mit einem Wärmebad, mit der Eigenschaft, dass sich die mikrokanonische Dichteverteilung zu einer kanonischen Dichteverteilung reduziert, wenn man die Wärmebadvariablen ausintegriert. Ebenfalls gezeigt wird eine alternative Herleitung durch Dettmann, welche ein Hamiltonsches System mit Zwangskräften verwendet. Kapitel 3 ist eine Einführung in Diracs Quantisierungs Methode, welche anschließend (Kapitel 4) verwendet wird um das Nosé-Theorem quantenmechanisch zu formulieren. Es wird gezeigt, dass in der Näherung für große Temperaturen, N quantenmechanische Oszillatoren ein kanonisches Ensemble erzeugen.
Diese Arbeit ist aufgebaut wie folgt: Nach der Einführung behandelt Kapitel 2 den Nosé-Hoover Thermostaten und das Nosé-Theorem, in seiner ursprünglichen Herleitung. Das Nosé-Theorem beschreibt ein physikalisches N-Teilchen System in Wechselwirkung mit einem Wärmebad, mit der Eigenschaft, dass sich die mikrokanonische Dichteverteilung zu einer kanonischen Dichteverteilung reduziert, wenn man die Wärmebadvariablen ausintegriert. Ebenfalls gezeigt wird eine alternative Herleitung durch Dettmann, welche ein Hamiltonsches System mit Zwangskräften verwendet. Kapitel 3 ist eine Einführung in Diracs Quantisierungs Methode, welche anschließend (Kapitel 4) verwendet wird um das Nosé-Theorem quantenmechanisch zu formulieren. Es wird gezeigt, dass in der Näherung für große Temperaturen, N quantenmechanische Oszillatoren ein kanonisches Ensemble erzeugen.
Das grundlegende Modell in der Quantenoptik, das die Wechselwirkung von\nStrahlung mit Materie beschreibt, ist das Ein-Moden-Jaynes-Cummings-Modell\n(JCM). In der vorliegenden Arbeit wird eine kompakte Lösung für eine\nZwei-Moden-Erweiterung des JCMs vorgestellt, wobei die Strahlung durch\nzwei quantisierte Feld-Moden eines Resonators beschrieben wird, die mit zwei\nquantisierten Niveaus eines Atoms oder Moleküls wechselwirkt.\nWenn dieWechselwirkung von Strahlung mit Materie quantenmechanisch\nbehandelt wird, treten neue nichtklassische E®ekte in Erscheinung. Im Besonderen\nkann das Phänomen der Verschränkung untersucht werden. Verschränkung ist eine fundamentale Eigenschaft der Quantenmechanik und ist\nein Grundbaustein in der Quantenkryptographie und in Quantencomputern.\nEs ist deshalb interessant, den entwickelten algebraischen Formalismus anzuwenden, um zu zeigen, wie Verschränkung im Zwei-Moden-JCM erzeugt\nwerden kann.\nZuerst werden drei Erzeugungsschemata vorgestellt, um die zwei quantisierten\nFeld-Moden in einem Resonator miteinander zu verschränken. Es wird\ngezeigt, dass Verschränkung ausgehend von einem Anfangszustand für das\nFeld und einem Atom in einem definierten Zustand, in einem Schritt erzeugt\nwerden kann. Es wird auch gezeigt, wie sich Verschränkung aus dem Vakuum\naufbaut, wenn angeregte Atome durch einen Resonator eines nach dem\nanderen hindurchgeschickt werden und deren Endzustand gemessen wird.\nAußerdem wird der Fall behandelt, wenn der Endzustand der Atome nicht\ngemessen wird. Um die Zeitentwicklung der zwei Feld-Moden näher zu untersuchen,\nwerden Verteilungsfunktionen für die beiden Feld-Moden analytisch\nberechnet.\nEs wird auch gezeigt, dass ein Atom mit den zwei Feld-Moden einen\nverschränkten Zustand bilden kann. Dieses Phänomen ist bereits vom Ein-\nModen-JCM bekannt und wird für den Zwei-Moden-Fall näher untersucht.\nSchließlich werden Atomobservable wie die Inversion und Polarisation analytisch\nberechnet und diskutiert.
Diese Dissertation besteht aus einer Sammlung von Projekten, welche unter der Betreuung von Prof. Caslav Brukner durchgeführt wurden. Die Arbeit gliedert sich in zwei Hauptteile. Der erste Teil widmet sich dem operativen Zugang zu der Quan- tenmechanik. Die Hauptaufgabe besteht hierbei darin, die exklusiven Eigenschaften der Quantenmechanik in einer größeren Klasse probabilistischer Theorien zu identifizieren. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der typischen Charakteristik der Quantenphysik, wie der Quantenstatistik, den Quantenkorellationen und Quantensimulationen. Man kann sicherlich sagen, dass wir derzeit noch keine der Intuition zugänglichen, und allgemein akzeptierte physikalische Prinzipien haben, welche die Grundlage der Quantemechanik darstellen. Der Mangel solcher Prinzipien ist die Hauptursache für die derzeitige Koexistenz von vielen Interpretationen der Quantenmechanik, die von Konzepten Gebrauch machen, welche sich gegenseitig ausschließen. Eine Hauptaufgabe des ersten Kapitel besteht in der Spezifizierung von Theorien mit grundsätzlich beschränkten Informationsgehalt, welche aufgrund dieser Tatsache eine probabilistische Beschreibung besitzen. Unter dem “beschränkten Informationsgehalt eines Systems”, verstehen wir eine grundsätzliche Beschränkung der Information welche durch eine Messung über die Preparation eines Zustandes gewonnen werden kann. Ein Ergebnis dieses Kapitels ist die Charakterisierung der gesamten Hierarchie der Theorien, welchen diese Eigenschaft gemein sind. Auf den unteren Stufen dieser Hierarchie sind die klassische, wie auch die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitstheorie enthalten. Um die Quantentheorie und klassische Theorie von der ganzen Klasse der Wahrscheinlichkeitstheorien zu unterscheiden, wurden zusätzliche Annahmen getroffen. Diese Annahmen sind Lokalität und Umkehrbarkeit. Unter dem Prinzip der Lokalität verstehen wir, dass der Gesamtzustand eines Systems durch die Statistik der individuellen Untersysteme rekonstruiert werden kann. Das Prinzip der Umkehrbarkeit drückt aus, dass zwei reine Zustände immer durch eine umkehrbare Transformation auseinander hervorgehen. Darüber hinaus, wurde ein weiteres fundamentales Prinzip der Quantenmechanik, das Komplementaritätsprinzip, mittels “mutually unbiased bases” untersucht. Es wurde eine Verbindung zu dem bekannten mathematischen Problem der orthogonalen lateinischen Quadraten hergestellt. Eine plausible klassische Beschreibung der Quantenstatistik benötigt nicht eingängige Konzepte wie die quantenmechanische “Nicht-lokalität” und “Kontextualität”. Der zweite Teil dieser Dissertation widmet sich einer weiteren Frage, der Frage nach dem “Kostenaufwand” im Sinne der beschreibenden Ressourcen welche eine plausible klassische Beschreibung der Quantenstatistik zulassen. Es wurde gezeigt, dass die klassische Simulation der Quantenstatistik nur eine polynomiale Anzahl an Ressourcen, so genannte verborgene Variablen, für die Verschiedenen Messeinstellungen benötigt. Darüber hinaus bestätigt dieses Simulationsmodell auch, dass in einem vernünftigen Limes, die optimale Beschreibung der Quantenstatistik die Quantenmechanik selbst ist. Quantenkorrelationen sind für die quantenmechanische Nicht-lokalität verantwortlich, wie auch für den “computational speedup” in der Quanten Informationsverarbeitung. Es gibt Beispiele von Quanteninformationsprotokollen, die mit Sicherheit kein Verschränkung nutzen aber dennoch von quantenmechanischen Korrelationen Gebrauch machen. Es ist daher nicht möglich die Korrelationen in ihrer allgemeinen Form mit der Verschränkung gleich zu setzen. Das zweite Kapitel behandelt die Frage der nicht-klassischen Eigenschaften der Quantenkorrelationen welche durch den “quantum discord” beschrieben werden. Das Hauptergebnis ist eine experimentell einfach zugängliche, hinreichend wie auch notwendige, Bedingung für nicht-verschwindenden quantum discord. Darüber hinaus stellen wir eine Analyse der Ressourcen in “mixed-state quantum computation” vor, welche zeigt, dass die Rolle des “quantum discord” in der Quanteninformationsverarbeitung weiterhin unklar ist. Schließlich widmet sich das letzte Kapitel dieses Teils der Untersuchung von Quanensimulationen, sowohl theoretisch als auch experimentell. Quantensimulatoren können verwendet werden um die Zeitenwicklung eines bestimmten quantenmechanischen system darzustellen, eine Aufgabe, die für klassische Computer sehr schwierig ist. Es wird ein kleiner photonischer Quantensimulator vorgestellt, der in der Lage ist ein frustriertes Spin Tetramer zu simulieren. Die Simulation macht von verschränkten Photonpaaren, verstellbaren Quantengattern und durch Messung induzierten Nichtlinearitäten Gebrauch.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Quantenmechanik und dem klassischen Grenzfall von n-Niveau-Atomen mit kollektiver Wechselwirkung. Der klassische Grenzfall wird erreicht, wenn die Anzahl der Atome gegen unendlich geht. Die makroskopischen Observablen von kollektiv wechselwirkenden n-Niveau-Atomen sind die Besetzungszahlen der Niveaus und die Kohärenzen, die durch Operatoren beschrieben werden, die jeweils ein Niveau in ein anderes uberf uhren. Diese makroskopischen Observablen haben die gleichen Vertauschungsrelationen wie die Erzeuger der Lie-Gruppe SUn . Die Lie-Gruppe SUn spielt eine große Rolle sowohl für die quantenmechanische Dynamik als auch für den klassischen Grenzfall. Nach der Einführung in die bekannte quantenmechanische Beschreibung von n-Niveau-Atomen, der zugehörigen makroskopischen Observablen und der Hilbert-Räume werden kohärente Zustände definiert, die eng mit der Lie-Gruppe SUn verknüpft sind. Die generelle Struktur der kohärenten Zustände und des klassischen Grenzfalles sind seit längerem bekannt. Um die Eigenschaften der kohärenten Zustände explizit anzugeben, werden in dieser Arbeit einige Enflechtungs- und Umordnungstheoreme bewiesen. Unter Verwendung kohärenter Zustände wird dann der klassische Grenzfall unendlich vieler n-Niveau-Atome behandelt, bei dem die Heisenberg-Gleichungen für quantenmechanische operatorwertige Observablen in die Hamiltonschen Gleichungen der klassischen Mechanik übergehen. Kollektiv gekoppelte n-Niveau-Atome haben einen kompakten klassischen Phasenraum und daher quantenmechanisch einen Hilbert-Raum mit endlicher Dimension. Damit eignen sich diese Systeme sehr gut für Untersuchungen von quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität. Der Fall n = 2 ist in dieser Hinsicht bereits sehr gut untersucht worden. Der klassische Phasenraum ist in diesem Fall zweidimensional (die Oberfläche einer Kugel), so daß chaotische Dynamik nur dann möglich ist, wenn das System periodisch getrieben wird. Will man Chaos in einer autonomen Dynamik von n-Niveau-Atomen finden, muß man den Fall n >= 3 betrachten. Diese Systeme besitzen in ihrer Struktur zusätzlichen Reichtum gegenüber n = 2. Für n = 3 ist die Dimension des klassischen Phasenraums entweder vier oder sechs. Bei den verschiedenen Routen zum klassischen Grenzfall und den sich daraus ergebenden verschiedenen Dimensionen des klassischen Phasenraums stellt sich die Frage, ob es möglich ist, einen Hamilton-Operator zu konstruieren, der neben der Energie noch genau eine weitere Bewegungskonstante hat, so daß die klassische Dynamik im vierdimensionalen Phasenraum integrabel ist, jedoch nichtintegrabel wird, wenn der klassische Grenzfall in einem sechsdimensionalen Phasenraum vollzogen wird. Einige Beispiele für solche Hamilton-Operatoren werden in dieser Arbeit angegeben und die quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität werden untersucht. Auf die Niveaudynamik für einparametrige Familien von Hamilton-Operatoren H(--) wird ebenfalls eingegangen. Dabei wird eine ausführliche Diskussion des Status von deutlich vermiedenen und von echten oder schwach vermiedenen Kreuzungen im chaotischen und integrablen Regime durchgeführt. Im abschließenden Kapitel wird eine semiklassische Methode zur Bestimmung des Spektrums untersucht. Üblicherweise bestimmt man das Spektrum semiklassisch uber die von M. C. Gutzwiller entdeckte Spurformel für die Niveaudichte. In die Gutzwillersche Spurformel geht eine Summe uber alle periodischen Bahnen einer gegebenen Energie ein. Die Summe über alle periodischen Bahnen birgt jedoch erhebliche Schwierigkeiten. So wächst die Anzahl der periodischen Bahnen bei chaotischer Dynamik exponentiell mit der Länge der Periode { man spricht von exponentieller Proliferation. Damit ist einerseits die Konvergenz in Frage gestellt, andererseits ist es numerisch nicht lösbares Problem, alle periodischen Bahnen zu finden. Es ist bekannt, daß man nicht alle periodischen Bahnen braucht, um das Spektrum aufzulösen, sondern nur alle periodischen Bahnen, deren Periode kürzer ist als die sogenannte Heisenberg-Zeit fi H . Die Heisenberg-Zeit ist durch die mittlere Niveaudichte j bestimmt. Damit gehen nur endlich viele periodische Bahnen in die semiklassische Spurformel ein. Im allgemeinen bleibt es jedoch auch dann äußerst aufwendig (wenn nicht unmöglich), alle notwendigen periodischen Bahnen numerisch zu finden. Eine effizientere Methode für die semiklassische Bestimmung des Spektrums könnte darin bestehen, das Spektrum eines autonomen Systems aus der semiklassischen Spur des zeitabhängigen Propagators u(t) = P k exp( ~ ) zu bestimmen. Im Prinzip braucht man in einem N-dimensionalen Hilbert-Raum die Spur des Propagators u(t) nur an N 2 Fußpunkten t k bestimmen, um alle Informationen über das Spektrum zu besitzen. Es stellt sich die Frage, wie groß die Zeiten t k tatsächlich dann gewählt werden muß. Diese Methode wird am Beispielsystem zweier gekoppelter Drehimpulsvektoren untersucht. In dieser Arbeit konnte nur die Durchführbarkeit der semiklassischen Methode gezeigt werden. Die Untersuchung der Effizienz verlangt nach anderen Systemen, für die es einfacher ist, die periodischen Bahnen aufzufinden.